一類具有黏阻尼的非線性彈性桿方程的初邊值問題

牛麗芳,張建文

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030024)

一類具有黏阻尼的非線性彈性桿方程的初邊值問題

牛麗芳,張建文

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030024)

在給定的Sobolve空間中,研究了一類非線性彈性桿方程的初邊值問題,其中非線性項(xiàng)具有臨界增長(zhǎng)指數(shù)。描述了考慮非線性勢(shì)力作用下具有黏阻尼的彈性桿的振動(dòng)問題,利用Faedo-Galerkin方法,通過對(duì)變系數(shù)及非線性的處理,證明了該系統(tǒng)在一定初邊值條件下整體弱解的存在、唯一性。為此類力學(xué)振動(dòng)問題的研究和計(jì)算提供了理論依據(jù)。

Faedo-Galerkin方法;黏阻尼;非線性彈性桿;初邊值問題

具有粘阻尼的非線性彈性桿的振動(dòng)問題是動(dòng)力系統(tǒng)中最常見又非常復(fù)雜的問題之一,如果考慮非線性勢(shì)力作用,可建立如下數(shù)學(xué)模型

δΔut-ωΔutt=f(u),x∈Ω,

(1)

尚亞東[1]研究了系統(tǒng)當(dāng)α=1,β=γ=0,ω=1,n=1,2,3時(shí)整體強(qiáng)解的存在、唯一性,僅得到了f(u)是次臨界Sobolve指數(shù)情形下整體強(qiáng)解的存在、唯一,而f(u)缺乏緊性。張宏偉[2]在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上,利用位勢(shì)井方法,研究了非線性項(xiàng)f(u)具有臨界指數(shù)增長(zhǎng)時(shí)系統(tǒng)整體弱解的定性問題。之后謝永欽[3]研究了此系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間行為，以及當(dāng)α=1,β=γ=0,δ=1時(shí)系統(tǒng)的漸近行為。文獻(xiàn)[5]在前人的基礎(chǔ)上研究了當(dāng)α=1,β=γ=0時(shí),系統(tǒng)帶有記憶項(xiàng)時(shí)整體動(dòng)力學(xué)行為。

筆者研究當(dāng)δ=1時(shí),方程組在初始條件

u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),

?x∈Ω,

(2)

及邊界條件

u(x,t)=u(2)(x,t)=0,

?x∈?Ω,t∈[0,T]

(3)

下整體強(qiáng)解的存在性、唯一性。

1 預(yù)備知識(shí)

引理2[6]設(shè)f∈L∞(0,T),k≥0,c0為常數(shù),若對(duì)一切t∈[0,T],

則f(t)≤c0ekt.

2 整體弱解的存在性、唯一性

本節(jié)我們將利用Galerkin方法,結(jié)合能量估計(jì),研究系統(tǒng)(1)—(3)的整體弱解,對(duì)非線性項(xiàng)f(s)做一些約束,假設(shè)f(s)滿足:

(h2) |f′(s)|≤c0(1+|s|p), ?s∈.

f(s)s≤λs2+c1, ?s∈,

(4)

(5)

使得

um(t)滿足逼近方程

(6)

及初始條件

um(0)=u0m=

(7)

umt(0)=u1m=

(8)

注意到系統(tǒng)(6)—(8)是關(guān)于函數(shù)aj(t)(j=1,2,…,m)的二階非線性常微分方程組的柯西問題,由常微分方程理論知:?tm>0,使得系統(tǒng)(6)—(8)的解存在,從而得um(t).

引理3設(shè)Ω?n是有界光滑區(qū)域非線性項(xiàng)f(s)滿足條件(h1)-(h2),則對(duì)任一T>0及系統(tǒng)(4)—(6)的任意解um(x,t),umt(x,t)滿足:

‖umt‖2+‖um‖2≤M1, 0≤t≤T.

(9)

其中M1是與m無關(guān)的常數(shù)。

證明在(6)中取φ=umt,得

(10)

故

即 |umt|2+α‖um‖2+

其中

ρ0=|umt(x,0)|2+α‖um(x,0)‖2+

由(5)及Poincareé不等式得

ω‖umt‖2≤ρ0+Cm(Ω)ρ.

(11)

其中C為與m無關(guān)的常數(shù),本文不同地方的C代表不同的與m無關(guān)的正常數(shù)。

由(7)、(8)及f的連續(xù)性,存在正常數(shù)M1(M1與T及t無關(guān)),對(duì)一切m均有

ρ≤M1,‖umt‖2+‖um‖2≤M1,

?0≤t≤T.

(12)

證畢。

引理4設(shè)Ω?n是有界光滑區(qū)域非線性項(xiàng)f(s)滿足條件(h1)-(h2),則對(duì)任一T>0及系統(tǒng)(4)—(6)的任意解um(x,t)滿足:

‖umtt‖2+|umtt|2≤M2, 0≤t≤T.

(13)

其中M2是與m無關(guān)的常數(shù)。

證明在(6)中取φ=umtt,得

(14)

由條件(h2)有

再由Young不等式得:

‖um‖2p+

ρ1(|umtt|2+‖umtt‖2),

(15)

(16)

C‖um‖2+ρ3‖umtt‖2,

(17)

C(‖um‖2+‖umt‖2)+ρ4‖umtt‖2,

(18)

C‖umt‖2+ρ5‖umtt‖2.

(19)

‖umtt‖2+|umtt|2≤M2, 0≤t≤T.

證畢。

定理1設(shè)Ω?n是有界光滑區(qū)域非線性項(xiàng)f(s)滿足條件(h1)-(h2),則系統(tǒng)(1)—(3)存在如下意義的整體弱解u(x,t):

?T>0,u(x,t),ut(x,t),

證明由引理1,2及(10)式知

因?yàn)榭煞仲x范線性空間的一致有界線性泛函序列中必可取一個(gè)弱星收斂的子列,故可取{um},{umt},{umtt}的子列{uμ},{uμt},{uμtt},使得

uμ(x,t)→u(x,t)，

(20)

uμt(x,t)→ut(x,t)，

(21)

uμtt(x,t)→utt(x,t)，

(22)

f(uμ)→χ，在Lq(Ω×[0,T])中弱收斂。

(23)

由(15)式、條件 (h2)及引理1,存在僅依賴于c0和M1的正常數(shù)M3,使得

?μ∈,t∈[0,T].

其中

φ(x,t)dxdt=

由(20)—(21),有

又由于

故 Δuμtt(x,t)→Δutt(x,t)

(24)

下面驗(yàn)證u(x,t)滿足初值條件

在(24)中取ψ=v(t),則有

(25)

對(duì)(25)式中第一項(xiàng)作兩次分部積分,得

(26)

同理可得:

再由(7)—(8),(20)—(23)得:

(u1,v(0)).

(27)

比較(26)和(27),并由v(0),vt(0)的任意性得:

因此u(x,t)為系統(tǒng)(1)—(3)滿足初邊值條件的一個(gè)整體弱解。

定理2設(shè)Ω?n是有界光滑區(qū)域非線性項(xiàng)f(s)滿足條件(h1)-(h2),則系統(tǒng)(1)—(3)的整體弱解是唯一的,且對(duì)任意兩個(gè)解存在η>0,?t>0,有‖‖≤M4eη t,其中‖‖2+ω‖‖2.

(28)

(29)

(30)

用ut與(28)式在L2(Ω)中作內(nèi)積,得

‖ut‖2+I1=

(31)

其中

由引理3,條件(h2)及Sobolev嵌入定理,得

?t∈[0,T].

其中常數(shù)M(T)僅依賴于T和初值,0≤θ≤1,故

C(‖u‖2+‖ut‖2).

(32)

下面對(duì)I1進(jìn)行估計(jì)。記

因?yàn)?/p>

并由引理1和引理3,有

利用Young不等式得:

I2≤C(‖u‖2+|ut|2).

(33)

同理因?yàn)?/p>

C(‖u‖+|ut|).

利用Young不等式得

I3≤C(‖u‖2+|ut|2).

(34)

由(33)—(34),得

I1≤C(‖u‖2+|ut|2).

(35)

綜合(31)、(32)、(35),存在常數(shù),使得C1

C1(|ut|2+α‖u‖2+ω‖ut‖2).

于是有

|ut|2+α‖u‖2+ω‖ut‖2≤M4eη t,

?(x,t)∈Ω×(0,T).

則

(36)

3 結(jié)論

通過論證,得到了一類具有黏阻尼的非線性彈性桿方程在齊次邊界條件下整體弱解的存在、唯一性。工程中能夠簡(jiǎn)化到與本文模型有相同受力情況及邊界約束的模型時(shí),從理論上可采用該方程對(duì)工程進(jìn)行估算,并能對(duì)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、穩(wěn)定性有一定的了解,為安全經(jīng)濟(jì)地進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了指導(dǎo)。

[1] 尚亞東. 方程utt-Δu-Δut-Δutt=f(u)的初邊值問題[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2000,23(3):385-393.

[2] 張宏偉,呼青英. 一類非線性雙曲方程整體弱解的存在性和不存在性[J]. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2003,20(3):131-134.

[3] Xie Yongqin, Zhong Chengkui. The existence of global attractors for a class nonlinear evolution equation [J]. Math Anal Appl, 2007(336):54-69.

[4] Xie Yongqin, Zhong Chengkui. Asymptotic behavior of a class of nonlinear evolution equations[J]. Nonlinear Analysis, 2009(71):5095-5105.

[5] 牛麗芳,張建文,張建國. 一類帶記憶項(xiàng)的非線性彈性桿的全局吸引子[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2013,43(18):262-268.

[6] Ball J M. Initial-boundary value problems for an extensible beam [J]. Mathe Anal, 1973(42): 61-88.

(編輯：張紅霞)

Initial-boundaryValueProblemsforaKindofNonlinearElasticRodswithSomeSuitableDamped

NIULifang,ZHANGJianwen

(CollegeofMathematics,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China)

The initial-boundary value problem was studied in given Sobolve space, where the nonlinear term satisfies a critical exponential growth condition. The problem involves a class of nonlinear partial differential equations describing the nonlinear elastic rods with viscous damp under external force. By using Faedo-Galerkin method, the existence and uniqueness of the weak solutions for the proposed problem were proved through the appropriate manipulation of variable coefficient and nonlinear items.

Faedo-Galerkin method; viscous damp; nonlinear elastic rods; initial-boundary value problems

2013-02-09

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11172194);國家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元青年基金資助項(xiàng)目(11226316);山西省青年科技研究基金資助項(xiàng)目(2011021002-2);山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2010011008)

牛麗芳(1980-),女,山西晉城人,博士生,講師, 主要從事動(dòng)力系統(tǒng)研究,(Tel)13403406995

張建文,男,博士,教授,博導(dǎo)，(E-mail)zhangjianwen@tyut.edu.cn

1007-9432(2014)01-0128-05

O19

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