帶有阻尼項(xiàng)的廣義SRLW方程的一個(gè)線性差分格式

劉 倩, 胡勁松, 林雪梅

(西華大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,四川成都610039)

在研究弱非線性離子聲波和空間帶電波的傳播時(shí),文獻(xiàn)[1]提出了廣義對稱正則長波(SRLW)方程:

方程(1)～(2)也出現(xiàn)在許多其他數(shù)學(xué)物理研究領(lǐng)域[2-4].關(guān)于SRLW方程的定解問題的適定性及數(shù)值方法的研究也引起了廣泛關(guān)注[5-12].在實(shí)際問題中,粘性阻尼是不可避免的,而且與色散一樣起著十分重要的作用.本文考慮如下一類帶有阻尼項(xiàng)的耗散廣義SRLW方程的初邊值問題:

其中,p≥2為正整數(shù),υ>0是耗散系數(shù),γ>0是阻尼系數(shù).

在考慮耗散時(shí),方程(3)～(4)是反映非線性離子聲波運(yùn)動(dòng)本質(zhì)現(xiàn)象的合理模型[13],文獻(xiàn)[13-17]分別討論了方程(3)～(4)的解的適定性和整體存在唯一性以及解的長時(shí)間性態(tài)等,但其解析解很難求出.于是,研究初邊值問題(3)～(6)的數(shù)值解就很有理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值.文獻(xiàn)[18-19]分別討論了初邊值問題(3)～(6)在p=2時(shí)的差分近似解,本文考慮更一般的情形,構(gòu)造了問題(3)～(6)的一個(gè)三層線性有限差分格式,數(shù)值計(jì)算時(shí)不需要迭代,時(shí)間比較節(jié)省,討了其差分解的先驗(yàn)估計(jì),分析了該格式的二階收斂性和無條件穩(wěn)定性,同時(shí)給出數(shù)值算例來說明該格式的有效性.

1 線性差分格式及差分解的估計(jì)

2 差分格式的收斂性與穩(wěn)定性

表1 p=3時(shí),在幾個(gè)不同時(shí)刻的誤差(τ=h)Table 1 The errors of numerical solutions at various time step with τ =h for p=3

表2 p=5時(shí),在幾個(gè)不同時(shí)刻的誤差(τ=h)Table 2 The errors of numerical solutions at various time step with τ =h for p=5

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在t=0時(shí),由于阻尼還沒有作用,耗散還沒有產(chǎn)生,所以在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中,把問題(3)～(6)中的初值函數(shù)取為廣義 SRLW方程(1)、(2)的初值函數(shù)[5](t=0時(shí)):

對初邊值問題(3)～(6)考慮p=3和p=5這2種情況進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn).固定-xL=xR=20,T=1.0,取υ=γ=1.由于方程(3)～(4)的精確解并不知道,用類似文獻(xiàn)[18-19]的誤差估計(jì)方法,將細(xì)網(wǎng)格(h=τ=1/160)上的數(shù)值解作為精確解來估計(jì)誤差,就τ和h的不同取值時(shí),幾個(gè)不同時(shí)刻的l∞誤差見表1和2.

從數(shù)值算例看出,本文的格式明顯具有二階精度,而且是一個(gè)線性格式,計(jì)算時(shí)間也比較節(jié)約.所以本文的格式是實(shí)用而可靠的.

致謝西華大學(xué)研究生創(chuàng)新基金(YCJJ201311)對本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

[1]Seyler C E,Fenstermacler D C.A symmetric regularized long wave equation[J].Phys Fluids,1984,27(1):4-7.

[2]Ogino T,Takeda S.Computer simulation and analysis for the spherical and cylindrical Ion-acoustic solitons[J].J Phys Soc Jpn,1976,41(1):257-264.

[3]Makhankov V G.Dynamics of classical solitons(in non-integrable systems)[J].Physics Reports,1978,C35(1):1-128.

[4]Clarkson P A.New similarity reductions and Painleve analysis for the symmetric regularized long wave and modified Benjamin-Bona-Mahoney epuations[J].J Phys A:Math Gen,1989,22(18):3821-3848.

[5]段廣森,趙廷芳.廣義對稱正則長波方程的孤立波解[J].長沙大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2000,14(2):31-32.

[6]鄭家棟,張汝芬,郭本瑜.SRLW方程的Fourier擬譜方法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),1989,10(9):801-810.

[7]鄭家棟.廣義SRLW方程的擬譜配點(diǎn)方法[J].計(jì)算數(shù)學(xué),1989,11(1):64-72.

[8]尚亞東,郭柏靈.廣義對稱正則長波方程的勒讓德和切貝雪夫擬譜方法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2005,26(4):590-604.

[9]柏琰,張魯明.對稱正則長波方程的一個(gè)守恒差分格式[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2007,30(2):248-255.

[10]Wang T C,Zhang L M,Chen F Q.Conservative schemes for the symmetric regularized long wave equations[J].Appl Math Comput,2007,190:1063-1080.

[11]王廷春,張魯明.對稱正則長波方程的擬緊致守恒差分逼近[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2006,A26(7):1039-1046.

[12]王廷春,張魯明,陳芳啟.對稱正則長波方程的擬緊致守恒差分格式[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2008,25(1):169-172.

[13]Shang Y D,Guo B L,Fang S M.Long time behavior of the dissipative generalized symmetric regularized long wave equations[J].J Partial Diff Eqns,2002,15:35-45.

[14]尚亞東,郭柏靈.耗散的廣義對稱正則長波方程周期初值問題的整體吸引子[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2003,A23(6):745-757.

[15]Guo B L,Shang Y D.Approximate inertial manifolds to the generalized symmetric regularized long wave equations with damping term[J].Acta Math Appl Sinica,2003,19(2):191-204.

[16]尚亞東,郭柏靈.帶有阻尼項(xiàng)的廣義對稱正則長波方程的指數(shù)吸引子[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2005,26(3):259-266.

[17]Fang S M,Guo B L,Qiu H.The existence of global attractors for a system of multi-dimensional symmetric regularized long wave equations[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2009,14:61-68.

[18]Hu J S,Xu Y C,Hu B.A linear difference scheme for dissipative symmetric regularized long wave equations with damping term[J].Boundary Value Problems,2010(2010):781750.

[19]Hu J S,Hu B,Xu Y C.C-N difference schemes for dissipative symmetric regularized long wave equations with damping term[J].Mathematical Problems in Engineering,2011,2011:651642.