平衡指數(shù)損失函數(shù)下的信度保費(fèi)

張強(qiáng)　倪科社　吳黎軍

摘 要 在經(jīng)典的信度保費(fèi)模型中，得到的信度保費(fèi)估計(jì)均是考慮的是純保費(fèi)，然而在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，保險(xiǎn)公司收取的保費(fèi)不可能是純保費(fèi)，必須具有正的安全負(fù)荷.在平衡指數(shù)損失函數(shù)下，研究了多合同的信度保費(fèi)模型.利用正交投影方法，得到了未來保費(fèi)的信度估計(jì). 最后對估計(jì)進(jìn)行了數(shù)值模擬.

關(guān)鍵詞 平衡指數(shù)損失函數(shù)；信度估計(jì)；正交投影

中圖分類號 O211.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

1 引 言

信度理論作為非壽險(xiǎn)精算學(xué)的核心內(nèi)容之一，已成為非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)公司精算部門重要的工具.經(jīng)典的信度理論得到的信度保費(fèi)為個(gè)體保單的索賠平均與保單組合的組平均的加權(quán)和，最初是由Bühlmann （1967）從Bayes觀點(diǎn)出發(fā)，建立無分布的信度模型，得到該模型下的信度保費(fèi)公式，之后Bühlmann 和 Straub（1970）從實(shí)際出發(fā)，引進(jìn)保單索賠的自然權(quán)重，得到非齊次和齊次的信度估計(jì).關(guān)于經(jīng)典信度理論的介紹可以參考文獻(xiàn)[1] .然而，采用經(jīng)典信度理論得到的信度保費(fèi)估計(jì)均是純保費(fèi)原理下得到的，不具有保費(fèi)的安全負(fù)荷，不能直接運(yùn)用于實(shí)際的保險(xiǎn)中.在不斷的研究中發(fā)現(xiàn)，如果將經(jīng)典的信度模型中的平方損失函數(shù)改為其他的損失函數(shù)，采用這種方式得到的某些保費(fèi)原理下的信度保費(fèi)將具有安全負(fù)荷.最初是由Gerber^[2]在加權(quán)平方損失函數(shù)下建立了Esscher保費(fèi)原理下的信度模型，文獻(xiàn)[3]對Gerber的結(jié)果進(jìn)行了修正，給出了Esscher保費(fèi)的相合性.之后Wen等^[4]在廣義加權(quán)保費(fèi)原理下建立了信度模型以及Wen^[5，6]在指數(shù)保費(fèi)下建立的信度保費(fèi)原理.這一方法推廣了信度理論在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中的理論意義.

對于保險(xiǎn)公司在制定下一年保費(fèi)時(shí)，總希望與某個(gè)目標(biāo)（如上一年的保費(fèi)等）相差較小為解決這一問題，許多學(xué)者采用對稱損失（如平方損失）來刻畫保費(fèi)與風(fēng)險(xiǎn)的適合程度，然而得到的估計(jì)并不準(zhǔn)確，為了得到更精確的估計(jì)，Zellner^[7]提出了一種新的衡量參數(shù)估計(jì)優(yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn)，其推廣形式稱為平衡損失函數(shù).之后，利用平衡損失函數(shù)考察信度估計(jì)得到了廣泛應(yīng)用，溫利民等^[8]在平衡損失函數(shù)下給出了Bühlmann-Straub模型的信度估計(jì)，并討論了估計(jì)的性質(zhì).黃維忠^[9]在平衡損失函數(shù)下分別得到了風(fēng)險(xiǎn)等相關(guān)與共同效應(yīng)的回歸信度估計(jì).張強(qiáng)^[10]在廣義加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下討論了廣義的貝葉斯保費(fèi)估計(jì).

6 結(jié) 論

本文通過正交投影方法在平衡指數(shù)損失函數(shù)下給出了多合同的信度估計(jì)，一方面滿足了保險(xiǎn)公司在制定未來保費(fèi)時(shí)希望的目標(biāo)保費(fèi)，另一方面，可以克服單一的平方損失函數(shù)帶來的誤差過高或過低的不足.所得到的信度估計(jì)依然為經(jīng)典信度模型的加權(quán)形式，這一結(jié)果推廣了經(jīng)典的信度模型，為非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)公司制定下期保費(fèi)提供理論依據(jù).

參考文獻(xiàn)

[1] H BUHLMANN，A GISLER. A course in credibility theory and its application [M].New York：Springer Press， 2005.

[2] H U GERBER，A ARBOR. Credibility for Esscher premium [J]. Mitteilungen der VSVM，2005， 80（3）： 307-312.

[3] Maolin PAN， Rongming WANG， Xianyi WU. On the consistency of credibility premiums regarding Esscher principle [J].Insurance： Mathematics and Economics， 2008， 42（1）： 119-126.

[4] Limin WEN， Xianyi WU， Xiaobing ZHAO. The credibility premiums under generalized weighted loss functions [J]. Journal of Industrial and Management Optimization， 2009， 5（4）： 893-910.

[5] Limin WEN， Wei WANG， Jinglong WANG.The credibility premiums for exponential principle[J]. Acta Mathematica Sinica，English Series， 2011， 27（11）， 2217-2228.

[6] 溫利民，吳賢毅.指數(shù)保費(fèi)原理下的經(jīng)驗(yàn)厘定[J].中國科學(xué)：數(shù)學(xué)，2011，41（10）： 861-876.

[7] A ZELLNER. Bayesian and non-Bayesian estimation using balanced loss functions [M].New York： Springer Press， 1994， 377-390.

[8] 溫利民，林霞，王靜龍. 平衡損失函數(shù)下的信度模型[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2009， 25（5）：553-560.

[9] Weizhong HUANG. Regression credibility model with correlation risk under balanced loss function [J]. Journal of East China Normal University （Natural Science）， 2013， （2013）1：30-40.

[10]張強(qiáng)，吳黎軍. 廣義加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下的信度保費(fèi)[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2013， （373）1：89-91.

[11]R C RAO， H HOUTENBURG. Linear models [M]. New York： Springer Press， 1995，3-18.endprint

摘 要 在經(jīng)典的信度保費(fèi)模型中，得到的信度保費(fèi)估計(jì)均是考慮的是純保費(fèi)，然而在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，保險(xiǎn)公司收取的保費(fèi)不可能是純保費(fèi)，必須具有正的安全負(fù)荷.在平衡指數(shù)損失函數(shù)下，研究了多合同的信度保費(fèi)模型.利用正交投影方法，得到了未來保費(fèi)的信度估計(jì). 最后對估計(jì)進(jìn)行了數(shù)值模擬.

關(guān)鍵詞 平衡指數(shù)損失函數(shù)；信度估計(jì)；正交投影

中圖分類號 O211.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

1 引 言

信度理論作為非壽險(xiǎn)精算學(xué)的核心內(nèi)容之一，已成為非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)公司精算部門重要的工具.經(jīng)典的信度理論得到的信度保費(fèi)為個(gè)體保單的索賠平均與保單組合的組平均的加權(quán)和，最初是由Bühlmann （1967）從Bayes觀點(diǎn)出發(fā)，建立無分布的信度模型，得到該模型下的信度保費(fèi)公式，之后Bühlmann 和 Straub（1970）從實(shí)際出發(fā)，引進(jìn)保單索賠的自然權(quán)重，得到非齊次和齊次的信度估計(jì).關(guān)于經(jīng)典信度理論的介紹可以參考文獻(xiàn)[1] .然而，采用經(jīng)典信度理論得到的信度保費(fèi)估計(jì)均是純保費(fèi)原理下得到的，不具有保費(fèi)的安全負(fù)荷，不能直接運(yùn)用于實(shí)際的保險(xiǎn)中.在不斷的研究中發(fā)現(xiàn)，如果將經(jīng)典的信度模型中的平方損失函數(shù)改為其他的損失函數(shù)，采用這種方式得到的某些保費(fèi)原理下的信度保費(fèi)將具有安全負(fù)荷.最初是由Gerber^[2]在加權(quán)平方損失函數(shù)下建立了Esscher保費(fèi)原理下的信度模型，文獻(xiàn)[3]對Gerber的結(jié)果進(jìn)行了修正，給出了Esscher保費(fèi)的相合性.之后Wen等^[4]在廣義加權(quán)保費(fèi)原理下建立了信度模型以及Wen^[5，6]在指數(shù)保費(fèi)下建立的信度保費(fèi)原理.這一方法推廣了信度理論在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中的理論意義.

對于保險(xiǎn)公司在制定下一年保費(fèi)時(shí)，總希望與某個(gè)目標(biāo)（如上一年的保費(fèi)等）相差較小為解決這一問題，許多學(xué)者采用對稱損失（如平方損失）來刻畫保費(fèi)與風(fēng)險(xiǎn)的適合程度，然而得到的估計(jì)并不準(zhǔn)確，為了得到更精確的估計(jì)，Zellner^[7]提出了一種新的衡量參數(shù)估計(jì)優(yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn)，其推廣形式稱為平衡損失函數(shù).之后，利用平衡損失函數(shù)考察信度估計(jì)得到了廣泛應(yīng)用，溫利民等^[8]在平衡損失函數(shù)下給出了Bühlmann-Straub模型的信度估計(jì)，并討論了估計(jì)的性質(zhì).黃維忠^[9]在平衡損失函數(shù)下分別得到了風(fēng)險(xiǎn)等相關(guān)與共同效應(yīng)的回歸信度估計(jì).張強(qiáng)^[10]在廣義加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下討論了廣義的貝葉斯保費(fèi)估計(jì).

6 結(jié) 論

本文通過正交投影方法在平衡指數(shù)損失函數(shù)下給出了多合同的信度估計(jì)，一方面滿足了保險(xiǎn)公司在制定未來保費(fèi)時(shí)希望的目標(biāo)保費(fèi)，另一方面，可以克服單一的平方損失函數(shù)帶來的誤差過高或過低的不足.所得到的信度估計(jì)依然為經(jīng)典信度模型的加權(quán)形式，這一結(jié)果推廣了經(jīng)典的信度模型，為非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)公司制定下期保費(fèi)提供理論依據(jù).

參考文獻(xiàn)

[1] H BUHLMANN，A GISLER. A course in credibility theory and its application [M].New York：Springer Press， 2005.

[2] H U GERBER，A ARBOR. Credibility for Esscher premium [J]. Mitteilungen der VSVM，2005， 80（3）： 307-312.

[3] Maolin PAN， Rongming WANG， Xianyi WU. On the consistency of credibility premiums regarding Esscher principle [J].Insurance： Mathematics and Economics， 2008， 42（1）： 119-126.

[4] Limin WEN， Xianyi WU， Xiaobing ZHAO. The credibility premiums under generalized weighted loss functions [J]. Journal of Industrial and Management Optimization， 2009， 5（4）： 893-910.

[5] Limin WEN， Wei WANG， Jinglong WANG.The credibility premiums for exponential principle[J]. Acta Mathematica Sinica，English Series， 2011， 27（11）， 2217-2228.

[6] 溫利民，吳賢毅.指數(shù)保費(fèi)原理下的經(jīng)驗(yàn)厘定[J].中國科學(xué)：數(shù)學(xué)，2011，41（10）： 861-876.

[7] A ZELLNER. Bayesian and non-Bayesian estimation using balanced loss functions [M].New York： Springer Press， 1994， 377-390.

[8] 溫利民，林霞，王靜龍. 平衡損失函數(shù)下的信度模型[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2009， 25（5）：553-560.

[9] Weizhong HUANG. Regression credibility model with correlation risk under balanced loss function [J]. Journal of East China Normal University （Natural Science）， 2013， （2013）1：30-40.

[10]張強(qiáng)，吳黎軍. 廣義加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下的信度保費(fèi)[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2013， （373）1：89-91.

[11]R C RAO， H HOUTENBURG. Linear models [M]. New York： Springer Press， 1995，3-18.endprint

摘 要 在經(jīng)典的信度保費(fèi)模型中，得到的信度保費(fèi)估計(jì)均是考慮的是純保費(fèi)，然而在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，保險(xiǎn)公司收取的保費(fèi)不可能是純保費(fèi)，必須具有正的安全負(fù)荷.在平衡指數(shù)損失函數(shù)下，研究了多合同的信度保費(fèi)模型.利用正交投影方法，得到了未來保費(fèi)的信度估計(jì). 最后對估計(jì)進(jìn)行了數(shù)值模擬.

關(guān)鍵詞 平衡指數(shù)損失函數(shù)；信度估計(jì)；正交投影

中圖分類號 O211.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

1 引 言

信度理論作為非壽險(xiǎn)精算學(xué)的核心內(nèi)容之一，已成為非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)公司精算部門重要的工具.經(jīng)典的信度理論得到的信度保費(fèi)為個(gè)體保單的索賠平均與保單組合的組平均的加權(quán)和，最初是由Bühlmann （1967）從Bayes觀點(diǎn)出發(fā)，建立無分布的信度模型，得到該模型下的信度保費(fèi)公式，之后Bühlmann 和 Straub（1970）從實(shí)際出發(fā)，引進(jìn)保單索賠的自然權(quán)重，得到非齊次和齊次的信度估計(jì).關(guān)于經(jīng)典信度理論的介紹可以參考文獻(xiàn)[1] .然而，采用經(jīng)典信度理論得到的信度保費(fèi)估計(jì)均是純保費(fèi)原理下得到的，不具有保費(fèi)的安全負(fù)荷，不能直接運(yùn)用于實(shí)際的保險(xiǎn)中.在不斷的研究中發(fā)現(xiàn)，如果將經(jīng)典的信度模型中的平方損失函數(shù)改為其他的損失函數(shù)，采用這種方式得到的某些保費(fèi)原理下的信度保費(fèi)將具有安全負(fù)荷.最初是由Gerber^[2]在加權(quán)平方損失函數(shù)下建立了Esscher保費(fèi)原理下的信度模型，文獻(xiàn)[3]對Gerber的結(jié)果進(jìn)行了修正，給出了Esscher保費(fèi)的相合性.之后Wen等^[4]在廣義加權(quán)保費(fèi)原理下建立了信度模型以及Wen^[5，6]在指數(shù)保費(fèi)下建立的信度保費(fèi)原理.這一方法推廣了信度理論在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中的理論意義.

對于保險(xiǎn)公司在制定下一年保費(fèi)時(shí)，總希望與某個(gè)目標(biāo)（如上一年的保費(fèi)等）相差較小為解決這一問題，許多學(xué)者采用對稱損失（如平方損失）來刻畫保費(fèi)與風(fēng)險(xiǎn)的適合程度，然而得到的估計(jì)并不準(zhǔn)確，為了得到更精確的估計(jì)，Zellner^[7]提出了一種新的衡量參數(shù)估計(jì)優(yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn)，其推廣形式稱為平衡損失函數(shù).之后，利用平衡損失函數(shù)考察信度估計(jì)得到了廣泛應(yīng)用，溫利民等^[8]在平衡損失函數(shù)下給出了Bühlmann-Straub模型的信度估計(jì)，并討論了估計(jì)的性質(zhì).黃維忠^[9]在平衡損失函數(shù)下分別得到了風(fēng)險(xiǎn)等相關(guān)與共同效應(yīng)的回歸信度估計(jì).張強(qiáng)^[10]在廣義加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下討論了廣義的貝葉斯保費(fèi)估計(jì).

6 結(jié) 論

本文通過正交投影方法在平衡指數(shù)損失函數(shù)下給出了多合同的信度估計(jì)，一方面滿足了保險(xiǎn)公司在制定未來保費(fèi)時(shí)希望的目標(biāo)保費(fèi)，另一方面，可以克服單一的平方損失函數(shù)帶來的誤差過高或過低的不足.所得到的信度估計(jì)依然為經(jīng)典信度模型的加權(quán)形式，這一結(jié)果推廣了經(jīng)典的信度模型，為非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)公司制定下期保費(fèi)提供理論依據(jù).

參考文獻(xiàn)

[1] H BUHLMANN，A GISLER. A course in credibility theory and its application [M].New York：Springer Press， 2005.

[2] H U GERBER，A ARBOR. Credibility for Esscher premium [J]. Mitteilungen der VSVM，2005， 80（3）： 307-312.

[3] Maolin PAN， Rongming WANG， Xianyi WU. On the consistency of credibility premiums regarding Esscher principle [J].Insurance： Mathematics and Economics， 2008， 42（1）： 119-126.

[4] Limin WEN， Xianyi WU， Xiaobing ZHAO. The credibility premiums under generalized weighted loss functions [J]. Journal of Industrial and Management Optimization， 2009， 5（4）： 893-910.

[5] Limin WEN， Wei WANG， Jinglong WANG.The credibility premiums for exponential principle[J]. Acta Mathematica Sinica，English Series， 2011， 27（11）， 2217-2228.

[6] 溫利民，吳賢毅.指數(shù)保費(fèi)原理下的經(jīng)驗(yàn)厘定[J].中國科學(xué)：數(shù)學(xué)，2011，41（10）： 861-876.

[7] A ZELLNER. Bayesian and non-Bayesian estimation using balanced loss functions [M].New York： Springer Press， 1994， 377-390.

[8] 溫利民，林霞，王靜龍. 平衡損失函數(shù)下的信度模型[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2009， 25（5）：553-560.

[9] Weizhong HUANG. Regression credibility model with correlation risk under balanced loss function [J]. Journal of East China Normal University （Natural Science）， 2013， （2013）1：30-40.

[10]張強(qiáng)，吳黎軍. 廣義加權(quán)平衡指數(shù)損失函數(shù)下的信度保費(fèi)[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2013， （373）1：89-91.

[11]R C RAO， H HOUTENBURG. Linear models [M]. New York： Springer Press， 1995，3-18.endprint