十七世紀(jì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)論根源

張俊青

（長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011）

十七世紀(jì)的歐洲由于受文藝復(fù)興思潮的沖擊以及對(duì)外擴(kuò)張和探險(xiǎn)的影響而成為近代科學(xué)與技術(shù)的發(fā)源地。航海大發(fā)現(xiàn)使人們對(duì)自己生活的地球有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也帶來了一系列新的天文學(xué)問題。此外諸如軍事、船舶制造、機(jī)械生產(chǎn)等方面的一些技術(shù)問題也已無法用初等數(shù)學(xué)的知識(shí)來解決，數(shù)學(xué)迫切需要融入新的血液。這種形勢(shì)促使數(shù)學(xué)家關(guān)注對(duì)變量的研究，解析幾何的創(chuàng)立標(biāo)志著近代數(shù)學(xué)的序幕開啟。以此為基礎(chǔ)，通過對(duì)當(dāng)時(shí)一系列實(shí)際問題的算法的抽象總結(jié)，牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分。

解析幾何和微積分的創(chuàng)立使數(shù)學(xué)突破傳統(tǒng)常量研究范圍，開始了數(shù)學(xué)發(fā)展史上由常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)的一個(gè)嶄新時(shí)代。從此數(shù)學(xué)進(jìn)入用運(yùn)動(dòng)、發(fā)展和聯(lián)系的觀點(diǎn)來分析把握研究對(duì)象的時(shí)期，人們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)也提升到了一個(gè)新的高度，對(duì)后來的數(shù)學(xué)乃至科學(xué)的發(fā)展都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。人們對(duì)數(shù)學(xué)的這些認(rèn)識(shí)植根于當(dāng)時(shí)這個(gè)時(shí)代的哲學(xué)、宗教和科學(xué)思想中，并在相互交織中逐漸演進(jìn)。

1 哲學(xué)視野中的數(shù)學(xué)

由于科學(xué)和技術(shù)的巨大進(jìn)步，近代西方哲學(xué)關(guān)注的中心由本體論轉(zhuǎn)向認(rèn)識(shí)論，以笛卡爾身心二元論哲學(xué)思想為標(biāo)志，哲學(xué)家的注意力開始聚焦于認(rèn)識(shí)主體與客體的關(guān)系方面，形成了經(jīng)驗(yàn)論和唯理論兩個(gè)派別。

經(jīng)驗(yàn)論堅(jiān)持人的一切認(rèn)識(shí)最初都來自感覺和經(jīng)驗(yàn)，但他們不否定理性，而是把理性當(dāng)作解釋和闡明經(jīng)驗(yàn)事實(shí)的涵義，以及對(duì)由經(jīng)驗(yàn)提供的基本前提進(jìn)行邏輯推演的重要思維基礎(chǔ)來看待。由此，培根提出了新的科學(xué)方法——?dú)w納法，通過搜集事實(shí)，提出假說，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、歸納概括，就可以在事實(shí)的基礎(chǔ)上建立起科學(xué)理論。在數(shù)學(xué)上，經(jīng)驗(yàn)主義者與亞里士多德一脈相承，認(rèn)為數(shù)學(xué)概念與知識(shí)來自于經(jīng)驗(yàn)，是從經(jīng)驗(yàn)對(duì)象的性質(zhì)中歸納總結(jié)出來的，數(shù)學(xué)專注于這些概念之間的區(qū)別與聯(lián)系。比如，數(shù)字3的概念是對(duì)所有包含3個(gè)對(duì)象的集合的抽象，而三角形概念來自于對(duì)經(jīng)驗(yàn)世界中所有三角形的總結(jié)[1]71-73。

與之相對(duì)的唯理論則認(rèn)為，就根源和基礎(chǔ)來看認(rèn)識(shí)應(yīng)是先天的、與生俱來的、依存于理性的，雖然認(rèn)識(shí)中也存在感覺經(jīng)驗(yàn)的因素，但這是后天的、是以先天理性為前提的。在這個(gè)意義上，唯理論被稱為先驗(yàn)論，其代表人物便是笛卡爾。笛卡爾認(rèn)為，感性只能提供模糊不清的東西，只有理性才能提供清楚而明白的觀念，也只有通過理性才能得到真正的知識(shí)。他也不否認(rèn)經(jīng)驗(yàn)在人的認(rèn)識(shí)中所處的地位，但認(rèn)為來源于經(jīng)驗(yàn)的知識(shí)是不可靠的，必須經(jīng)過理性的加工。用理性標(biāo)準(zhǔn)來審視已有知識(shí)，我們所學(xué)的一切知識(shí)都可能是錯(cuò)誤的、值得被懷疑的。解決這個(gè)問題的最好辦法是用理性的思維懷疑一切，然后再用一種可靠的方法將其一一證明。這就促使其尋找一種在一切領(lǐng)域都可驗(yàn)證真理的普遍方法。數(shù)學(xué)是理性能夠清楚明白地理解的，所以笛卡爾將數(shù)學(xué)的方法視為驗(yàn)證真理的普遍方法，并以用此方法找出的一些最根本的真理作為哲學(xué)的基礎(chǔ)。經(jīng)過分析古代已有的幾何學(xué)和當(dāng)時(shí)已有的代數(shù)學(xué)知識(shí)，他發(fā)現(xiàn)相對(duì)于抽象的希臘幾何，有規(guī)則和公式約束的代數(shù)更具有作為一門普遍科學(xué)方法的潛力。他認(rèn)為一切問題都可轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題、一切數(shù)學(xué)問題又可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。在這種思想的推動(dòng)下，他確立了坐標(biāo)幾何學(xué)，即解析幾何學(xué)的基礎(chǔ)。從這里我們可看出，哲學(xué)觀引導(dǎo)著人們對(duì)數(shù)學(xué)的重視和研究,也引導(dǎo)著人們對(duì)數(shù)學(xué)真理的確認(rèn)[2]。在笛卡爾思想的影響下，絕大部分唯理論者都視數(shù)學(xué)為絕對(duì)真理，他們以數(shù)學(xué)為知識(shí)范本，以證明數(shù)學(xué)定理的方式來證明哲學(xué)的真理，并把這種演繹方法作為其哲學(xué)的基本方法。

十七世紀(jì)由于理性主義與經(jīng)驗(yàn)主義的聯(lián)手，使數(shù)學(xué)突破了柏拉圖主義的傳統(tǒng)束縛，導(dǎo)致許多全新的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)成果的產(chǎn)生。數(shù)學(xué)一方面從天文學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)實(shí)踐中吸取靈感，創(chuàng)造了對(duì)數(shù)、三角，微積分等優(yōu)秀成果，另一方面，數(shù)學(xué)中的理性主義精神和邏輯力量也在其它學(xué)科中發(fā)揮了重要的作用。

2 宗教視野中的數(shù)學(xué)

宗教一方面阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展，但另一方面也不得不承認(rèn)其在數(shù)學(xué)研究中的積極作用。近代數(shù)學(xué)不僅繼承了古希臘數(shù)學(xué)的優(yōu)秀成果,而且也是基督教文化孕育下的產(chǎn)物?；浇涛幕袃蓚€(gè)最基本的共識(shí)，一是自然界有著嚴(yán)格的秩序，當(dāng)然這個(gè)秩序是上帝設(shè)計(jì)的；二是關(guān)于人的作用，認(rèn)為人的職責(zé)是利用理性和邏輯的力量去發(fā)現(xiàn)和論證這些秩序和規(guī)律。由此，數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)精神與基督教教義不謀而合，以歐幾里得《幾何原本》為代表的數(shù)學(xué)因其確定性和嚴(yán)謹(jǐn)性而受到了宗教信徒的推崇，并作為秩序和理性的典范而被基督教思想所接納。在他們看來，數(shù)學(xué)被上帝作為設(shè)計(jì)自然的方式是上帝意志的集中體現(xiàn),宗教活動(dòng)的一個(gè)重要內(nèi)容就是以虔誠的心去探求自然界的數(shù)學(xué)法則。十七世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展在很大程度上受益于宗教觀念的轉(zhuǎn)變，這種轉(zhuǎn)變一方面更加強(qiáng)化了數(shù)學(xué)在人類知識(shí)中的地位和作用，另一方面也促使人們?yōu)闈M足強(qiáng)烈的宗教動(dòng)機(jī)而去研究數(shù)學(xué)，從而為數(shù)學(xué)研究提供了不竭的精神動(dòng)力。數(shù)學(xué)家們以研究上帝的秘密和上帝安排宇宙的方案為動(dòng)機(jī)，積極投身于探索大自然的數(shù)學(xué)規(guī)律中，開普勒、伽利略、笛卡兒、惠更斯、牛頓等近代科學(xué)和數(shù)學(xué)理論的開拓著們，都將數(shù)學(xué)研究看作是展示上帝智慧的方式，視其為神圣的宗教使命。在科學(xué)研究中他們不斷地驗(yàn)證了天體和地面物體的運(yùn)動(dòng)可以用數(shù)學(xué)定律得到很好的解釋，從而反過來使他們更加確信上帝用數(shù)學(xué)方式創(chuàng)造了自然界。

十七世紀(jì)的科學(xué)家大部分都是宗教信仰者，牛頓是其中最具影響力的代表，也是當(dāng)時(shí)最著名的物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家。他將他的理論命名為《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，表明他的研究強(qiáng)調(diào)定量的數(shù)學(xué)描述而不是物理學(xué)解釋[3]45-47。在他的天體力學(xué)體系中，萬有引力是核心概念，而這個(gè)概念說明兩個(gè)物體不管相距多遠(yuǎn)都具有相互的吸引力，這是完全超越人們經(jīng)驗(yàn)的，更不用說用物理學(xué)術(shù)語去解釋了。

基督教精神中的數(shù)學(xué)情懷說到底只是一種信仰，不可能是事實(shí)，但在那個(gè)宗教占統(tǒng)治地位的時(shí)代，這種信仰卻使研究者把尋求自然界的數(shù)學(xué)規(guī)律作為一個(gè)宗教信徒的神圣使命而不懈追求。更為有趣的是，數(shù)學(xué)本來是作為理性與秩序的典范而被基督教所垂青，其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评矸绞竭€被用來編寫龐大的教義體系，但另一個(gè)意想不到的結(jié)果卻是數(shù)學(xué)從此走上了經(jīng)驗(yàn)主義的研究道路。伽利略等人認(rèn)為創(chuàng)世主已在他創(chuàng)造自然時(shí)將數(shù)學(xué)規(guī)律蘊(yùn)含其中，所以人類必須通過研究現(xiàn)象世界、以對(duì)自然的經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)來達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)的理解，數(shù)學(xué)研究就與物理世界、實(shí)踐活動(dòng)相互結(jié)合。這種觀點(diǎn)不僅使古代數(shù)學(xué)知識(shí)走上復(fù)興之路，而且將數(shù)學(xué)研究引向經(jīng)驗(yàn)主義的方向，并由伽利略發(fā)展出不同于傳統(tǒng)的現(xiàn)象描述和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)法，為數(shù)學(xué)在十七、十八世紀(jì)的綻放奠定了基礎(chǔ)[4]。

沒有古希臘數(shù)學(xué)就沒有近現(xiàn)代數(shù)學(xué)，這一點(diǎn)誰也不會(huì)懷疑，但基督教精神的滋養(yǎng)與哺育也是近代數(shù)學(xué)思想的重要源泉，由此而興起的通過數(shù)學(xué)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)方法相結(jié)合去探求自然法則的思想,使數(shù)學(xué)在十八世紀(jì)大放異彩。

3 科學(xué)視野中的數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)在基督教文化中獲得了至高無上的地位，人們將數(shù)學(xué)研究作為虔誠的宗教活動(dòng)，這更多地體現(xiàn)在觀念上，是隱性的。在實(shí)際情況中，當(dāng)這種數(shù)學(xué)成果被揭示得越來越多的時(shí)候，人們往往會(huì)不自覺地形成一種認(rèn)識(shí)，認(rèn)為研究數(shù)學(xué)的目的就是解決物理或自然界的問題，數(shù)學(xué)只是解決這些問題的工具。工具論的思想在十八世紀(jì)的法國盛行，這時(shí)的數(shù)學(xué)被認(rèn)為是解決自然科學(xué)問題的工具，它只有在解決實(shí)際問題時(shí)才是有用的，因此被歸于自然科學(xué)的一個(gè)門類[5]。事實(shí)上，十七世紀(jì)的數(shù)學(xué)雖然在物理、天文學(xué)研究中被作為理論取舍的標(biāo)準(zhǔn)，但在另一方面，數(shù)學(xué)也已經(jīng)被看作是科學(xué)研究的工具，因?yàn)檫@個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)家?guī)缀醵际强茖W(xué)家，這種思想在數(shù)學(xué)內(nèi)部就體現(xiàn)在數(shù)學(xué)研究中重算法輕演繹，重結(jié)果輕推導(dǎo)的風(fēng)氣。這個(gè)時(shí)期的解析幾何、微積分、代數(shù)等學(xué)科就明顯地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的算法特征。

從古希臘以來，幾何學(xué)一直占統(tǒng)治地位，一個(gè)復(fù)雜的幾何難題的解決往往要靠天才的想法或絕妙的構(gòu)思，并必須借助于直觀的圖形。笛卡爾認(rèn)為，這種幾何學(xué)的研究方法過于抽象，也過于死板，不利于幾何學(xué)的發(fā)展。人的空間想象能力是有限的，而代數(shù)推理能力則可以走得更遠(yuǎn)一些，并且比幾何方法具有更為一般的普適性。因此他在幾何學(xué)中建立了坐標(biāo)系，將幾何圖形代數(shù)化，從而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決，由此創(chuàng)立了解析幾何。笛卡爾哲學(xué)研究的目的是尋求自然的規(guī)律，為此必須先找到達(dá)到這個(gè)目的的統(tǒng)一的方法，而這個(gè)方法只有算術(shù)。笛卡爾認(rèn)為，自然界任何問題都可以轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，而數(shù)學(xué)問題總可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)計(jì)算問題，這也包括純粹幾何。笛卡爾將他的解析幾何思想作為他的《方法論》的附錄，體現(xiàn)了其主要目的就是要實(shí)現(xiàn)他的這一哲學(xué)論斷。由于引入了代數(shù)方法，使得幾何問題的證明成為可以按照固定的法則運(yùn)算的算術(shù)過程，這才是解析幾何真正的宗旨與目的。

微積分的創(chuàng)立也體現(xiàn)了強(qiáng)烈的算法特征。十七世紀(jì)的數(shù)學(xué)和物理學(xué)家專注于尋求實(shí)際問題的算法，著名的如開普勒求旋轉(zhuǎn)體的體積、卡瓦列里用不可分量法求圖形的面積、笛卡爾用“圓法”求曲線的切線、費(fèi)馬求函數(shù)的極大極小值、巴羅用“微分三角形”求曲線的切線等。這些問題在當(dāng)時(shí)都被作為不同類型的問題處理，但在算法上卻具有相似的地方。牛頓和萊布尼茲從這些不同的問題當(dāng)中敏銳地抓住了它們?cè)谒惴ㄉ系墓餐?，將它們中的共性抽象出來，總結(jié)為微分和積分兩種算法，并指出了二者之間互逆的運(yùn)算關(guān)系。

十七世紀(jì)的代數(shù)研究主要是兩個(gè)方面，即對(duì)數(shù)和方程。由于在許多領(lǐng)域如天文學(xué)、航海學(xué)、工程和軍事技術(shù)中需要大量的數(shù)值計(jì)算，而且對(duì)計(jì)算的速度和準(zhǔn)確性的要求也與日俱增，英國天才數(shù)學(xué)家耐皮爾在這個(gè)時(shí)候發(fā)明了對(duì)數(shù)算法。這種算法的優(yōu)越性在于，它能將復(fù)雜的乘除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的加減法運(yùn)算，拉普拉斯認(rèn)為這項(xiàng)發(fā)明因減少了運(yùn)算量而大大延長了天文學(xué)家的壽命[6]233-237。在方程方面，數(shù)學(xué)家仍然關(guān)注三次及以上方程的求解，并致力于給出各種不同角度的求解公式或是一般方程的通用解法。對(duì)于較為復(fù)雜的方程，在給不出通用解或是解的形式過于復(fù)雜的情況下，數(shù)學(xué)家也從實(shí)用的角度去尋求一種求解近似解的方法。牛頓迭代法就是很典型的在實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)域上求方程近似解的方法，它使用方程所對(duì)應(yīng)函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)的前幾項(xiàng)來求方程的近似解，其最大的優(yōu)點(diǎn)是能通過反復(fù)迭代將非線性方程的求解轉(zhuǎn)化為線性方程的求解，而且在一般情況下收斂性較好，計(jì)算量較小。

總之，由于受當(dāng)時(shí)將數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科的科學(xué)觀的影響，這個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)研究注重?cái)?shù)值計(jì)算和尋求通用算法，沒有形成嚴(yán)格的理論體系。

4 結(jié)語

十七世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展與文藝復(fù)興后人們對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的改變密切相關(guān)，不管是從哲學(xué)、宗教還是從科學(xué)的角度來看，有關(guān)觀念的轉(zhuǎn)變都造成當(dāng)時(shí)人們對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的新變化。數(shù)學(xué)一方面高高在上成為人們的宗教信仰并通過數(shù)學(xué)研究揭示上帝的秘密，另一方面也沖破了傳統(tǒng)柏拉圖主義數(shù)學(xué)觀的束縛，開始將數(shù)學(xué)研究與科學(xué)研究緊密結(jié)合，并使數(shù)學(xué)成為一種解決實(shí)際問題的工具。這些觀念的轉(zhuǎn)變使這個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)研究開辟了許多新的研究方向和領(lǐng)域，成為數(shù)學(xué)發(fā)展史上最富有成果的時(shí)期之一，從而也十八世紀(jì)數(shù)學(xué)的繁榮奠定了基礎(chǔ)。

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