基于局部均值分解和極值差分的直流電機(jī)間接測(cè)速方法*

雷 鋼， 周 銅， 黃傳金， 譚聯(lián)峰

(1. 中州大學(xué) 鄭州市汽車人機(jī)關(guān)系與安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河南 鄭州 450044；2. 中州大學(xué) 科研處,河南 鄭州 450044；3. 北京和利時(shí)電機(jī)技術(shù)有限公司,北京 100085)

0 引 言

直流電機(jī)換向電流頻率含有電機(jī)的轉(zhuǎn)速信息，通過(guò)分析直流電機(jī)起動(dòng)時(shí)電樞電流，可得其起動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)速特性[1-2]。該方法無(wú)需加裝轉(zhuǎn)速傳感器，特別適用于批量在線測(cè)試[3]和轉(zhuǎn)動(dòng)軸不可見的電機(jī)[4]。

早期直流電機(jī)的間接測(cè)速采用交流放大器對(duì)換向脈沖進(jìn)行放大和整形，然后用數(shù)字頻率計(jì)[5]或單片機(jī)系統(tǒng)測(cè)出換向脈沖頻率[6]，這對(duì)硬件要求較高。目前，在電機(jī)間接測(cè)速領(lǐng)域求取電流頻率的方法主要有快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)[7]、短時(shí)傅里葉變換[8]、小波包變換[4,9]、小波脊線算法[10-11]和第二代小波變換[12]。FFT只能獲取穩(wěn)態(tài)時(shí)的頻率特征，無(wú)法求取從起動(dòng)到穩(wěn)態(tài)這一過(guò)程中的頻率變化；利用小波包良好的時(shí)頻定位能力不僅能獲取穩(wěn)態(tài)時(shí)的換向電流頻率，也可獲取起動(dòng)過(guò)程中的頻率，但由于小波包采用離散小波變換，正交分解了時(shí)頻平面，獲取的時(shí)頻點(diǎn)較少，還要進(jìn)行曲線擬合，測(cè)試精度較低，而且還對(duì)分解后的小波包重排，計(jì)算量較大[10]；基于小波脊線的電流頻率求取方法采用連續(xù)小波變換，測(cè)試精度較高，但該方法引入了Hilbert變換構(gòu)造解析函數(shù)，將實(shí)數(shù)領(lǐng)域的頻率求解變換到復(fù)數(shù)領(lǐng)域進(jìn)行，增加了計(jì)算量。短時(shí)傅里葉變換、第二代小波變換都受測(cè)不準(zhǔn)原理限制，很難同時(shí)達(dá)到時(shí)頻分析效果。Teager能量算子法[13]、相位差分法[14]也是常用的頻率求取方法，但Teager能量算子法僅適用于頻率不變的信號(hào)；相位差分法包括前向差分、后向差分和中心差分，效果比較好的是中心差分法，其缺點(diǎn)是對(duì)噪聲太敏感。

近年來(lái)，運(yùn)用Hilbert-Huang變換(HHT)求取多分量信號(hào)的頻率也是一個(gè)研究熱點(diǎn)[15]。該方法首先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)將復(fù)雜信號(hào)自適應(yīng)地分解為若干固有模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Function, IMF)之和，然后對(duì)每個(gè)IMF做Hilbert變換從而求其頻率。該方法有良好的自適應(yīng)性，但易出現(xiàn)負(fù)頻率現(xiàn)象。

局部均值分解(Local Mean Decomposition, LMD)是另外一種根據(jù)信號(hào)固有包絡(luò)特征自適應(yīng)地分析非線性信號(hào)方法[16]。LMD首先將多分量信號(hào)分解為若干單分量的乘積函數(shù)(Product Function,PF)之和，其中PF由調(diào)幅-調(diào)頻函數(shù)組成，通過(guò)對(duì)余弦形式的調(diào)頻函數(shù)求導(dǎo)可獲取PF的瞬時(shí)頻率。這種求取頻率方法完全在實(shí)數(shù)領(lǐng)域中進(jìn)行，具有較高的運(yùn)算速度，但LMD分解中常出現(xiàn)余弦形式的調(diào)頻函數(shù)的幅值超出[-1，1]的現(xiàn)象。

本文首先根據(jù)LMD構(gòu)建了自適應(yīng)濾波器并提取換向電流，然后與采用EMD提取電樞電流的方法做了對(duì)比研究；其次，根據(jù)直流電機(jī)換向特點(diǎn)，提出了一種基于極值差分的頻率求取方法，并與小波脊線、HHT中的Hilbert變換和LMD中的反余弦函數(shù)方法求取的瞬時(shí)頻率做了對(duì)比，結(jié)果證明了本文所提方法的優(yōu)越性。

1 基于LMD的濾波原理

1.1 LMD原理[17]

LMD可從復(fù)雜信號(hào)中按頻率遞減的順序自適應(yīng)地依次分離出若干單分量的乘積函數(shù)(PF)，且復(fù)雜信號(hào)可由PF和剩余的單調(diào)函數(shù)重構(gòu)。假設(shè)復(fù)雜信號(hào)為x(t)，則對(duì)應(yīng)的分解步驟為[17]

(1) 設(shè)ni為信號(hào)x(t)的局部極值點(diǎn)，mi為任意兩個(gè)相鄰的局部極值點(diǎn)的平均值，則有:

mi=(ni+ni+1)/2

(1)

將式(1)中所有相鄰的局部均值點(diǎn)mi和mi+1用折線連接起來(lái)，然后用滑動(dòng)平均法對(duì)其進(jìn)行平滑處理，得到局部均值函數(shù)m11(t)。

(2) 包絡(luò)估計(jì)值ai為

ai(t)=ni-ni+1/2

(2)

將ai和ai+1連接起來(lái)并用滑動(dòng)平均法進(jìn)行平滑處理，便可得到包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a11(t)。

(3) 用x(t)減去局部均值函數(shù)m11(t)可得到信號(hào)h11(t)，即:

h11(t)=x(t)-m11(t)

(3)

(4)h11(t)除以包絡(luò)估計(jì)函數(shù)便得到調(diào)頻函數(shù)s11(t)，即:

s11(t)=h11(t)/a11(t)

(4)

將調(diào)頻函數(shù)s11(t)作為原始信號(hào)重復(fù)以上過(guò)程，可得到s11(t)的包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a12(t)。假如a12(t)不為1，表明s11(t)不是純調(diào)頻函數(shù)，則將上述迭代過(guò)程重復(fù)n次，至s1n(t)為純調(diào)頻函數(shù)時(shí)結(jié)束，即s1n(t)的包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a1(n+1)(t)=1，故有:

(5)

(6)

迭代終止的條件為

(7)

實(shí)際應(yīng)用中，為避免過(guò)多分解次數(shù)，設(shè)一個(gè)變動(dòng)量Δ，可令1-Δ≤a1n(t)≤1+Δ時(shí)，迭代終止。

(5) 將全部包絡(luò)估計(jì)函數(shù)連乘即可得到包絡(luò)信號(hào)a1(t)，即:

(8)

(6) 將包絡(luò)函數(shù)a1(t)與純調(diào)頻函數(shù)s1n(t)相乘可得初始信號(hào)x(t)的第一個(gè)PF分量，即:

PF1(t)=a1(t)×s1n(t)

(9)

(7) 將PF1(t)分量從原始信號(hào)中x(t)分離，得到一個(gè)新的函數(shù)u1(t)，對(duì)u1(t)重復(fù)上述過(guò)程循環(huán)k次，當(dāng)uk(t)為單調(diào)函數(shù)時(shí)分解結(jié)束。

(10)

從以上分解過(guò)程可知，將所有PF分量以及剩余的單調(diào)函數(shù)相加可重構(gòu)出原始信號(hào)x(t)，即:

(11)

1.2 應(yīng)用LMD構(gòu)建濾波器原理

EMD分解出的IMF分量按頻率從高到低的特點(diǎn)排列，據(jù)此可構(gòu)建出自適應(yīng)的時(shí)空濾波器[18]。LMD和EMD類似，大量試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)LMD分解出的PF分量也按頻率從高到低的順序排列。根據(jù)這一特點(diǎn)，應(yīng)用LMD可構(gòu)建自適應(yīng)的濾波器。如去掉最后分離出的PF分量，將其余的PF分量相加，則相當(dāng)于高通濾波器；去掉最開始分離出的幾個(gè)PF分量，對(duì)其余的PF求和，則相當(dāng)于低通濾波器；將兩頭的PF分量去掉，保留中間的PF分量，則相當(dāng)于帶通濾波器。應(yīng)用LMD構(gòu)建的自適應(yīng)濾波器(Adaptive filter， AF)可表示為

(12)

LMD從復(fù)雜信號(hào)中按頻率遞減的順序依次分離出PF分量這一過(guò)程實(shí)質(zhì)上是不斷從高頻濾波到低頻濾波的過(guò)程，完全體現(xiàn)了多分辨分析自適應(yīng)的濾波特性。應(yīng)用LMD構(gòu)建的濾波器截止頻率以及通帶都隨輸入信號(hào)不同而改變，這和傳統(tǒng)濾波器的固定截止頻率具有本質(zhì)不同。

2 基于極值差分的瞬時(shí)頻率求取方法

直流電機(jī)換向常出現(xiàn)超前換向和延遲換向，換向過(guò)程中有可能出現(xiàn)火花或電弧放電現(xiàn)象，且電刷與換向片接觸程度、換向器表面的氧化亞銅薄膜所受壓力都對(duì)換向過(guò)程有影響，會(huì)造成換向電流波形畸變。用EMD和LMD進(jìn)行自適應(yīng)濾波提取換向電流時(shí)也很難消除超前換向和延遲換向?qū)Q向電流的影響[17-18]。在電流畸變或有毛刺處，直接根據(jù)每個(gè)采樣時(shí)刻的相位求取頻率會(huì)有突變，這時(shí)根據(jù)所求頻率間接獲取的轉(zhuǎn)速就和實(shí)際不符，因?yàn)閷?shí)際轉(zhuǎn)速一般只能遞變不會(huì)突變。

根據(jù)頻率的定義可知相鄰波峰或波谷之間的時(shí)間間隔是一個(gè)周期，周期的倒數(shù)可認(rèn)為是相鄰波峰或波谷中間時(shí)刻的頻率，這種求取頻率方法稱為基于中心點(diǎn)的極值差分方法。假設(shè)ihx(t)為換向電流，則運(yùn)用極值差分求其頻率的步驟如下:

(1) 找出ihx(t)所有的波峰值ihx(τk)，τk為ihx(t)對(duì)應(yīng)的波峰時(shí)間，k=1,2,…,N，N為ihx(t)的波峰總數(shù)；

(2) 判斷第一個(gè)波峰值時(shí)間是否等于零，如等于零轉(zhuǎn)入(3)；否則，對(duì)其進(jìn)行鏡像延拓以解決端點(diǎn)效應(yīng)，然后進(jìn)入(3)；

(3) 相鄰波峰中點(diǎn)時(shí)刻的頻率f為

(13)

式中：fs—采樣頻率。

(4) 檢測(cè)頻率是否存在突變，突變點(diǎn)的頻率可用上次求取的頻率代替；

(5) 將所求點(diǎn)的頻率用最小二乘擬合即可獲得換向電流的瞬時(shí)頻率曲線。

這種通過(guò)定位極值點(diǎn)求取頻率的方法物理意義明確，最重要的是可有效解決超前換向和延遲換向及可能存在的火花造成的換向電流頻率突變問(wèn)題。

3 間接測(cè)速公式和信號(hào)采集系統(tǒng)

3.1 間接測(cè)速公式

得到普遍認(rèn)可的直流電機(jī)間接測(cè)速公式為[4,19]:

(14)

式中:m為換向片數(shù);n為轉(zhuǎn)速;p為電機(jī)極對(duì)數(shù);c由m的奇偶決定的系數(shù)。m為偶數(shù)時(shí)，c=1 ；m為奇數(shù)時(shí)，c=2。

3.2 信號(hào)采集系統(tǒng)

試驗(yàn)采集系統(tǒng)如圖1所示，由永磁直流電動(dòng)機(jī)ZYTD-50SRZ-R、霍爾電流傳感器LSTR25N、數(shù)據(jù)采集卡ARTUSB2850、PC機(jī)及直流電源組成。圖1中ZYTD-50SRZ-R空載電流為0.18A；空載轉(zhuǎn)速為2000r/min；極對(duì)數(shù)為1，換向片數(shù)為12。由空載轉(zhuǎn)速及電機(jī)參數(shù)可初步判斷換向電流最高頻率不超過(guò)400Hz，本文選擇的采樣頻率為20kHz，采集的信號(hào)如圖2所示。從圖2及其局部放大圖可知，直流電機(jī)從暫態(tài)起動(dòng)到穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)電樞電流都含有大量的噪聲信號(hào)。

圖1 直流電動(dòng)機(jī)電樞電流信號(hào)采集系統(tǒng)

圖2 采集的直流電機(jī)空載起動(dòng)時(shí)電樞電流信號(hào)

4 試驗(yàn)分析結(jié)果

對(duì)圖2所示的電樞電流信號(hào)進(jìn)行LMD分解，得到的系列PF分量如圖3所示。為驗(yàn)證LMD的完備性，通過(guò)各PF分量和剩余函數(shù)重構(gòu)原始信號(hào)。本文對(duì)各PF分量和剩余函數(shù)求和重構(gòu)新的電樞電流信號(hào)，該信號(hào)減去原始的電樞電流信號(hào)得到誤差信號(hào)波形，如圖4所示。由圖4可知，誤差信號(hào)的數(shù)量級(jí)是10-17，由此可知根據(jù)各PF分量和剩余信號(hào)可重構(gòu)原始信號(hào)，間接證明了LMD分解提取換向電流的可行性。

圖3 電樞電流各PF分量和剩余函數(shù)

圖4 重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)之間的誤差曲線

從圖3可知，LMD分解電樞電流信號(hào)得到的各PF分量依次按頻率從高到低的順序排列。仔細(xì)觀察圖3中的各PF分量可知，PF1和PF2具有幅值小、頻率高的特點(diǎn)，可認(rèn)為是噪聲分量；PF3幅值增大，頻率降低，可認(rèn)為其屬于換向電流成分；后階的PF分量頻率依次降低，至PF7分量時(shí)，其頻率近似直流成分，由此可確定式(12)中帶通濾波器截止分量的階數(shù)為l=3和h=6，則式(12)中，AF的輸出信號(hào)即為電樞電流的換向電流，如圖5所示。將其與圖2對(duì)比可知，AF組成的帶通濾波器在有效濾除高頻的噪聲成分和低頻的直流分量的同時(shí)，較好地保留了換向電流成分。

為對(duì)比運(yùn)用EMD和LMD分析電樞電流的優(yōu)缺點(diǎn)，根據(jù)EMD方法[17]以及LMD方法獲取的直流成分如圖6(a)所示，二種方法獲取的換向電流如圖6(b)所示(為便于對(duì)比，只顯示了換向電流的局部放大圖)。從圖6(a)可知，EMD提取的直流成分在起動(dòng)過(guò)程中的效果較好，穩(wěn)態(tài)時(shí)二種方法提取的直流成分很接近；從圖6(b)可知較之EMD方法，LMD提取的換向電流更平滑。另外，本文對(duì)比了EMD和LMD分解電機(jī)啟動(dòng)電流的計(jì)算速度，實(shí)驗(yàn)環(huán)境為神舟K480P-i5G、Win7和Matlab7.12。EMD采用Rilling提出的“篩分”停止準(zhǔn)則[17]，取默認(rèn)值；LMD的擾動(dòng)量Δ=0.0001；二者都采用鏡像拓延以改善端點(diǎn)效應(yīng)。得到電樞電流全部IMF分量EMD耗時(shí) 2.463026s，而LMD僅運(yùn)行1.193508s 便分離出全部PF分量。由此可見，LMD的運(yùn)行速度大大快于EMD，更適合在線測(cè)試。究其原因，主要是LMD得到PF分量時(shí)采用了除法，而EMD得到IMF分量時(shí)采用減法，故LMD的分解速度快于EMD。

圖5 運(yùn)用LMD提取的換向電流

圖6 分別運(yùn)用LMD、EMD獲取的直流成分和換向電流

對(duì)圖6所示的換向電流運(yùn)用極值差分法求取的頻率和小波脊線算法求取的頻率(LMD提取的換向電流)如圖7所示，其起動(dòng)電流的傅里葉頻譜如圖8所示。對(duì)比圖7、圖8可知，運(yùn)用極值差分法可有效求取EMD和LMD提取的換向電流頻率，圖7中的三條頻率曲線幾乎同時(shí)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，這間接驗(yàn)證了采用極值差分求取換向電流頻率的正確性。對(duì)比圖7中運(yùn)用極值差分求取EMD和LMD提取的換向電流頻率可知，LMD提取的換向電流在暫態(tài)啟動(dòng)過(guò)程中的頻率曲線較光滑，且沒有突變點(diǎn)。對(duì)比極值差分和小波脊線算法求取的瞬時(shí)頻率曲線發(fā)現(xiàn)，小波脊線方法獲取的頻率曲線在暫態(tài)起動(dòng)過(guò)程中的曲線更光滑，但在穩(wěn)態(tài)邊界處的波動(dòng)較大。另外，相對(duì)于極值差分，小波脊線算法采用連續(xù)小波變換需對(duì)每一個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)算求解，其計(jì)算速度較慢，實(shí)驗(yàn)中采用cmor6-2型小波進(jìn)行連續(xù)小波變換，尺度為1∶300，求取頻率耗時(shí)12.633830s，而極值差分方法僅用了0.385791s，可見本文所提算法更適合在線應(yīng)用。

圖9為分別采用HHT中Hilbert變換和LMD中的反余弦函數(shù)法求取的換向電流主要模態(tài)的頻率曲線。從圖9可看出運(yùn)用HHT求取的瞬時(shí)頻率波動(dòng)幅度很大，突變點(diǎn)很多。主要原因是換向電流不是規(guī)則的正弦波性，由于換向過(guò)程的復(fù)雜性，換向電流相位會(huì)發(fā)生畸變，而HHT是通過(guò)對(duì)瞬時(shí)相位求導(dǎo)獲取頻率曲線，所以其求取直流電機(jī)換向電流瞬時(shí)頻率波動(dòng)較大；LMD在獲取純調(diào)頻函數(shù)過(guò)程中運(yùn)用滑動(dòng)平均算法，滑動(dòng)平均跨度好比窗口濾波，求取的瞬時(shí)頻率比HHT平滑，但純調(diào)頻函數(shù)的值常超出[-1，1]范圍，所求頻率也存在一定程度的波動(dòng)。

根據(jù)式(14)所得轉(zhuǎn)速曲線如圖10所示。由閃光測(cè)速儀得到的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速為1825r/min，圖10中穩(wěn)態(tài)時(shí)不同時(shí)刻轉(zhuǎn)速在1825r/min附近略有波動(dòng)，但波動(dòng)范圍很小，在±5r/min之間，直接證明了本文所提方法的可行性。

圖7 極值差分和小波脊線求取的瞬時(shí)頻率

圖8 空載起動(dòng)時(shí)的電樞電流傅立葉頻譜

圖9 采用Hilbert變換和LMD中反余弦法求取的換向電流主要模態(tài)的頻率曲線

圖10 直流電機(jī)空載起動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)速曲線

5 結(jié) 語(yǔ)

本文主要做了兩個(gè)工作，一是構(gòu)建了基于LMD的自適應(yīng)濾波器，通過(guò)試驗(yàn)對(duì)比分析了EMD和LMD在提取直流電機(jī)空載起動(dòng)時(shí)換向電流的優(yōu)缺點(diǎn)；二是提出了基于差分極值算法的換向電流頻率求取方法，并與LMD中的反余弦方法、HHT中的Hilbert變換方法和小波脊線等求取頻率的算法作了對(duì)比。主要結(jié)論如下:

(1) 較之EMD方法，LMD提取的換向電流更平滑，并且LMD的分解速度較快，更適合在線應(yīng)用；

(2) 基于極值差分的頻率求取方法可求取換向電流頻率；

(3) 對(duì)分別采用EMD和LMD提取的換向電流應(yīng)用極值差分求其頻率，LMD方法所對(duì)應(yīng)的換向電流頻率在暫態(tài)起動(dòng)過(guò)程中的曲線較光滑；

(4) 小波脊線算法求取的暫態(tài)頻率特性較好，但在穩(wěn)態(tài)邊界處波動(dòng)較大；

(5) 較之小波脊線算法，極值差分的頻率求取方法運(yùn)算速度提高了96.95%，適合在線應(yīng)用；

(6) LMD中的反余弦方法和Hilbert變換方法不宜直接用于求取換向電流頻率。

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