考慮壁面阻力水躍共軛水深的計(jì)算方法

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(西安理工大學(xué) 水利水電學(xué)院，西安 710048)

1 水躍共軛水深的研究現(xiàn)狀

水躍是水流從急流過渡到緩流時(shí)水面突然躍起的一種局部水流現(xiàn)象。水躍計(jì)算主要解決3個(gè)問題：水躍的能量損失、水躍長(zhǎng)度和共軛水深。能量損失可以通過能量方程來確定，水躍長(zhǎng)度目前主要依據(jù)試驗(yàn)建立的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算，水躍的共軛水深可以通過動(dòng)量方程求得。

矩形明渠的水躍如圖1所示，水躍前1-1斷面和躍后2-2斷面的動(dòng)量方程可得[1]

(1)

圖1 水躍示意圖

設(shè)η=h2/h1為水躍的共軛水深比，代入式(1)求解得

(2)

1938年，Belanger忽略渠底阻力，即取Cf=0，由公式(1)得到了著名的水躍方程為

(3)

N.Rajaratnamn[2]的試驗(yàn)研究表明，考慮壁面阻力的水躍躍后水深比Belanger公式計(jì)算的值小，且隨著弗勞德數(shù)增大，二者差距增大，當(dāng)弗勞德數(shù)Fr1=10時(shí)，差值達(dá)4%，而Harleman的試驗(yàn)也證明了這一點(diǎn)。

1993年，薛朝陽[3]推導(dǎo)了考慮壁面阻力的水躍方程，認(rèn)為N.Rajaratnam只進(jìn)行了一種幾乎是最光滑的壁面的水躍摩阻力試驗(yàn)，其結(jié)果不能用于其他不同粗糙度的壁面。他應(yīng)用謝才公式、切應(yīng)力的基本公式和動(dòng)量方程，導(dǎo)出了考慮壁面阻力的水躍方程為

(4)

式中：B為矩形渠道的寬度；Lj為水躍長(zhǎng)度；n為渠道壁面糙率；n0為已知某一渠道壁面的糙率。

由公式(4)可以看出，薛朝陽的公式過于復(fù)雜，不易求解。1994年，O.Iwao[4]通過試驗(yàn)給出了阻力系數(shù)的計(jì)算公式

Cf=0.12(Fr1-1)2。

(5)

式中的適應(yīng)條件為3≤Fr1≤10。

文獻(xiàn)[5]指出：自從Leonardo和Vinic對(duì)水躍現(xiàn)象描述以來，在近5個(gè)世紀(jì)中已有數(shù)百篇論文來討論這一問題，絕大多數(shù)論文都是以宏觀的形式來描述水躍，而水躍內(nèi)部的微觀流態(tài)卻很少受到關(guān)注。

實(shí)際上，早在20世紀(jì)30年代，國(guó)外學(xué)者就已經(jīng)開始研究水躍的內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)。1934年，F(xiàn)?rthmann’s就測(cè)量了附壁射流區(qū)的流速分布，并以邊界層厚度將附壁射流區(qū)分為內(nèi)區(qū)和自由混合區(qū)。內(nèi)區(qū)即邊界層區(qū)域，流速沿垂線方向不斷增大，最大流速點(diǎn)距壁面的距離即為邊界層厚度；在邊界層以上的混合區(qū)，流速沿垂線逐漸減小，在水面附近減小為零。在附壁射流區(qū)，各斷面的流速分布具有相似性，這些成果對(duì)水躍特性的研究具有非常重要的作用。以后Zerbe and Selna(1946),Sigalla(1958),Schwarz 和 Selna(1961)等都對(duì)附壁射流做過研究。1963年，G. E. Myers等[6]較詳細(xì)地測(cè)量了平板附壁射流區(qū)的流速分布、邊界層的發(fā)展和壁面阻力。研究發(fā)現(xiàn)：在附壁射流區(qū)，邊界層內(nèi)的流速分布符合指數(shù)律，其指數(shù)為1/14，而非常用的1/7；在內(nèi)區(qū)，流速分布也可以用對(duì)數(shù)律表示。1963年，Verhoff根據(jù)F?rthmann’s的試驗(yàn)結(jié)果給出了附壁射流區(qū)斷面流速分布的公式。1967年，Rajaratnam 和 Subramanya根據(jù)Myers，Sigalla，Schwarz and Cosart，Gartshore以及自己的試驗(yàn)成果，給出了附壁射流區(qū)最大流速沿程變化的計(jì)算公式。Sigalla利用Preston tube測(cè)量了壁面切應(yīng)力，并給出了切應(yīng)力的表達(dá)式。

N.Rajaratnam的最大貢獻(xiàn)是將水躍看作附壁射流。1965年，N.Rajaratnam[2]在對(duì)水躍的研究中，提出水躍也是一種附壁射流的新概念。這一概念的提出，為水躍研究開拓了新思路，可以利用附壁射流的研究成果來研究水躍，使水躍的研究從宏觀走向了微觀。1976年，N.Rajaratnam在TurbulentJets[7]著作中，全面地論述了前人對(duì)附壁射流的試驗(yàn)研究成果，主要包括附壁射流區(qū)的流速分布、邊界層的發(fā)展、壁面切應(yīng)力等。1985年，郭子中[8]在他的混合流理論中，提出水躍是一種貼底的附壁射流，提法上與N.Rajaratnam的不謀而合。

雖然前人對(duì)水躍的微觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行了試驗(yàn)研究，但至今在水躍共軛水深的計(jì)算中仍然采用不考慮壁面阻力的Belanger公式。雖然該公式應(yīng)用方便，但計(jì)算出來的躍后水深偏大。所以本文在前人對(duì)水躍區(qū)流速分布、壁面切應(yīng)力試驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上，從邊界層理論出發(fā)，提出考慮壁面阻力的水躍共軛水深計(jì)算的新方法。

2 水躍區(qū)的流速分布和邊界層的發(fā)展

水躍區(qū)的水流流態(tài)如圖2所示，圖中h1和h2分別為躍前和躍后斷面的水深，Lr為水躍的旋滾長(zhǎng)度，Lj為水躍長(zhǎng)度，v1和v2分別為躍前和躍后斷面的平均流速，e0為閘門開度，F(xiàn)為床面摩阻力。

圖2 光滑壁面消力池水躍示意圖

根據(jù)N.Rajaratnam[2]對(duì)水躍的新定義，利用附壁射流的研究成果對(duì)水躍進(jìn)行研究。1965年，Verhoff給出了附壁射流區(qū)斷面上的流速分布為

(6)

式中：u為斷面任一點(diǎn)的流速；Um為斷面最大流速；η0=y/b，b為最大流速之半處距壁面的距離；e-ξ2為誤差函數(shù)，將上式展開取前3項(xiàng)得

(7)

由式(7)可以看出，當(dāng)u=Um時(shí)，y=δ,δ為邊界層厚度。經(jīng)由公式(7)計(jì)算，當(dāng)δ/b=0.167 54時(shí)，u=Um，當(dāng)y/b=1.795時(shí)，u=0。

Rajaratnam 和 Subramanya給出了最大流速沿程變化的公式為

Um/v1=3.45(x/h1)-1/2。

(8)

Sigalla給出壁面切應(yīng)力系數(shù)為

(9)

式中υ為水流的運(yùn)動(dòng)黏滯系數(shù)。

邊界層的發(fā)展可以用邊界層的動(dòng)量積分方程來求得。邊界層的動(dòng)量微分方程為

(10)

式中：δ1為邊界層的位移厚度；δ2為邊界層的動(dòng)量損失厚度；ρ為水流的密度。

(11)

(12)

為了便于積分，根據(jù)G.E.Myers等[6]的研究成果，水躍區(qū)的流速分布符合指數(shù)律，其指數(shù)為1/14，即

(13)

將公式(13)代入公式(11)和公式(12)積分得δ1=0.066 667δ，δ2=0.058 333δ。將δ1，δ2和公式(8)，公式(9)代入公式(10)積分得

(14)

將公式(8)和公式(14)代入公式(9)得壁面切應(yīng)力系數(shù)為

(15)

壁面切應(yīng)力為

(16)

水躍區(qū)的阻力為

2.803ρv19/5h19/10υ1/5(δ0-0.1-Lr-0.1)。

(17)

式中:積分下限應(yīng)該為零，但如果取為零，積分為無窮大，這顯然是不合理的。分析原因可能是流速分布的經(jīng)驗(yàn)公式形式不完善造成的。N.Rajaratnam的試驗(yàn)表明，水躍區(qū)流速分布相似的斷面位置約在x/h1=20，而G.E.Myers則給出了4≤x/h1≤14。為了能夠應(yīng)用上式，積分下限取一有限小量，本文取δ0=0.1 m。積分上限為水躍長(zhǎng)度。對(duì)于水躍長(zhǎng)度，一般有2種確定方法：一是以水躍旋滾的末端作為水躍的長(zhǎng)度，稱旋滾長(zhǎng)度Lr；另一種是以旋滾后水面基本與渠底平行時(shí)的最近點(diǎn)作為水躍末端，稱為水躍長(zhǎng)度Lj。顯然，在水躍旋滾末端的水深已達(dá)到了躍后水深 ，所以取旋滾長(zhǎng)度Lr作為計(jì)算壁面阻力比較合適。阻力系數(shù)為

(18)

式中γ為水的重度。

根據(jù)文獻(xiàn)[9]水躍旋滾長(zhǎng)度的實(shí)測(cè)結(jié)果，作者擬合的經(jīng)驗(yàn)公式為

Lr=5.450 6(Fr1-1)1.037 6h1。

(19)

3 公式驗(yàn)證

下面用F.G.Carollo等[9-10]的實(shí)測(cè)資料來驗(yàn)證公式的正確性。F.G.Carollo等[9-10]在對(duì)粗糙壁面水躍的試驗(yàn)研究中，為了與光滑壁面對(duì)比，也實(shí)測(cè)了光滑壁面的躍前斷面和躍后斷面的水深。由于在測(cè)量中水面波動(dòng)較大，實(shí)測(cè)躍后水深有時(shí)甚至大于不考慮壁面阻力時(shí)的計(jì)算值，所以在對(duì)比時(shí)，先根據(jù)實(shí)測(cè)的躍前斷面水深h1和弗勞德數(shù)Fr1，由公式(3)計(jì)算出不考慮壁面阻力的躍后水深h2，如果實(shí)測(cè)的躍后水深大于用公式(3)計(jì)算的躍后水深，則不在比較之列，只比較實(shí)測(cè)的躍后水深小于用公式(3)計(jì)算的躍后水深的值。比較結(jié)果如表1所示。由表1中可以看出，考慮壁面阻力后計(jì)算的躍后水深與實(shí)測(cè)值接近，除1項(xiàng)誤差大于5%外，其余均小于3.5%。

表1 考慮壁面阻力時(shí)實(shí)測(cè)躍后水深與計(jì)算躍后水深比較

4 結(jié) 語

本文從前人對(duì)水躍區(qū)流速分布、壁面切應(yīng)力分布的研究成果出發(fā)，根據(jù)邊界層的動(dòng)量積分方程研究了水躍區(qū)的紊流邊界層的發(fā)展和壁面阻力系數(shù)的變化規(guī)律。根據(jù)F.G.Carollo對(duì)水躍旋滾長(zhǎng)度的試驗(yàn)成果，擬合了旋滾長(zhǎng)度的計(jì)算公式，給出了考慮壁面阻力情況下平底矩形明渠水躍共軛水深的計(jì)算方法。通過與F.G.Carollo和W.C.Hughes的試驗(yàn)資料對(duì)比，驗(yàn)證了公式的正確性。

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