基于Von Mises分布的PPP寬巷相位偏差計(jì)算方法

趙興旺，張翠英

(安徽理工大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院，安徽 淮南 232001)

一、引 言

精密單點(diǎn)定位(precise point positioning,PPP)技術(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)RTK的定位效果，但整周模糊度確定是數(shù)據(jù)處理的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。由于觀測(cè)值中初始相位和儀器設(shè)備硬件延遲的存在，被模糊度吸收使得非差或單差觀測(cè)值的模糊度不再具有整數(shù)的特性。在這種情況下，若以模糊度解算方法本身的適用性作為一種工具加速精密單點(diǎn)定位收斂，必須對(duì)它進(jìn)行嚴(yán)格的建模改正，以便恢復(fù)非差或單差模糊度的整周特性。針對(duì)這一問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家作了深入研究，目前主要存在兩類(lèi)實(shí)現(xiàn)方法：一類(lèi)為估計(jì)分解衛(wèi)星鐘差法，如加拿大NRCan的Collins等人[1]從鐘差估計(jì)的角度吸收相位偏差的小數(shù)部分，但需要對(duì)衛(wèi)星鐘差進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，計(jì)算復(fù)雜；另一類(lèi)為非整相位偏差法，如美國(guó)德克薩斯州大學(xué)的Gabor[2]、德國(guó)GFZ的Ge[3]，以及我國(guó)的張小紅[4-6]、張寶成[7-8]等對(duì)PPP模糊度固定進(jìn)行了研究，這些研究均是基于模糊度與相位偏差分離的基礎(chǔ)實(shí)現(xiàn)PPP模糊度固定的，并且德國(guó)斯圖加特大學(xué)的Cai[9]，荷蘭代爾夫特理工大學(xué)的Keshin[10]的研究表明，GPS相位值具有方向數(shù)據(jù)的性質(zhì)。

為了建立合適的估計(jì)模型、有效分離相位偏差實(shí)現(xiàn)PPP固定解，必須對(duì)這些相位偏差做出清晰的認(rèn)識(shí)。因此，本文從整數(shù)與小數(shù)分離的角度，對(duì)相位偏差小數(shù)的特性進(jìn)一步研究，尋求科學(xué)合理的相位偏差小數(shù)計(jì)算方法，最后對(duì)算例進(jìn)行分析。

二、相位偏差

GPS載波相位觀測(cè)量中除了鐘差影響、大氣誤差等傳統(tǒng)誤差外，還包含了初始相位偏差和硬件延遲。文獻(xiàn)[11]給出了偽距和載波相位兩種觀測(cè)量，其觀測(cè)方程如下

(1)

(2)

式(2)中，δr、δs分別為接收機(jī)端和衛(wèi)星端的載波相位硬件延遲；φr(t0)和φs(t0)分別為接收機(jī)端和衛(wèi)星端初始相位；其余參數(shù)含義參見(jiàn)文獻(xiàn)[11]。

由式(2)知，數(shù)據(jù)處理時(shí)初始相位和載波相位硬件延遲與模糊度參數(shù)合并為一個(gè)參數(shù)，而消除其影響、維持模糊度為整數(shù)常用的方法是在星間與站間建立雙差觀測(cè)值。但這對(duì)于PPP技術(shù)并不適用，因?yàn)檎鹃g差分無(wú)法消除與衛(wèi)星相關(guān)的這部分偏差影響，因此必需對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)格的標(biāo)定、檢測(cè)或建模修正，才能實(shí)現(xiàn)PPP單差模糊度的固定解。

1. 相位偏差處理原則

由于初始相位和載波相位硬件延遲均對(duì)載波相位模糊度產(chǎn)生直接影響，為了研究的方便，本文將它們統(tǒng)稱(chēng)為相位偏差。于是，將載波相位觀測(cè)方程式(2)中的模糊度項(xiàng)進(jìn)一步表示為

(3)

在PPP星間差分模型中，相位偏差整數(shù)部分對(duì)模糊度的整周性質(zhì)不產(chǎn)生影響，可以與模糊度合并為一項(xiàng)處理，而剩余小數(shù)部分嚴(yán)重破壞了模糊度的整數(shù)性質(zhì)[12]。對(duì)它們的處理通常是建立在整數(shù)與小數(shù)有效分離的基礎(chǔ)上。根據(jù)相位偏差的形成機(jī)理可知，對(duì)于不同測(cè)站，星間差分模糊度應(yīng)該具有近似相等的相位偏差小數(shù)部分。因此，可以按照常規(guī)PPP模式和M-W組合模型對(duì)觀測(cè)網(wǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行聯(lián)合解算，利用較大范圍覆蓋的少量觀測(cè)站數(shù)據(jù)估計(jì)相位偏差。

寬巷觀測(cè)值的模糊度具有長(zhǎng)波長(zhǎng)的特點(diǎn)，受誤差的影響相對(duì)較小，且方便求取，所以本文以寬巷模糊度為例對(duì)其進(jìn)行相位偏差分離和分布特性分析。由觀測(cè)方程式(1)和式(2)分別形成載波相位寬巷組合和偽距窄巷組合，表達(dá)式如下

(4)

(5)

將式(4)和式(5)相減消除公共誤差后便得到寬巷模糊度表達(dá)式

(6)

對(duì)上式進(jìn)一步變換得到

(7)

由于碼延遲與寬巷模糊度相位偏差不可分離，但相關(guān)研究表明當(dāng)模糊度解算時(shí)可以忽略這部分偏差[3]。為了消除接收機(jī)相位偏差δφwr的影響，在衛(wèi)星i和衛(wèi)星j之間組成單差載波相位寬巷模糊度，表達(dá)式為

(8)

2. 相位偏差小數(shù)單位圓表示

相位偏差一般由整數(shù)和小數(shù)兩部分組成，在單位圓上表示如圖1所示。圖1(a)中相位偏差為δφ=0.5=0.5-1=-0.5，這意味著一個(gè)由整周數(shù)為0、小數(shù)部分為0.5組成的相位偏差等同于一個(gè)由整周數(shù)為1、小數(shù)部分為-0.5組成的相位偏差，這種數(shù)據(jù)在圓上表現(xiàn)出周期性。如前后兩個(gè)歷元i和i+1的相位偏差為δφi=112.2和δφi+1=111.9，在單位圓上表示如圖1(b)、(c)所示。對(duì)于這樣的偏差如何取得正確的小數(shù)部分呢？正確的取法為δφf(shuō)rac,i=0.2，δφf(shuō)rac,i+1=0.9-1=-0.1。這是因?yàn)樵谝粋€(gè)連續(xù)弧段內(nèi)，載波相位模糊度通常由唯一的整數(shù)部分和緩慢變化的相位偏差小數(shù)部分組成。

圖1 相位偏差小數(shù)方向特性示意圖

為了獲得這樣的相位偏差小數(shù)部分，可采用函數(shù)GPHASE將其整數(shù)部分移除[2]，表達(dá)式為

δφf(shuō)rac=GPHASE(N+δφ)=

(9)

式中，δφf(shuō)rac為相位偏差小數(shù)；arctan()為反正切函數(shù)；N為整周模糊度參數(shù)；δφ為相位偏差項(xiàng)。

采用式(9)得到的相位偏差小數(shù)部分，既保證了相位偏差小數(shù)的大小，又保證了正確的象限位置，其變化區(qū)間為[-0.5,0.5]周內(nèi)。

三、偏差小數(shù)的分布檢驗(yàn)

直線上的分布一般不存在周期性的問(wèn)題，而從相位偏差小數(shù)在圓上表示的方式可以看出具有方向數(shù)據(jù)的某些性質(zhì)。Von Mises分布是方向數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中最重要的分布，它在圓上分布族中的地位與高斯正態(tài)分布在直線上分布族的地位相當(dāng)。在方向數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)理論中，參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等方面多以Von Mises分布為前提。為了對(duì)相位偏差進(jìn)行科學(xué)、合理的分析，首先需要對(duì)相位偏差序列是否服從Von Mises分布進(jìn)行驗(yàn)證。本文將從寬巷相位偏差序列的均勻性、擬合度，以及直方圖與分布擬合曲線多方面對(duì)其進(jìn)行分布假設(shè)檢驗(yàn)分析。

1. Von Mises分布

Von Mises分布一般表示為VM(μ,k)，其密度函數(shù)為

(10)

2. 均勻性檢驗(yàn)

均勻性檢驗(yàn)是檢驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本是否來(lái)自均勻分布，由于均勻性分布是Von Mises分布的退化情形(k=0)，因此，首先判斷相位偏差序列并非來(lái)自均勻分布。對(duì)于給定的偏差序列，它的位置參數(shù)μ為未知值，所以原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1可寫(xiě)為

(11)

表1 BJFS站均勻性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)信息表

3. Pearson χ2擬合度檢驗(yàn)

Pearsonχ2擬合度檢驗(yàn)是常用的擬合度檢驗(yàn)，其原理是尋求一個(gè)反映實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)θ1,θ2，…,θn與理論分布F0(θ)之間偏差的統(tǒng)計(jì)量Δ，如果Δ超過(guò)某個(gè)界限，則拒絕理論分布F0(θ)。于是可將相位偏差數(shù)據(jù)的擬合度檢驗(yàn)表示為

H0:F=F0(θ);H1:F≠F0(θ)

(12)

建立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

(13)

式中，fi為θ1,θ2,…,θn在給定區(qū)間的實(shí)際頻數(shù)；pi為由理論分布F0(θ)計(jì)算θi在給定區(qū)間的概率；m為樣本空間劃分的區(qū)間個(gè)數(shù)。

對(duì)于給定的置信水平α，式(12)的拒絕域?yàn)?/p>

(14)

式中，s是未知參數(shù)的個(gè)數(shù)。

對(duì)于Von Mises分布擬合度檢驗(yàn)，只需將F0(θ)變?yōu)閂M(μ,k)，其中平均方向μ和尺度參數(shù)k采用最大似然估計(jì)值代替。為了檢驗(yàn)相位偏差序列是否服從Von Mises分布，對(duì)2010年04月11日BJFS站數(shù)據(jù)的相位偏差進(jìn)行Von Mises分布和正態(tài)分布的擬合度檢驗(yàn)。因此，本文根據(jù)偏差情況合理的分為36個(gè)區(qū)間，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。由表2可知，當(dāng)置信水平α=0.000 1時(shí)，具有偏差個(gè)數(shù)較多的衛(wèi)星對(duì)服從Von Mises分布，而不是直線域上的正態(tài)分布。對(duì)于偏差個(gè)數(shù)較少時(shí)，如表2中衛(wèi)星對(duì)PRN14-PRN18由于相位偏差樣本中個(gè)數(shù)較少、不能反映出分布的具體特性，難以區(qū)分Von Mises分布與正態(tài)分布?？梢?jiàn)，基于Von Mises分布對(duì)相位偏差分析更為合理，但在相位偏差計(jì)算時(shí)應(yīng)采用較多歷元的觀測(cè)數(shù)據(jù)，根據(jù)試驗(yàn)分析本文建議至少采用200個(gè)歷元的觀測(cè)數(shù)據(jù)。

表2 BJFS站相位偏差擬合度檢驗(yàn)

4. 直方圖與分布擬合曲線

通常用繪制直方圖來(lái)確定隨機(jī)變量所近似滿(mǎn)足的分布。盡管直方圖不能給出較為精確的樣本密度估計(jì)，但能簡(jiǎn)單、直觀地反映出總體分布的特征。同樣采用BJFS站2010年04月11日觀測(cè)數(shù)據(jù)確定的相位偏差小數(shù)序列繪制出直方圖，并且分別按照Von Mises分布、正態(tài)分布的密度函數(shù)對(duì)偏差序列進(jìn)行曲線擬合。圖2分別為PRN21、PRN22、PRN26、PRN27 4顆衛(wèi)星(參考于PRN18衛(wèi)星)的單差相位偏差小數(shù)分布的直方圖與擬合曲線圖。從圖中曲線的整體形狀可以直觀地看出，Von Mises分布能夠與直方圖保持很好的一致性，特別是能較好地覆蓋邊緣區(qū)域，這部分主要是相位偏差估計(jì)時(shí)由于誤差噪聲等原因產(chǎn)生的相位偏差反向突變，即當(dāng)相位偏差真值為0.45周、噪聲為0.08時(shí)，相位偏差變?yōu)?.45+0.08=0.53，經(jīng)式(9)后偏差小數(shù)變?yōu)?0.47。這種現(xiàn)象表明，采用線性方法計(jì)算將出現(xiàn)錯(cuò)誤的均值，這也是本文尋求新的計(jì)算方法的原因。

圖2 偏差小數(shù)直方圖

5. 偏差小數(shù)計(jì)算方法

通過(guò)對(duì)相位偏差數(shù)據(jù)序列進(jìn)行檢驗(yàn)分析可知，相位偏差小數(shù)更好地服從Von Mises分布。因此，為了得到更精確的相位偏差小數(shù)估值和標(biāo)準(zhǔn)差，將所求得的包含相位偏差的整周模糊度項(xiàng)作相應(yīng)變換，于是有

(15)

式中，n為參與計(jì)算的模糊度個(gè)數(shù)。

經(jīng)過(guò)式(15)中三角函數(shù)作用后，整周模糊度與相位偏差整數(shù)部分均被移去，僅剩下相位偏差小數(shù)部分，式(16)為相位偏差小數(shù)計(jì)算表達(dá)式

(16)

相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為

(17)

四、算例分析

為了驗(yàn)證相位偏差計(jì)算方法的可行性，本節(jié)將對(duì)寬巷相位偏差估計(jì)精度和空間分布進(jìn)行分析。試驗(yàn)數(shù)據(jù)選取中國(guó)及周邊區(qū)域的BJFS、CHAN、WUHN、TNML、TWTF、PETS、TEHN、ARTU、IISC等18個(gè)IGS跟蹤站，2010年第101天的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，采樣率為30 s，其中測(cè)站點(diǎn)PETS和TEHN具有最大站間距，約7500 km左右，測(cè)站點(diǎn)TNML和TWTF的站間距最小，約25 km左右。

根據(jù)觀測(cè)值的起止時(shí)間定義所有可能出現(xiàn)的單差寬巷模糊度，采用式(16)和式(17)計(jì)算寬巷相位偏差估值及標(biāo)準(zhǔn)差。

圖3為BJFS站2010年第101天所有衛(wèi)星參考于PRN31衛(wèi)星的單差寬巷相位偏差估值。點(diǎn)代表衛(wèi)星的相位偏差估值，很明顯相位偏差并不為零。在沒(méi)有經(jīng)過(guò)相位偏差改正的情況下，單差模糊度往往不具備整數(shù)性質(zhì)，不能直接被固定。誤差條表示該相位偏差值的標(biāo)準(zhǔn)差，變化范圍為0.001～0.060周，表征了相位偏差估計(jì)的穩(wěn)定性。圖3中虛線表示相位偏差估計(jì)時(shí)參與計(jì)算的單差模糊度個(gè)數(shù)，可以明確地看出參與個(gè)數(shù)越多，相位偏差估值的標(biāo)準(zhǔn)差越小。

圖3 SDW-FPB估值(參考于PRN18衛(wèi)星)

相位偏差估計(jì)是基于Von Mises分布對(duì)多個(gè)測(cè)站的相位偏差求平均方向來(lái)確定最終估值。因此，相位偏差在各個(gè)測(cè)站間表現(xiàn)出的空間一致性將關(guān)系到相位偏差估計(jì)的準(zhǔn)確性，并進(jìn)一步影響相位偏差改正在廣域范圍內(nèi)應(yīng)用的有效性。為了分析相位偏差估值在空間上的穩(wěn)定性，采用2010年第101天的觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)相位偏差進(jìn)行試驗(yàn)分析。圖4為PRN26衛(wèi)星(參考于PRN18衛(wèi)星)15個(gè)測(cè)站偏差估值與總體平均方向(作為相位偏差最終估值)的差異統(tǒng)計(jì)圖，虛線部分表示測(cè)站點(diǎn)與BJFS站的站間距離，實(shí)線表示與偏差最終估值之差。

圖4 PRN26單差寬巷偏差各站比較圖

由圖4可知，距離BJFS站最遠(yuǎn)點(diǎn)為ZECK，站間距約6000 km，與BJFS站相位偏差之差為-0.015 7周；距離BJFS最近點(diǎn)為CHAN，站間距約920 km，與BJFS站相位偏差之差為-0.0161周。并且在所有站點(diǎn)中與最終偏差估值相差最大值為0.050 4周，該組數(shù)據(jù)的均方根誤差(RMS)為0.026周?？梢?jiàn)，測(cè)站間距從920～6000 km不等的各測(cè)站相位偏差與平均方向相差很小，在空間上保持很好的一致性。

五、結(jié)束語(yǔ)

本文以統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)理論為基礎(chǔ)，從相位偏差序列的均勻性、擬合度及直方圖與分布擬合曲線多方面驗(yàn)證了相位偏差小數(shù)更好地服從Von Mises分布，并給出了基于Von Mises分布的相位偏差小數(shù)計(jì)算方式。該方法可有效避免因誤差噪聲導(dǎo)致相位偏差小數(shù)反向突變的現(xiàn)象，保證相位偏差小數(shù)估值的客觀性。本文算例表明寬巷相位偏差受區(qū)域影響很小，對(duì)于超過(guò)幾千千米的參考網(wǎng)，利用本文給出的方法求取相位偏差具有較高的精度和空間穩(wěn)定性，能夠用于精密單點(diǎn)定位中相位偏差改正，以實(shí)現(xiàn)PPP固定解。

參考文獻(xiàn)：

[1] COLLINS P. Isolating and Estimating Undifferenced GPS Integer Ambiguities[C]∥Proceedings of ION NTM 2008.San Diego, CA:[s.n.]， 2008: 720-732.

[2] GABOR M, NEREM R. GPS Carrier Phase Ambiguity Resolution Using Satellite-Satellite Single Differences[C]∥ Proceedings of ION GPS 1999.Nashville TN:[s.n.]，1999: 1569-1578.

[3] GE M, GENDT G, ROTHACHER M, et al. Resolution of GPS Carrier-phase Ambiguities in Precise Point Positioning (PPP) with Daily Observations [J]. Journal of Geodesy, 2008, 82(7): 389-399.

[4] 蔡昌盛,李征航,張小紅.GPS系統(tǒng)硬件延遲修正方法的探討[J].測(cè)繪通報(bào),2002(4):15-16.

[5] 張小紅, 李星星. 非差模糊度整數(shù)固定解PPP新方法及實(shí)驗(yàn)[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版, 2010, 35(6): 657-660.

[6] LI X, ZHANG X, GE M. Regional Reference Network Augmented Precise Point Positioning for Instantaneous Ambiguity Resolution [J]. Journal of Geodesy, 2011, 85(3): 151-158.

[7] 張寶成, TEUNISSEN J G P, ODIJK D，等.精密單點(diǎn)定位整周模糊度快速固定[J].地球物理學(xué)報(bào),2012,55(7):2203-2211.

[8] 張寶成,歐吉坤.論精密單點(diǎn)定位整周模糊度解算的不同策略[J].測(cè)繪學(xué)報(bào),2011,40(6):710-716.

[9] KESHIN M. Directional Statistics of Satellite Satellite Single Difference Widelane Phase Biases[J]. Article Satellites,2004, 39(4): 305-324.

[10] CAI J, GRAFAREND E, HU C. The Statistical Property of the GNSS Carrier Phase Observations and Its Effects on the Hypothesis Testing of the Related Estimators[C]∥Proceedings of ION GNSS 2007.Fort Worth, TX, USA：[s.n.]，2007: 331-338.

[11] TEUNISSEN P J G, KLEUSBERG A. GPS Observation Equations and Positioning Concepts [J].Lecture Notes in Earth Sciences: GPS for Geodesy, 1996, 60(5): 175-217.

[12] 潘樹(shù)國(guó),趙興旺,王慶.單差PPP相位偏差估計(jì)方法及有效性分析[J].宇航學(xué)報(bào),2012,33(4): 436-442.

[13] JAMMALAMADAKA S R, SENGUPTA A. Topics in Circular Statistics [M]. Malaysia: World Scientific Publishing, 2001: 33-56.