一類非線性時滯雙曲型偏微分方程關(guān)于平衡態(tài)的振動性分析

黃澤娟，李樹勇，周小平

(1.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066； 2.成都中醫(yī)藥大學(xué)外國語學(xué)院，四川成都610075)

1 預(yù)備知識

近幾十年來，含時滯雙曲型偏微分方程解的振動性研究備受關(guān)注［1-6］，借助泛函微分方程振動性的理論，建立起多類含時滯雙曲型偏微分方程解關(guān)于零點(零平衡態(tài))振動的判別定理.眾所周知，對于偏微分方程而言，非常數(shù)平衡態(tài)是一種重要的解形態(tài)，獲得其任意解關(guān)于非常數(shù)平衡態(tài)的漸近性質(zhì)非常重要.文獻［7-8］分別研究了反應(yīng)擴散方程和含時滯非線性拋物型偏微分方程解的漸近行為，建立了關(guān)于非常數(shù)平衡態(tài)穩(wěn)定的一些結(jié)果.文獻［9］討論含時滯拋物型偏微分方程解關(guān)于非常數(shù)平衡態(tài)的振動性，給出相應(yīng)的判別條件.然而，據(jù)已有文獻，研究含時滯雙曲型偏微分方程解關(guān)于非常數(shù)平衡態(tài)的漸近行為討論卻很少見.I.Gyori等［1］綜合各種振動性定義，提出K振動性，給出含時滯雙曲型偏微分方程解K振動性的判定定理，包含了關(guān)于非常數(shù)平衡態(tài)振動性的分析.通常，線性偏微分方程的非常數(shù)平衡態(tài)可以化為零平衡態(tài)等價處理，但是對于非線性偏微分方程，卻不能這樣簡單處理.本文將討論一類非線性時滯雙曲型偏微分方程解關(guān)于非常數(shù)平衡態(tài)振動性，在一定的條件下，建立這類方程在3種邊界條件下任意解關(guān)于平衡態(tài)振動的充分條件.

本文考慮如下一類非線性時滯雙曲型偏微分方程:

其中，(t，x)∈Q=R+×Ω，Ω?Rn是具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，△是Rn上的n維Laplace算子，a＞0，bi＞0，c(x)∈C(，R)，qj(x)∈C(，R+)，fj∈C(R，R)和F(x)∈C(，R)是連續(xù)函數(shù)，τi和 σj是非負常數(shù)，其中，i=1，2，…，m，j=1，2，…，n.

方程具有如下邊界條件:

這里，ν表示 ?Ω 的單位外法向量，β(x)∈C(?Ω)，其中 α，β(x)分別取值如下 3 種情況:

1) α =0，β(x)=1；

2) α =1，β(x)=0；

3) α=1，β(x)＞0.

初值條件為

其中 ρ=max{τ1，τ2，…，τm，σ1，σ2，…，σn}.

本文假設(shè)如下橢圓型偏微分方程

存在解w(x)∈C2(Ω)∩C()，即問題(1)和(2)存在平衡態(tài)w(x).

定義 1稱問題(1)～(3)的解u(t，x)∈C1，2(Q)∩C()在 R+× Ω 內(nèi)關(guān)于其平衡態(tài)w(x)振動.若u(t，x)?w(x)且對任意T＞0，存在點(t0，x0)∈［T，∞) × Ω，使得u(t0，x0)=w(x0).否則，稱u(t，x)關(guān)于w(x)是非振動的.

本文假設(shè)方程(1)～(3)的解在［-ρ，∞)上存在［10］.本文中，記

2 主要結(jié)論

3 例子

例1考慮如下具有時滯的非線性雙曲型偏微分方程的初邊值問題:

［1］Gyori I，Krisztin T.Oscillation results for linear partial delay differential equations［J］.J Math Anal Appl，1993，174:204-217.

［2］李永昆.具有偏差變元的雙曲型微分方程組解的振動性［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報，1997，40:100-105.

［3］He M X，Liu A P.The oscillation of hyperbolic functional differential equations［J］.Appl Math Comput，2003，143:205-224.

［4］Li W N，Meng F W.Forced oscillation for certain systems of hyperbolic differential equations［J］.Appl Math Comput，2003，141:313-320.

［5］Wang P G，Wang M，Ge W.Further results on oscillation of hyperbolic differential equations of neutral type［J］.J Appl Anal，2004，10(1):117-129.

［6］Yoshida N.Oscillation Theory of Partial Differential Equations［M］.Singapore:World Scientific Publishing，2008.

［7］葉其孝，李正元.反應(yīng)擴散方程引論［M］.北京:科學(xué)出版社，1990.

［8］Pao C V.Dynamics of nonlinear parabolic system with time delays［J］.J Math Anal Appl，1996，198:751-779.

［9］黃澤娟，李樹勇.一類非線性時滯拋物型方程解的振動性［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2010，33(3):298-301.

［10］Wu J H.Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations［M］.New York:Springer-Verlag，1996.

［11］Ladde G S，Lakshmikantham V，Zhang B G.Oscillation Theory of Differential Equations with Deviating Arguments［M］.New York:Marcel Dekker，1987.

［12］Li S Y，Zhou X P.Attraction and invariant set for impulsive partial functional differential equations in unbounded domains［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2010，33(5):688-693.

［13］張秀英，李樹勇，杜啟鳳，等.含反應(yīng)擴散項和混合時滯的隨機Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時滯相關(guān)全局指數(shù)穩(wěn)定性分析［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2013，36(1):1-6.

［14］杜啟鳳，李樹勇，趙亮，等.含分布時滯的隨機Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的p階指數(shù)穩(wěn)定性［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2013，36(1):8-13.

［15］趙亮，李樹勇，杜啟鳳，等.含時滯和脈沖的雙向聯(lián)想記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的全局魯棒一致漸近穩(wěn)定性分析［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2013，36(2):177-184.

［16］胡健，李樹勇，楊治國.含混合時滯的隨機Hopfiled神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2012，35(3):303-308.

［17］趙亮，李樹勇，張秀英，等.一類含連續(xù)分布時滯的隨機Hopfiled神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性和p階矩指數(shù)穩(wěn)定性［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2012，35(3):303-308.