不確定隨機時滯反應(yīng)擴散廣義細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間魯棒穩(wěn)定性

羅 蘭, 劉正龍

(川北醫(yī)學(xué)院計算機與數(shù)學(xué)教研室,四川南充637000)

自1988年L.O.Chua等[1]和T.Yang等[2]提出著名的細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型以來,由于其在圖像處理,模式識別,時間序列分析,信號處理與控制等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用,細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已成為許多學(xué)者研究的熱點之一.為了便于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的硬件實現(xiàn),S.Espejo等[3]提出了廣義細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),其特點是提供了單元(細胞)高階動力學(xué)線性動態(tài)部分及與應(yīng)用有關(guān)的任意靜態(tài)非線性,各單元具有一致結(jié)構(gòu),但允許單元之間存在變化等.在實際的神經(jīng)系統(tǒng)中,由于細胞間信號傳遞的時間延遲,導(dǎo)致本來穩(wěn)定的網(wǎng)絡(luò)變成不穩(wěn)定的網(wǎng)絡(luò),因此,在系統(tǒng)中考慮時滯是非常有必要的[6-9];再者,電子在不均勻的電磁場中運行,擴散現(xiàn)象不可避免,所以對具有反應(yīng)擴散的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究也是很有必要的[10-11];加之,神經(jīng)信號傳輸是一個受隨機因素影響的充滿噪音的過程,即有必要引入隨機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[12-13];最后,由于建模誤差,網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的變化,對系統(tǒng)來說確切的參數(shù)是不可能存在的,故而討論了范數(shù)有界的參數(shù)不確定細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).總的來說,將時滯、反應(yīng)擴散、隨機擾動和參數(shù)不確定項放入廣義的細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來考慮,是具有實際意義的.

近來,關(guān)于細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性研究一般考慮的是Lyapunov漸近穩(wěn)定問題,即時間趨于無窮時系統(tǒng)的動態(tài)行為.而在實際中,可能需要知道系統(tǒng)在某個固定的時間間隔具有的動態(tài)行為,即有限時間的穩(wěn)定性[14].因此,對廣義細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間穩(wěn)定性分析也是有必要的.

基于以上論述,在這篇文章中,研究了不確定隨機時滯反應(yīng)擴散廣義細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間魯棒穩(wěn)定性,得到了系統(tǒng)有限時間魯棒穩(wěn)定的充分條件.

記對稱矩陣X,Y,X≥Y(或X>Y)表示X-Y是半正定(或正定)的,MT表示矩陣M的轉(zhuǎn)置,I是有合適維數(shù)的單位矩陣,λmax(M)和λmin(M)表示矩陣M的最大和最小特征值,E{·}定義為數(shù)學(xué)期望

是緊集,其邊界?Ω光滑且在Rl有mes?Ω>0,C(X×Y,Rn)表示映射X×Y→Rn的連續(xù)函數(shù)的Banach空間,對于矩陣,如果沒有特別說明,表示有適當(dāng)維數(shù).

1 模型介紹

考慮如下具有時滯和反應(yīng)擴散的廣義細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò):

其中x=(x1,x2,…,xl)T∈Ω?Rl是空間變量,ui(t,x)是第i單元于時刻t和空間x的狀態(tài)變量,光滑函數(shù)Dik≥0是擴散算子,

h≥1為常數(shù),當(dāng)h=1,則系統(tǒng)(1)變?yōu)橥ǔ５姆磻?yīng)擴散細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.fj(uj(t,x))是第j單元于時刻t和空間x的激活函數(shù),τij≥0是一個神經(jīng)元到下一個神經(jīng)元的傳輸時間延遲,Ii是第i個單元所受的常數(shù)驅(qū)動力,ci>0表示在與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不連通并且無外部附加電壓差的情況下第i個神經(jīng)元恢復(fù)孤立靜息狀態(tài)的速率,aij,bij表示第i個神經(jīng)元和第j個神經(jīng)元之間的連接強度.

給出系統(tǒng)(1)的初始值和邊界條件:

接下來,給出不確定隨機反應(yīng)擴散廣義細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間魯棒穩(wěn)定性的定義以及在證明主要結(jié)論時要用的幾個引理:

2 主要結(jié)論

現(xiàn)在,給出不確定廣義細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(4)的有限時間魯棒均方穩(wěn)定的充分條件及其證明.

定理2.1不確定廣義細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(4)關(guān)于正實數(shù)(c1,c2,T)是有限時間魯棒均方穩(wěn)定的,如果存在對角矩陣P=diag(p1,p2,…,pn)>0,矩陣Q1,Q2>0和常數(shù)ε1,ε2,α>0滿足

其中,ζ=λmax(P)+τλmax(Q1)+τλmax(Q2)λmax(LL),由定義可知,系統(tǒng)(4)的有限時間魯棒隨機穩(wěn)定性得證.

基于定理2.1,有以下推論:

推論2.1去掉參數(shù)不確定項,隨機時滯反應(yīng)擴散細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)是有限時間魯棒均方穩(wěn)定的,如果存在對稱正定矩陣P=diag(p1,p2,…,pn)>0,矩陣Q1,Q2>0和常數(shù)ε1,ε2,α>0滿足(6)式及

定理2.2在假設(shè)(A1)～(A3)下,系統(tǒng)(4)是有限時間魯棒均方穩(wěn)定的,若存在對稱正定矩陣P=diag(p1,p2,…,pn)>0,矩陣Q1,Q2>0和常數(shù)εi>0(i=a,b,c,m,n)滿足(6)式及

3 數(shù)值舉例

4 結(jié)論

考慮了一類具有時滯,反應(yīng)擴散,隨機擾動及參數(shù)不確定項的廣義細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),在不確定項范數(shù)有界的條件下,給出了系統(tǒng)的有限時間魯棒均方穩(wěn)定的充分條件,并通過線性矩陣不等式(LMI)來表示,易于求解,最后通過數(shù)值舉例來表明結(jié)論的可行性.

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