CCR模型“投影”有效的新證

彭 軍 宋馬林

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院， 安徽 蚌埠 233030)

隨著資源日益枯竭，人們對(duì)生產(chǎn)過程越來越重視。人們總是期望能夠更加理性地去分析生產(chǎn)過程、投入冗余及產(chǎn)出虧損，其中生產(chǎn)效率是反映生產(chǎn)過程是否理想的一個(gè)很重要的指標(biāo)，因此計(jì)算生產(chǎn)效率已成為一個(gè)熱門的研究?jī)?nèi)容，其研究成果可以作為企業(yè)或者政府進(jìn)行生產(chǎn)和管理的理論依據(jù)。這些理論成果有利于改進(jìn)要素投入量和產(chǎn)品產(chǎn)出量，從而達(dá)到提高生產(chǎn)效率的目的。關(guān)于生產(chǎn)效率的研究，學(xué)者們作出了很多嘗試，其中數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(Data Envelopment Analysis，DEA)[1]方法是一種比較好的測(cè)度生產(chǎn)效率的工具。在數(shù)據(jù)包絡(luò)分析中，每個(gè)生產(chǎn)活動(dòng)被視為一個(gè)決策單元(Decision-making unit, DMU)，不僅能夠計(jì)算出每個(gè)DMU的效率值，還能提供每個(gè)DMU的改進(jìn)方向。改進(jìn)方向就涉及到“投影”和“投影”有限性概念。經(jīng)典的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析模型以及派生出的模型都會(huì)涉及到“投影”和“投影”有效性，因此其在數(shù)據(jù)包絡(luò)分析中占重要的位置。CCR模型作為數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)的第一個(gè)模型，它對(duì)數(shù)據(jù)包絡(luò)分析的發(fā)展具有深遠(yuǎn)的影響。CCR模型的一些定義及性質(zhì)可以平行推廣到其他的模型中，如有效性定義、“投影”定理及Pareto-Koopmans有效等。本文僅從CCR模型“投影”有效性考慮，對(duì)“投影”有效性進(jìn)行重新證明。

1 文獻(xiàn)綜述和知識(shí)儲(chǔ)備

Charnes等人[1]首次提出數(shù)據(jù)包絡(luò)分析，它將數(shù)據(jù)包絡(luò)分析與數(shù)學(xué)、工程學(xué)、計(jì)算科學(xué)、管理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等多個(gè)學(xué)科聯(lián)系在一起：

假設(shè)存在n個(gè)決策單元(DMU)，每個(gè)決策單元都有m項(xiàng)投入、s項(xiàng)產(chǎn)出，決策單元j用DMUj(1≤j≤n)表示，記：xj=(x1j,x2j,…，xmj)T表示DMUj的投入向量，其中xij為DMUj對(duì)第i種投入的投入量，xij>0；yj=(y1j,y2j,…，ysj)T表示DMUj的產(chǎn)出向量，其中yrj為DMUj對(duì)第r種產(chǎn)出的產(chǎn)出量，yrj>0；對(duì)于被評(píng)價(jià)決策單元DMUj0用DMU0表示?；谙鄬?duì)有效概念，提出了決策單元DMU0相對(duì)效率的分式規(guī)劃模型(1)：

uk≥0,k=1,2,…,s

vi≥0,i=1,2,…,m

(1)

式中：v=(v1,v2,…,vm)T、u=(u1,u2,…,us)T— 分別表示m項(xiàng)投入對(duì)應(yīng)的權(quán)重向量和s項(xiàng)產(chǎn)出對(duì)應(yīng)的權(quán)重向量。

(2)

再利用對(duì)偶理論得到其對(duì)偶規(guī)劃模型(3)：

minθ

λj≥0, j=1,2,…,n

S-≥0,S+≥0

(3)

分式規(guī)劃模型、線性規(guī)劃模型和對(duì)偶規(guī)劃模型統(tǒng)稱為CCR模型。其中模型(1)和模型(2)的權(quán)重是選擇最有利于決策單元DMU的相對(duì)效率評(píng)價(jià)的權(quán)重。對(duì)于模型(3)，定義了決策單元DMU(decision making units)相對(duì)有效，得到了決策單元DMU0相對(duì)有效的條件,即

并且提出相對(duì)有效和Pareto-Koopmans有效[4]的關(guān)系，即DMU0為DEA有效的條件可能也是Pareto-Koopmans有效的條件。這種方法契合了生產(chǎn)函數(shù)(production function)定義的要求，他們認(rèn)為可以得到一種新的生產(chǎn)函數(shù)，這種生產(chǎn)函數(shù)有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：(1)這種生產(chǎn)函數(shù)是從被評(píng)價(jià)決策單元得到的，沒有具體的函數(shù)形式,因此這種生產(chǎn)函數(shù)可以直接應(yīng)用于觀測(cè)對(duì)象；(2)其他類型生產(chǎn)函數(shù)具有不易處理的缺點(diǎn)，這種生產(chǎn)函數(shù)能夠避免這類缺點(diǎn)；(3)它還可以用于比較靜態(tài)分析去檢測(cè)生產(chǎn)技術(shù)是否發(fā)生變化。這個(gè)靜態(tài)分析可以通過多種途徑進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，比如在不同時(shí)期，當(dāng)技術(shù)發(fā)生變化時(shí)，同一個(gè)決策單元應(yīng)該被看作不同的主體。(4)這種方法不需要事先確定權(quán)重就可以得到DEA有效的決策單元，有利于減少主觀因素導(dǎo)致的效率測(cè)量誤差。DEA有效的決策單元構(gòu)成了生產(chǎn)可能面。因此這些優(yōu)點(diǎn)決定了數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法具有很廣泛的使用性，比如在企業(yè)管理、生產(chǎn)活動(dòng)和銀行等領(lǐng)域。他們還討論了數(shù)據(jù)包絡(luò)分析與非DEA有效決策單元“投影”[5]、等產(chǎn)量線分析、Farrell效率[6]、Shephard距離函數(shù)、成本函數(shù)和邊際替代率之間的聯(lián)系。Banker 等人[7]提出考慮規(guī)模收益變化的BCC模型，他們也研究了“投影”有效性。Charnes 等人[8]再次研究了CCR模型的決策單元DMU在有效面上的“投影”，他們還提出了CCGSS模型，分析了決策單元Pareto-Koopman有效與CCGSS模型的目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系，并且形象地描述了Pareto-Koopman有效的幾何意義；在CCGSS模型下，他們還提出對(duì)非DEA有效的DMU“投影”的改進(jìn)方法。Tone[9]提出了SBM(slack-based measure)模型,他探討了SBM模型和CCR模型的關(guān)系，并且分析了SBM模型的“投影”問題。關(guān)于“投影”有效性，本文在前人的基礎(chǔ)上提出2種新的證明方法，去解決其他模型“投影”有效定理，比如BBC模型，CCGSS模型，SBM模型等。

對(duì)于基于輸入的CCR模型，假設(shè)生產(chǎn)可能集滿足以下5條公理：(1)平凡性公理；(2)凸性公理；(3)錐性公理；(4)無效性公理；(5)最小性公理。由這5條公理可以推導(dǎo)出CCR模型的生產(chǎn)可能集TCCR：

λj≥0, j=1,2,…,n}

x*,yj*=y*

則 (Ⅰ)(x*，y*)是下列多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解

(VP1)min(x1j,x2j,…,xsj,-y1s,-y2s,…,-yms)

s.t. (x,y)∈TCCR，

其中，(x1j,x2j,…,xsj,-y1j,-y2j,…,-ymj)=(xj,-yj)

(Ⅱ)由(Ⅲ)知(x*，y*)是多目標(biāo)規(guī)劃(VP1)模型的最優(yōu)解，多目標(biāo)規(guī)劃(VP1)模型可以轉(zhuǎn)化為線性加權(quán)和問題[11]：

s.t. (x,y)∈TCCR

(Ⅲ)由(Ⅱ)得到(x*，y*)為多目標(biāo)規(guī)劃(VP1)的(弱)Pareto-Koopmans有效，又對(duì)于CCR模型，(弱)Pareto-Koopmans有效和(弱)DEA有效是等價(jià)的[12]，當(dāng)(x*，y*)是(VP1)的弱Pareto-Koopmans有效解，則DMU*是弱DEA有效；當(dāng)(x*，y*)為(VP1)的Pareto-Koopmans有效解，則DMU*是DEA有效。證畢。

3 新證法及推廣

為了證明“投影”有效性，引進(jìn)CCR模型“投影”的定義。

模型(2)和(3)分別引進(jìn)非阿基米德無窮小ε，得到基于輸入的CCR模型：

s.t. ωTxj-μTyj≥0, j=1,2,…,n

ωTx0=1

ωT≥εeT, μT≥εeT

(4)

minθ-εeTS+-εeTS-

λj≥0, j=1,2,…,n

S-≥0, S+≥0

(5)

其中eT=(1,1,…,1)

下面用新方法證明決策單元DMU0“投影”為DEA有效。

又由

(6)

所以

(7)

由線性松緊定理得

(8)

(9)

(10)

(11)

用新方法對(duì)BCC模型的“投影”有效進(jìn)行證明。對(duì)于基于輸入的BBC模型，規(guī)模收益是可變的，一般假設(shè)生產(chǎn)可能集滿足以下4條公理：(1)平凡性公理；(2)凸性公理；(3)無效性公理；(4)最小性公理。由這4條公理可以推導(dǎo)出基于輸入的BCC模型的生產(chǎn)可能集TBCC：

類似引理1，得到引理2：

x*,yj*=y*

則 (Ⅰ)(x*，y*)是下列多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解：

(VP2)min(x1j,x2j,…,xsj,-y1j,-y2j,…,-ymj)

s.t. (x,y)∈TBCC

其中，(x1j,x2j,…,xsj,-y1j,-y2j,…,-ymj)=(xj,-yj)

滿足最優(yōu)解的定義，得到(x*， y*)是多目標(biāo)規(guī)劃(VP2)的最優(yōu)解。

對(duì)于其他模型，如CCGSS模型，SBM模型，我們?nèi)匀豢梢詰?yīng)用類似的方法進(jìn)行證明，本文不再詳述。

4 結(jié) 論

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是數(shù)學(xué)、計(jì)算科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、管理科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程學(xué)的一個(gè)交叉研究領(lǐng)域。數(shù)學(xué)證明能夠使數(shù)據(jù)包絡(luò)分析在邏輯上更加縝密，并且能使數(shù)據(jù)包絡(luò)分析的一些經(jīng)典模型的相關(guān)性質(zhì)和定理相互聯(lián)系在一起，比如CCR模型效率值和BCC模型效率值的大小關(guān)系、基于投入的CCR模型效率值和基于產(chǎn)出的CCR模型的效率值之間的關(guān)系、SBM模型與CCR模型之間的關(guān)系等。在研究過程中，學(xué)者們應(yīng)該運(yùn)用數(shù)學(xué)手段去分析新模型，找出模型之間的關(guān)系，并且能夠運(yùn)用已有的知識(shí)進(jìn)行證明。

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