基于直覺模糊集和有效測度的Choquet積分

楊蘭珍 ， 哈明虎，張自儒

(1.河北大學 數(shù)學與計算機學院，河北 保定 071002；2.河北軟件職業(yè)技術(shù)學院 學生處，河北 保定 071000)

自模糊集[1]誕生之后，由于其在各領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用而引起了大量學者的研究興趣,這也使模糊集理論得到了大量的推廣,直覺模糊集就是其中之一.自從1983年Atanassov 等人[2-3]提出直覺模糊集的概念之后,許多學者也投入到對直覺模糊集的研究工作中，至今直覺模糊集已應(yīng)用于直覺模糊專家系統(tǒng)、直覺模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和群決策、模糊優(yōu)化、醫(yī)療疹斷和模糊識別領(lǐng)域.

2009年，Witold等[4-6]提出了基于經(jīng)典集合的有效測度(或稱效率測度)，其實質(zhì)為一特殊廣義模糊集值測度[7]，且其應(yīng)用主要借助于模糊積分這一工具.然而模糊積分作為整合算子一直備受關(guān)注，特別是Choquet積分.此積分是法國學者Choquet于1954年針對容度定義提出的，且作為一種經(jīng)典的非線性積分，已經(jīng)被成功應(yīng)用于信息融合和數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域[8].

值得關(guān)注的是，最近有學者紛紛開始研究基于直覺模糊集的Choquet積分[9-12],但是其工作側(cè)重于基于直覺模糊值映射或者基于直覺模糊值測度的Choquet積分.基于此，本文首先將基于經(jīng)典集合的有效測度推廣到基于直覺模糊集合的有效測度，并分析其性質(zhì)；然后討論定義在直覺模糊集合上基于實值有效測度和實值可測映射的Chouquet積分，并研究其性質(zhì).

設(shè)X是一個非空集合, F是由X的若干經(jīng)典子集組成的σ-代數(shù), (X，F(xiàn))稱為可測空間, C是由X的若干經(jīng)典子集組成的類.M={f:X→[-∞,∞]|f是可測的}，M+={f:X→[0,∞]|f是可測的}.

定義1[4-6]映射μ: C→[0, ∞] 稱為有效測度當且僅當若?∈C，有μ(?)=0.

值得關(guān)注的是：模糊測度、λ-模糊測度、擬測度、信任測度、似然測度等都是特殊的有效測度.

1 基于直覺模糊集的有效測度

事實上，直覺模糊熵可以認為是一種定義在直覺模糊集上的有效測度.此外，進一步改進直覺模糊特殊測度[13]，給出定義7.

(FM1)平凡性：μ(?)=0;

注：μ稱為下半(或上半)連續(xù)實值直覺模糊測度, 如果它滿足上述條件(FM1)，(FM2)和(FM3)(或(FM1)，(FM2)和(FM4))；μ稱為實值直覺單調(diào)測度，如果它滿足上述條件 (FM1)和(FM2). 顯然，實值直覺模糊測度，半連續(xù)實值直覺模糊測度，以及實值直覺單調(diào)測度都為特殊的實值直覺有效測度.

從而根據(jù)μ的crisp零可減定義, 有

從而

故μ是crisp零可減的.

2 基于直覺模糊集和有效測度的Choquet積分

注：命題1中的積分是定義在直覺模糊集上的關(guān)于直覺實值有效測度的Choquet積分.

證明類似于一般Choquet積分的證明,故略.

與假設(shè)相矛盾.

3 結(jié)論

給出了一種基于直覺模糊集的實值有效測度，討論了crisp零可減，直覺模糊相乘等相關(guān)性質(zhì)；結(jié)合有效測度，討論了直覺模糊集合上的Choquet積分的基本性質(zhì)，從而推廣了基于普通集合和直覺模糊集合的非可加測度論.

參 考 文 獻:

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