關(guān)于Diophantine方程x3+64=273y2的整數(shù)解*

廖 軍

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000)

方程

x3±64=Dy2(x，y∈N，D>0，且無平方因子)

(1)

是一類重要的Diophantine方程，其整數(shù)解只有為數(shù)不多的學(xué)者研究過.目前的主要結(jié)論有：1994年，李復(fù)中[1]給出D只含一個(gè)6k+1形素?cái)?shù)因子時(shí)不定方程x3±64=3Dy2在一些條件下無非平凡解的充分條件；同年，張海燕、李復(fù)中[2]給出D不能被3或6k+1形的素?cái)?shù)整除且D≠k+2時(shí)，不定方程x3±64=Dy2無非平凡解的充分性條件；2008年，趙天[3]給出了不定方程x3±26=3Dy2(D=7，13，19，31)的所有整數(shù)解；2012年，張攀[4]給出了10個(gè)不定方程x3±64=py2(p=7，13，19，37，43)的所有整數(shù)解；牛芳芳、羅明[5]給出了不定方程x3-64=31y2的所有解；趙天[6]給出了不定方程x3+64=21y2的所有解.此處主要討論Diophantine方程x3+64=273y2的解的情況.

引理1[7]不定方程x3+1=273y2僅有整數(shù)解(-1，0).

定理1 Diophantine方程

x3+64=273y2

(2)

僅有整數(shù)解(-4，0).

當(dāng)x

情形①：x+4=273a2，x2-4x+16=b2，gcd(a，b)=1，y=ab.

情形②：x+4=a2，x2-4x+16=273b2，gcd(a，b)=1，y=ab.

情形③：x+4=91a2，x2-4x+16=3b2，gcd(a，b)=1，y=ab.

情形④：x+4=3a2，x2-4x+16=91b2，gcd(a，b)=1，y=ab.

情形⑤：x+4=819a2，x2-4x+16=3b2，gcd(a，b)=3，y=3ab.

情形⑥：x+4=3a2，x2-4x+16=819b2，gcd(a，b)=3，y=3ab.

情形⑦：x+4=273a2，x2-4x+16=9b2，gcd(a，b)=3，y=3ab.

情形⑧：x+4=9a2，x2-4x+16=273b2，gcd(a，b)=3，y=3ab.

下面分別討論方程(2)在這8種情形下的所有解的情況.

情形①，由第2式可得x=0或4，代入到第1式，可知x=0或4均不適合此式.因此在該情形下方程(2)無整數(shù)解.

情形②，因?yàn)閤

情形③，因?yàn)閤

情形④，因?yàn)閤

情形⑤，因?yàn)閤

情形⑥，因?yàn)閤

情形⑦，因?yàn)閤

情形⑧，因?yàn)閤

從以上8種情形的討論，可知Diophantine方程(2)無x

綜上所述，Diophantine方程(2)有僅有整數(shù)解(-4，0).

參考文獻(xiàn)：

[1] 李復(fù)中.關(guān)于丟番圖方程x3±64=3Dy2[J].東北師范大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1994(2)：16-17

[2] 張海燕，李復(fù)中.關(guān)于丟番圖方程x3±64=Dy2[J].哈爾濱科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)：1994，18(3)：107-109

[3] 趙天.關(guān)于不定方程x3±23n=3Dy2解的討論[D].重慶：重慶師范大學(xué)，2008

[4] 張攀.關(guān)于不定方程x3±64=py2的研究[D].陜西：西北大學(xué)，2012

[5] 牛芳芳，羅明.關(guān)于不定方程x3-64=31y2[J].重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，31(2)：32-34

[6] 趙天.關(guān)于不定方程x3+64=21y2[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，25(1)：9-12

[7] 曹玉書，郭慶儉.關(guān)于丟番圖方程x3±1=3Dy2[J].黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1989(4)：68-71