位勢(shì)井在3個(gè)非線性源項(xiàng)波動(dòng)方程中的應(yīng)用

李寶平, 帥 鯤, 蒲志林

(1.電子科技大學(xué)成都學(xué)院,四川成都611731; 2.四川師范大學(xué)成都學(xué)院,四川成都611745;3.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,四川成都610066)

1 預(yù)備知識(shí)

為了解決不具有正定能量的雙曲方程整體解的存在性,1968年,D.H.Sattinger[1]首先引進(jìn)位勢(shì)井理論,此方法是一種通過勢(shì)能項(xiàng)控制非線性項(xiàng)使得系統(tǒng)總能量正定的方法.此后,位勢(shì)井方法被用來進(jìn)行各類非線性發(fā)展方程解的適定性分析[2-11],大多結(jié)果中用位勢(shì)井方法研究只含有一個(gè)半線性項(xiàng)f(u)的方程,如文獻(xiàn)[5]中對(duì)于給定常數(shù)γ>2,假設(shè)f(u)滿足

再由假設(shè)|uf(u)|≤λ|F(u)|可得到|uf(u)|=O(|u|γ).文獻(xiàn)[12]研究了f(u)初邊值問題解的爆破,其中,f(u)滿足單調(diào)增加且u>0凸,u<0凹,或f(u)在-∞

2 位勢(shì)井深度的計(jì)算與位勢(shì)井的定義

對(duì)井深的定義,文獻(xiàn)[13]研究了初邊值問題,定義了

可以看出,通過Nehari流定義的位勢(shì)井深度較抽象,研究其性質(zhì)難度較大,并且也不易將其計(jì)算和應(yīng)用于工程;另外,對(duì)于具有復(fù)雜源項(xiàng)的波動(dòng)方程,也希望可以通過位勢(shì)井深度得知這些非線性項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)性態(tài)的影響情況,因此定義

3 解的不變集合

定理3.1設(shè)p,q,r滿足條件(H),

則有:

(i)若u0(x)∈W,則u(t)∈W,0

(ii)若u0(x)∈V,則u(t)∈V,0

證明(i)由于u0(x)∈W,若u(t)?W,則必然存在第一個(gè)使u(t)∈?W的時(shí)刻t0,0

由引理2.2(ii)可知

這與E(0)=E(t)

(ii)由于u0(x)∈V,若u(t)?V,則必然存在第一個(gè)使u(t)∈?V的時(shí)刻t0,0

4 解的整體存在性與有限時(shí)間爆破

定義4.1u(x,t)被稱為問題(1)～(3)在Ω×[0,T)上的弱解,若

5 結(jié)論

通過借助具單個(gè)非線性源項(xiàng)的波動(dòng)方程,本文引入了新的位勢(shì)井理論,進(jìn)一步闡明了具3個(gè)非線性源項(xiàng)的波動(dòng)方程初邊值問題解的整體存在性以及有限時(shí)間爆破.

在理論和工程應(yīng)用上本文的工作都是很有價(jià)值的,通過重新構(gòu)建的變分問題,本文計(jì)算位勢(shì)井深度并定義新的位勢(shì)井,清晰揭示了位勢(shì)井理論的內(nèi)部原理,證明了解的初始值對(duì)整體適定性的影響,即U0∈W與U0∈V所導(dǎo)致的解的整體存在性.這一討論和分析清晰地說明了位勢(shì)井理論處理問題的外部原理,避免了過去復(fù)雜估計(jì)位勢(shì)井深度,便于直接有效地對(duì)問題進(jìn)行分析.

[1]Sattinger D H.On global solution of nonlinear hyperbolie equations[J].Arch Rat Mech Anal,1968,30:148-172.

[2]Tsutsumi M.On solutions of semilinear differential equations in a Hilbert space[J].Math Jpn,1972,17:173-193.

[3]Lions J L.Quelques Methodes de Resolution des Problemes aux Limites non Lineaires[M].Paris:Dunod,1969.

[4]Nakao N,Ono K.Existence of global solutions to the Cauchy problem for the semilinear dissipative wave equations[J].Math Z,1993,214(2):325-342.

[5]Payne L E,Sattinger D H.Sadle points and instability of nonlinear hyperbolic equations[J].Israel J Math,1975,22:273-303.

[6]Liu Y C,Xu R Z.Wave equations and reaction-diffusion equations with several nonlinear source terms of different sign[J].Discrete Cont Dyn Syst,2007,7(1):171-189.

[7]Liu Y C,Zhao J S.On potential wells and applications to semilinear hyperbolic equations and parabolic equations[J].Nonliear Anal,2006,64(12):2665-2687.

[8]Song X F.Blowup and mass concentration phenomena for a system of Schr?dinger equation withcombined power-type nonlinearities[J].J Math Phys,2010,51:503-509.

[9]舒級(jí).一類帶調(diào)和勢(shì)的阻尼非線性Schr?dinger方程的爆破性質(zhì)[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,32(2):143-145.

[10]Kametaka Y,Watanabe K,Nagai A.The best constant of Sobolev inequality in anndimensional Euclidean space[J].Proc Jpn Acad,2005,81(3):57-60.

[11]劉亞成,徐潤(rùn)章.一類非線性色散耗散波動(dòng)方程整體解的存在性[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,28(5):586-589.

[12]Glassay R T.Blow-up theorems for nonlinear wave equations[J].Math Z,1973,32:183-203.

[13]Liu Y C.On potential wells and vacuum isolating of solutions for semilinear wave equations[J].J Diff Eqns,2003,192(1):155-169.