帶Neumann邊界條件的Extended Fisher-Kolmogorov系統(tǒng)的定態(tài)分歧

張 強(qiáng), 曾 艷, 李桂花, 張黔川

(中國(guó)民用航空飛行學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院,四川廣漢618307)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

Extended Fisher-Kolmogorov(EFK)系統(tǒng)于19世紀(jì)80年代作為理論模型出現(xiàn)在相變以及其他雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象中[1-3].在過去的幾十年里,人們對(duì)EFK系統(tǒng)進(jìn)行了廣泛的研究,解的結(jié)構(gòu)(如行波解)和解的漸進(jìn)行為[4-9]成為研究的關(guān)注點(diǎn),而對(duì)其分歧問題的研究則很少.分歧揭示了當(dāng)控制參數(shù)穿越臨界值時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的變化規(guī)律.目前分歧理論[10-12]已廣泛地應(yīng)用于物理和生物等領(lǐng)域的研究中[13-15].文獻(xiàn)[13]應(yīng)用文獻(xiàn)[10]的方法研究了一類非線性磁流變阻尼系統(tǒng)的局部分岔,不過注意到文獻(xiàn)[13]考察的是一個(gè)有限維系統(tǒng).而對(duì)于無窮維系統(tǒng)的分歧問題的研究,最近在文獻(xiàn)[12]中給出了規(guī)范化的Lyapunov-Schmidt約化方法.應(yīng)用該方法,文獻(xiàn)[14]討論了Kuramoto-Sivashinsky方程的分歧問題.文獻(xiàn)[15]研究了基因繁殖在一平衡點(diǎn)附近的分歧.而本文應(yīng)用此方法研究了EFK系統(tǒng)的定態(tài)分歧問題,得到了系統(tǒng)產(chǎn)生超臨界和次臨界分歧的完整判據(jù)、分歧解的表達(dá)式等結(jié)果,希望有助于加深對(duì)該方程動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的理解.另外,在一定程度上也有助于理解類似的帶有四階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

考慮下面EFK系統(tǒng)的定態(tài)分歧:

2 主要結(jié)果

致謝中國(guó)民用航空飛行學(xué)院面上項(xiàng)目(J2011-30)對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

[1]Coullet P,Elphick C,Repaux D.The nature of spatial chaos[J].Phys Rev Lett,1987,58(5):431-434.

[2]Dee G,Saarloose W.Bistable systems with propagating fronts leading to pattern formation[J].Phys Rev Lett,1988,60(25):2641-2644.

[3]Zimmermann W.Propagating fronts near a Lifschitz point[J].Phys Rev Lett,1991,66(11):1546-1546.

[4]Peletier L,Troy W.Spatial patterns described by the extended Fisher-Kolmogorov equation:periodic solutions[J].SIAM J Math Anal,1997,28(6):1317-1353.

[5]Tersian S,Chaparova J.Periodic and homoclinic solutions solutions of extended Fisher-Kolmogorov equations[J].J Math Anal Appl,2001,260(2):490-506.

[6]Rottschddotaer V,Wayne C.Existence and stability of traveling fronts in the extended Fisher-Kolmogorov equation[J].J Diff Eqns,2001,176(2):532-560.

[7]Kwapisz J.Uniqueness of the stationary wave for the extended Fisher-Kolmogorov eqaution[J].J Diff Eqns,2000,165:235-253.

[8]Bartuccelli M.On the asymptotic positivity of solutions for the extended Fisher-Kolmogorov eqaution with nonlinear diffusion[J].Math Meth Appl Sci,2002,25:701-708.

[9]羅宏,蒲志林.Extended Fisher-Kolmogorov系統(tǒng)的整體吸引子及其分形維數(shù)估計(jì)[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,27(2):135-138.

[10]Guckenheimer J,Holmes P.Nonlinear Oscillations,Dynamical Systems,and Bifurcations of Vector Fields[M].New York:Springer-Verlag,1997:117-226.

[11]鐘承奎,范先令,陳文塬.非線性泛函分析引論[M].蘭州:蘭州大學(xué)出版社,1998:155-185.

[12]馬天,汪守宏.非線性演化方程的穩(wěn)定性與分歧[M].北京:科學(xué)出版社,2007:125-203.

[13]鐘吉玉.關(guān)于Kuramoto-Sivashinsky方程平衡解的分岔問題[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,43(2):277-280.

[14]周鈺謙,劉倩.一類非線性磁流變阻尼系統(tǒng)的局部分岔[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,45(2):241-244.

[15]李俐玫,魏純輝.基因繁殖的在平衡點(diǎn)(0,0)附近的定態(tài)分歧[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,48(5):995-1000.