直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

理解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度可分為三類：無(wú)公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn). 能判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離.對(duì)于拋物線來(lái)說，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線來(lái)說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù)方法（即解方程組的辦法）來(lái)研究，因?yàn)榉匠探M解的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的. 常見的問題有：①有關(guān)直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合；②有關(guān)弦長(zhǎng)問題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理來(lái)解決；③有關(guān)垂直問題，要注意運(yùn)用斜率關(guān)系及韋達(dá)定理，設(shè)而不求，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若點(diǎn)A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線AP交l于點(diǎn)M.

①設(shè)直線OM的斜率為k1，直線BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值；

②設(shè)過點(diǎn)M且垂直于PB的直線為m，證明直線m過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

破解思路 根據(jù)橢圓的焦距以及橢圓過一個(gè)定點(diǎn)列出方程可求出橢圓的方程. 直線OM的斜率與直線BP的斜率的乘積為定值，缺少P，M兩點(diǎn)的坐標(biāo)，需要引入三個(gè)參數(shù)設(shè)出這兩點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上找到一個(gè)關(guān)系式，以及A，P，M三點(diǎn)共線找到第二個(gè)關(guān)系式，將其都代入兩斜率的乘積中最后約去第三個(gè)參數(shù)從而求得定值. 直線過定點(diǎn)問題需要寫出直線方程，利用直線BP的斜率與M點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線m的方程，最終要化成點(diǎn)斜式的形式可知道其所過的定點(diǎn). 該直線方程中含有三個(gè)參數(shù)，結(jié)合求出的y0及橢圓的方程進(jìn)行化簡(jiǎn)變形可以找到定點(diǎn)坐標(biāo).endprint

理解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度可分為三類：無(wú)公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn). 能判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離.對(duì)于拋物線來(lái)說，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線來(lái)說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù)方法（即解方程組的辦法）來(lái)研究，因?yàn)榉匠探M解的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的. 常見的問題有：①有關(guān)直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合；②有關(guān)弦長(zhǎng)問題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理來(lái)解決；③有關(guān)垂直問題，要注意運(yùn)用斜率關(guān)系及韋達(dá)定理，設(shè)而不求，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若點(diǎn)A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線AP交l于點(diǎn)M.

①設(shè)直線OM的斜率為k1，直線BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值；

②設(shè)過點(diǎn)M且垂直于PB的直線為m，證明直線m過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

破解思路 根據(jù)橢圓的焦距以及橢圓過一個(gè)定點(diǎn)列出方程可求出橢圓的方程. 直線OM的斜率與直線BP的斜率的乘積為定值，缺少P，M兩點(diǎn)的坐標(biāo)，需要引入三個(gè)參數(shù)設(shè)出這兩點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上找到一個(gè)關(guān)系式，以及A，P，M三點(diǎn)共線找到第二個(gè)關(guān)系式，將其都代入兩斜率的乘積中最后約去第三個(gè)參數(shù)從而求得定值. 直線過定點(diǎn)問題需要寫出直線方程，利用直線BP的斜率與M點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線m的方程，最終要化成點(diǎn)斜式的形式可知道其所過的定點(diǎn). 該直線方程中含有三個(gè)參數(shù)，結(jié)合求出的y0及橢圓的方程進(jìn)行化簡(jiǎn)變形可以找到定點(diǎn)坐標(biāo).endprint

理解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度可分為三類：無(wú)公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn). 能判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離.對(duì)于拋物線來(lái)說，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線來(lái)說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù)方法（即解方程組的辦法）來(lái)研究，因?yàn)榉匠探M解的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的. 常見的問題有：①有關(guān)直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合；②有關(guān)弦長(zhǎng)問題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理來(lái)解決；③有關(guān)垂直問題，要注意運(yùn)用斜率關(guān)系及韋達(dá)定理，設(shè)而不求，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若點(diǎn)A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線AP交l于點(diǎn)M.

①設(shè)直線OM的斜率為k1，直線BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值；

②設(shè)過點(diǎn)M且垂直于PB的直線為m，證明直線m過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

破解思路 根據(jù)橢圓的焦距以及橢圓過一個(gè)定點(diǎn)列出方程可求出橢圓的方程. 直線OM的斜率與直線BP的斜率的乘積為定值，缺少P，M兩點(diǎn)的坐標(biāo)，需要引入三個(gè)參數(shù)設(shè)出這兩點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上找到一個(gè)關(guān)系式，以及A，P，M三點(diǎn)共線找到第二個(gè)關(guān)系式，將其都代入兩斜率的乘積中最后約去第三個(gè)參數(shù)從而求得定值. 直線過定點(diǎn)問題需要寫出直線方程，利用直線BP的斜率與M點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線m的方程，最終要化成點(diǎn)斜式的形式可知道其所過的定點(diǎn). 該直線方程中含有三個(gè)參數(shù)，結(jié)合求出的y0及橢圓的方程進(jìn)行化簡(jiǎn)變形可以找到定點(diǎn)坐標(biāo).endprint