一種新的巖石黏彈塑性流變模型

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(1.中國地質(zhì)大學(武漢) 工程學院，武漢 430074; 2.廣西地質(zhì)環(huán)境監(jiān)測總站，廣西 桂林 541004)

1 研究背景

巖石是一種具有流變特性的介質(zhì)材料，主要表現(xiàn)為蠕變、應力松弛和彈性后效。在一定的應力和時間條件下，巖石就會表現(xiàn)出明顯的流變特性。巖土工程中，巖石的流變特性與工程的長期穩(wěn)定性和安全性有著密切的聯(lián)系。因此，巖石的流變力學特征在巖土工程中得到了廣泛的研究。

近幾年，隨著新理論、新方法的采用，巖石流變模型理論得到了很大的發(fā)展并取得了豐碩的成果。黃耀英和鄭宏[1]對節(jié)理巖體等效損傷流變模型進行了初步研究，假設巖石為各向同性體且各向同性損傷，節(jié)理面的法向和切向損傷不同，分別建立了巖石和節(jié)理面流變損傷演變函數(shù)。徐衛(wèi)亞和楊圣奇[2]對龍灘水電站無充填節(jié)理巖石進行剪切流變試驗，提出了非線性黏塑性體，將其與5元件黏彈性剪切流變模型串聯(lián)，建立了7元件非線性流變模型，并用試驗數(shù)據(jù)驗證了所建模型的合理性和正確性。N.D.Cristescu[3-4](1993，1994年)提出了可描述鹽巖初始蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變的彈黏塑性模型。宋勇軍等[5]將含有分數(shù)階微積分的軟體元件與彈簧元件串聯(lián)，結合1個冪函數(shù)黏塑性體，得到了一種新的4元件非線性黏彈塑性流變模型，并給出了該模型的本構方程和蠕變方程，得到了不同應力狀態(tài)下的蠕變曲線。長期以來，研究者在巖石穩(wěn)態(tài)流變和定常流變方面提出了多種成熟的流變模型。由于受到試驗條件的限制，巖石流變模型理論并不是十分完善，特別是在巖石非線性流變方面還有待進一步地研究。因此，本文將在已有流變理論的基礎上，同時借鑒徐衛(wèi)亞、楊圣奇等的研究思路，對巖石非線性流變模型進行研究。

2 巖石黏彈塑性流變模型的研究

2.1 巖石黏塑性流變模型的建立

圖1 巖石流變的3種典型曲線

巖石剪切流變會經(jīng)歷減速流變階段、穩(wěn)態(tài)流變階段和加速流變階段，如圖1所示。由圖可知，當剪應力τ0≤長期抗剪強度τs時，巖石流變處于減速流變和穩(wěn)態(tài)流變階段，如圖中曲線1，2所示；當剪應力τ0>長期抗剪強度τs時，巖石流變將經(jīng)歷減速流變階段和穩(wěn)態(tài)流變階段進入到加速流變階段，如圖中曲線3所示。圖中t1為巖石從減速流變進入穩(wěn)態(tài)流變的時刻；t2為巖石從穩(wěn)態(tài)流變進入加速流變的時刻，可用回歸系數(shù)二階差分法確定；tc為巖石破壞的時刻。

對圖1中曲線3的BC段，其變形量的增長不收斂于定值，具有明顯的黏塑性特征。由于線性元件組合模型(如Burgers模型、Kelvin模型、Maxwell模型)無法精確地描述巖石在該階段的流變特征，故需用一個非線性加速元件組合模型來描述其加速流變特征。巖石非線性流變模型有2種建立方法[6-11]:①將新的非線性元件代替原有的線性元件；②采用斷裂及損失力學理論、內(nèi)時理論等新的理論。

圖2 巖石黏塑性流變模型

根據(jù)第1種方法，本文假定巖石非線性流變變形與時間的冪函數(shù)成指數(shù)型關系，提出了一種新的非線性黏性元件，并將其與一個塑性元件并聯(lián)起來，構成了一個新的黏塑性流變模型，如圖2所示。

在恒定剪應力τ0作用下，該模型的變形與時間關系曲線如圖3所示，相應的流變方程為

(1)

式中：u為變形量(以剪切位移量表示)；η3為巖石流變模型參數(shù)；n為流變指數(shù)，反映巖石加速流變速率的快慢程度；t為流變時間。

圖3 巖石黏塑性流變模型的流變趨勢曲線

圖3中曲線1，2，3，4分別表示式(1)中流變指數(shù)n取值為0.3，0.5，0.7，0.9時巖石黏塑性流變模型的流變趨勢曲線。由圖可知，曲線1并未出現(xiàn)明顯的加速現(xiàn)象，而曲線2，3，4則表現(xiàn)出了明顯的加速特征。當n>0.3時，巖石黏塑性流變模型中巖石的變形與速率均隨著時間的增加而呈非線性增加，說明該模型可以用來描述巖石的非線性加速流變變形。

進一步分析可知，圖3中曲線2以較快的加速度增大，而曲線3、曲線4則先經(jīng)歷緩慢增大的過程而后再迅速增大。這里將曲線2定名為A類流變曲線，曲線3、曲線4定名為B類流變曲線。對比研究徐衛(wèi)亞和楊圣奇[2]提出的NVPB模型(參照文獻[2]中圖8)可知，NVPB模型的流變指數(shù)n取值大于1時，其變形量以較快的加速度增大，僅可出現(xiàn)A類流變曲線；而本文所提出的巖石黏塑性流變模型則可出現(xiàn)A，B兩類流變曲線。通過改變本文所提出的黏塑性流變模型的流變指數(shù)，即可得到不同類型的流變曲線，因而該模型具有更廣泛的適用性。

2.2 巖石黏彈塑性流變模型的建立

巖石流變是彈性、黏性、塑性、黏彈性和黏塑性等多種變形共存的一個復雜過程，需采用多種元件(線性和非線性元件)的組合來對其進行模擬[6]。對于圖1中的曲線1、曲線2，可以采用徐衛(wèi)亞和楊圣奇[2]提出的5元件黏彈性剪切流變模型進行了較好的擬合；而對于曲線3，則需用能夠描述巖石黏彈塑性流變特征的模型來擬合。為了全面描述巖石的流變過程，將本文提出的巖石黏塑性流變模型與文獻[2]中的5元件黏彈性剪切流變模型串聯(lián)起來，建立一種新的巖石黏彈塑性流變模型，其模型如圖4所示。

圖4 巖石黏彈塑性流變模型

由模型的串聯(lián)關系可知，建立的巖石流變組合模型應滿足以下條件：

τ0=τ1=τ2;

(2)

u=u1+u2。

(3)

式中：τ1，τ2分別為模型的第1部分和第2部分所受的剪應力；u為模型總變形量；u1，u2分別為模型的第1部分和第2部分的變形量(如圖4)。

根據(jù)τ0與τs之間的關系，所建立的巖石黏彈塑性流變模型的流變方程可分為以下2種情況：

(1) 當τ0≤τs時，巖石黏彈塑性流變模型的第1部分處于禁止狀態(tài)，因此模型發(fā)揮作用的只是第2部分，由文獻[2]可知其相應的流變方程為

(4)

式中：u(t)為變形量；G1為瞬時剪切模量；G2和G3均為黏彈性剪切模量；η1和η2均為黏滯系數(shù)。

(2) 當τ0>τs時，巖石黏彈塑性流變模型的第1和第2部分均處于啟動狀態(tài)，其相應的流變方程為

(5)

式中η3為黏滯系數(shù)。

顯然，當τ0≤τs時，可用式(4)來描述圖1中的曲線1和曲線2；當τ0>τs時，可用式(5)來描述圖1中的曲線3。若將式(4)和式(5)合并成一個式子，則有

(6)

其中H(τ0-τs)為正值函數(shù)，即

(7)

2.3 一維通式與三維流變方程

根據(jù)2.2節(jié)中式(4)所示的黏彈性流變模型，可得到算子形式的通式[12]為

P(D)σ=Q(D)ε。

(8)

對于2.2節(jié)中的式(6)，當τ0<τs時，其一維通式與式(8)相同；當τ0≥τs時，若采用式(8)表達一維通式，應將式中的σ用σ-σs來代替，即一維本構方程的通式可表示為

(9)

在三維應力狀態(tài)下，可將巖石材料內(nèi)部的應力張量分成球應力張量和偏應力張量。對于球應力張量σm的表達式為

(10)

偏應力張量為

(11)

從而可得

σij=Sij+δijσm。

(12)

同理，也可將應變張量分成球應變張量εm和偏應變張量eij分別為

(13)

(14)

于是可得

εij=eij+δijεm。

(15)

設巖石彈性剪切模量為G、彈性體積模量為K，則二者與彈性模量E及泊松比μ之間的關系為

(16)

基于彈性理論，彈性本構關系的一維形式可表示為

σ=E0ε。

(17)

彈性本構關系的三維張量形式可表示為

Sij=2G0eij, σii=3Kεii。

(18)

式中：Sij為應力偏量；eij為應變偏量；σii為應力;εii為應變。

結合式(18)，對于三維狀態(tài)下的黏彈性體，其流變方程可參照一維應力狀態(tài)下的流變方程求得，但方程中的偏應變須用試驗時的恒定偏應力Sij來代替，即

(19)

對于黏塑性模型的三維流變方程有

(20)

由式(19)、式(20)可得三維應力狀態(tài)下的巖石流變方程為：

當Sij≤τs時，與式(19)相同;

當Sij>τs時，

(21)

3 模型參數(shù)的確定及應用

筆者曾利用精度為0.001 mm的JQ200型巖石剪切流變儀對西藏邦鋪礦區(qū)花崗巖進行了巖石剪切試驗。試驗采用分級連續(xù)加載的方式，并保證試驗過程中環(huán)境溫度恒定?，F(xiàn)以天然狀態(tài)的花崗巖流變試驗數(shù)據(jù)為依據(jù)，給出本文的巖石黏彈塑性流變模型的參數(shù)確定方法。

(1) 當τ0≤τs時，H(τ0-τs)=0，此時巖石黏彈塑性流變模型退化為5元件黏彈性剪切流變模型，即由式(6)轉化為式(4)。對于5元件黏彈性剪切流變模型的參數(shù)求解方法可參照文獻[2]。具體的求解方法是：首先根據(jù)試驗數(shù)據(jù)確定瞬時剪切模量G1。由式(4)可知，當t=0時，G1=τ0/u(0)，u(0)為泥巖的瞬時彈性變形量，可從花崗巖流變試驗曲線上直接得到，而τ0為已知量，因此可求得G1。然后再確定花崗巖黏彈性剪切模量G2，G3及黏滯系數(shù)η1，η2。這里借助Origin軟件中自帶的功能函數(shù)Exp-Assoc對花崗巖的剪切流變試驗數(shù)據(jù)進行擬合，最終可獲得花崗巖黏彈性剪切模量G2，G3及黏滯系數(shù)η1，η2。

(2) 當τ0>τs時，則有H(τ0-τs)=τ0-τs。此時巖石將出現(xiàn)圖1中曲線3的流變狀態(tài)，求解模型參數(shù)的具體步驟如下：

①利用花崗巖在(0，t2)時段內(nèi)的流變試驗數(shù)據(jù)，并根據(jù)求解5元件黏彈性剪切流變模型參數(shù)的具體方法確定G1，G2，G3與η1，η25個參數(shù)。

②在(t2，tc)時段內(nèi)，利用得到的5元件黏彈性剪切流變模型求出該段時間內(nèi)巖石的黏彈性理論解。然后用花崗巖剪切流變試驗數(shù)據(jù)對相應黏彈性理論解作差，將得到n組(Δu，t)的數(shù)據(jù)。

圖5 巖石黏彈塑性流變模型與試驗結果的對比

③在Origin中輸入得到的n組數(shù)據(jù)并繪制散點圖。由于Origin中沒有能夠表達公式(1)的內(nèi)置函數(shù)，故需自定義函數(shù)進行非線性擬合。在Origin中自定義函數(shù)并初始化系數(shù)后對n組數(shù)據(jù)進行非線性回歸分析，即可得到巖石黏塑性流變模型的剪切流變參數(shù)η3和n。至此，7個剪切流變參數(shù)便可全部求得。

圖5給出了天然狀態(tài)下花崗巖出現(xiàn)加速流變的全過程試驗結果與巖石黏彈塑性流變模型的對比曲線，求得的模型參數(shù)如表1所示。從圖中可以看出，所建立的巖石黏彈塑性流變模型與花崗巖剪切流變試驗結果吻合得比較理想，這表明了該模型的具有一定的正確性和合理性，因此可以用它來描述巖石的加速流變階段。

表1 巖石黏彈塑性流變模型參數(shù)值

4 結 語

(1) 假定巖石非線性流變變形與時間的冪函數(shù)成指數(shù)型關系，提出了一種新的非線性黏性元件，將其與一個塑性元件并聯(lián)起來，構成了一個新的黏塑性流變模型，并給出了模型的流變方程。

(2) 將新的巖石黏塑性流變模型與5元件黏彈性剪切流變模型串聯(lián)起來，建立了一種新的巖石黏彈塑性流變模型。同時，基于花崗巖剪切流變試驗，給出了模型參數(shù)的求解方法。

(3) 利用建立的巖石黏彈塑性流變模型對天然狀態(tài)下的花崗巖流變?nèi)糖€進行擬合，得到了模型的流變參數(shù)。流變模型曲線與試驗結果的比較顯示：本文所建立的巖石黏彈塑性流變模型具有一定的正確性和合理性。

參考文獻：

[1] 黃耀英，鄭 宏.節(jié)理巖體等效損傷流變模型初步研究[J].巖土力學，2011，32(12)：3566-3570.(HUANG Yao-ying, ZHENG Hong. Preliminary Study of Equivalent Damage Rheological Model for Jointed Rock[J]. Rock and Soil Mechanics, 2011，32(12)：3566-3570. (in Chinese))

[2] 徐衛(wèi)亞，楊圣奇.節(jié)理巖石剪切流變特性試驗與模型研究[J].巖石力學與工程學報，2005，24(增2)：5536-5542.(XU Wei-ya, YANG Sheng-qi. Experiment and Modeling Investigation on Shear Rheological Property of Joint Rock[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2005, 24(Sup.2): 5536-5542. (in Chinese))

[3] CRISTESCU N D. A General Constitutive Equation for Transient and Stationary Creep of Rock Salt[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences & Geo-mechanics Abstracts, 1993, 30(2):125-140.

[4] CRISTESCU N D. A Procedure to Determine Non-associated Constitutive Equations for Geo-materials[J]. International Journal of Plasticity，1994，10(2):103-131.

[5] 宋勇軍，雷勝友，韓鐵林.一種新的巖石非線性黏彈塑性流變模型[J].巖土力學，2012，33(7)： 2076-2080.(SONG Yong-jun, LEI Sheng-you, HAN Tie-lin. A New Nonlinear Viscoelasto-plastic Rheological Model for Rocks[J]. Rock and Soil Mechanics, 2012,33(7): 2076- 2080. (in Chinese))

[6] 楊圣奇，徐衛(wèi)亞，楊松林.龍灘水電站泥板巖剪切流變力學特性研究[J].巖土力學，2007，28(5)：895-902.(YANG Sheng-qi, XU Wei-ya, YANG Song-lin. Investigation on Shear Rheological Mechanical Properties of Shale in Longtan Hydropower Project[J].Rock and Soil Mechanics, 2007, 28(5):895-902. (in Chinese))

[7] 徐衛(wèi)亞，楊圣奇，謝守益，等.綠片巖三軸流變力學特性的研究(II)：模型分析[J].巖土力學，2005，26(5)：693-698.(XU Wei-ya, YANG Sheng-qi, XIE Shou-yi,etal. Investigation on Triaxial Rheological Mechanical Properties of Greenschist Specimen (II): Model Analysis[J]. Rock and Soil Mechanics, 2005, 26(5): 693-698. (in Chinese))

[8] 徐 輝，胡 斌，唐輝明，等.飽水砂巖的剪切流變特性試驗及模型研究[J].巖石力學與工程學報，2010，29(增1):2776-2781.(XU Hui, HU Bin, TANG Hui-ming,etal. Experiment and Model Research on Shear Rheological properties of Saturated Sandstone[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2010, 29(Sup.1): 2776-2781. (in Chinese))

[9] 胡 斌，蔣海飛，胡新麗，等.紫紅色泥巖剪切流變力學特性分析[J].巖石力學與工程學報，2012，31(增1)：2796- 2802.(HU Bin, JIANG Hai-fei, HU Xin-li,etal. Analysis of Shear Rheological Mechanical Properties of Fuchsia Mudstone[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2012, 31(Sup.1): 2796- 2802. (in Chinese))

[10] 鄧榮貴，周德培，張倬元，等.一種新的巖石流變模型[J].巖石力學與工程學報，2001，20(6)：780-784.(DENG Rong-gui, ZHOU De-pei, ZHANG Zhuo-yuan,etal. A New Rheological Model for Rocks[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2001，20(6)：780-784. (in Chinese))

[11] 楊圣奇，倪紅梅，于世海.一種巖石非線性流變模型[J].河海大學學報(自然科學版)，2007，35(4)：388-392.(YANG Sheng-qi, NI Hong-mei, YU Shi-hai. A Kind of Nonlinear Rheological Model for Rock[J]. Journal of Hohai University(Natural Sciences), 2007,35(4):388-392. (in Chinese))

[12] 王芝銀，李云鵬.巖體流變理論及其數(shù)值模擬[M].北京：科學出版社，2008.(WANG Zhi-yin, LI Yun-peng. Rock Rheological Theory and Numerical Simulation[M]. Beijing: Science Press, 2008. (in Chinese))