三維Lie-Poisson結(jié)構(gòu)的保結(jié)構(gòu)變換*

祝 玲， 趙曉華

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

動(dòng)力系統(tǒng)理論是非線性數(shù)學(xué)理論的一個(gè)重要分支，而Hamilton系統(tǒng)則是動(dòng)力系統(tǒng)理論和應(yīng)用研究中的一類(lèi)核心研究對(duì)象.實(shí)際上，動(dòng)力系統(tǒng)理論正是法國(guó)數(shù)學(xué)家Poincare在19世紀(jì)末研究描述三體問(wèn)題的Hamilton系統(tǒng)的穩(wěn)定性的過(guò)程中萌發(fā)的.這類(lèi)系統(tǒng)不僅廣泛地存在于天體力學(xué)、等離子物理、航空航天等數(shù)理工程學(xué)科及生命科學(xué)甚至社會(huì)科學(xué)等諸多領(lǐng)域,而且它作為一類(lèi)具有特別數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力系統(tǒng)，其對(duì)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的深入認(rèn)識(shí)和研究所產(chǎn)生的理論和方法對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)理論的形成和完善具有非常重要的價(jià)值.

一般的m維Hamilton系統(tǒng)是定義在Poisson流形(Rm,{5,5})上的常微分方程組[1-2],

(1)

或?qū)憺橄蛄啃问?/p>

▽H(x).

(2)

式(2)中:▽H(x)是H的梯度向量;H(x)為這個(gè)Hamilton系統(tǒng)的Hamilton函數(shù);矩陣J(x)=(Ji j(x))為它的結(jié)構(gòu)矩陣,滿足條件：

1)反對(duì)稱(chēng)性：Ji j(x) =-Jji(x);

稱(chēng)它所定義的括號(hào)運(yùn)算{F,G}為Poisson括號(hào),

?F,G∈C∞(Rm,R).

(3)

顯然,任意一個(gè)反對(duì)稱(chēng)常數(shù)矩陣均是結(jié)構(gòu)矩陣,可以定義一個(gè)Poisson括號(hào).

若Poisson流形(Rm,{5, 5})上的非常數(shù)函數(shù)G∈C∞(M)滿足條件:{F,G}=0,?F∈C∞(M),則稱(chēng)函數(shù)G是這個(gè)Poisson結(jié)構(gòu)的一個(gè)Casimir函數(shù),它顯然是系統(tǒng)(2)的首次積分.

稱(chēng)以這種線性結(jié)構(gòu)矩陣定義的Poisson括號(hào)為L(zhǎng)ie-Poisson括號(hào),這是因?yàn)樗cm階Lie代數(shù)結(jié)構(gòu)有同構(gòu)關(guān)系.

(4)

即

(5)

相應(yīng)地,Hamilton系統(tǒng)(2)被變換為另一個(gè)Hamilton系統(tǒng),

(6)

為了研究Hamilton系統(tǒng)(1)的動(dòng)力學(xué)行為,首先要對(duì)它進(jìn)行化簡(jiǎn).迄今為止,人們常常通過(guò)坐標(biāo)變換化簡(jiǎn)Poisson結(jié)構(gòu)矩陣來(lái)化簡(jiǎn)系統(tǒng).實(shí)際上,有時(shí)在化簡(jiǎn)Poisson結(jié)構(gòu)的過(guò)程中會(huì)使相應(yīng)的Hamilton函數(shù)變得更加復(fù)雜,這樣不僅沒(méi)有達(dá)到簡(jiǎn)化系統(tǒng)的目的,反而會(huì)使系統(tǒng)變得更為復(fù)雜.而保結(jié)構(gòu)變換不會(huì)改變結(jié)構(gòu)矩陣的形式,只會(huì)改變Hamilton系統(tǒng)(1)的Hamilton函數(shù)H的形式.這樣,利用保結(jié)構(gòu)變換化簡(jiǎn)m維Hamilton向量場(chǎng)(1)的問(wèn)題本質(zhì)上就轉(zhuǎn)化為用保結(jié)構(gòu)變換化簡(jiǎn)Hamilton函數(shù)H的問(wèn)題了.本文討論三階Lie-Poisson結(jié)構(gòu)的保結(jié)構(gòu)線性變換,給出了相應(yīng)變換矩陣的具體形式和其元素應(yīng)滿足的條件,為進(jìn)一步討論相應(yīng)的三維Hamilton系統(tǒng)的化簡(jiǎn)提供便利.

1 三維Lie代數(shù)的Bianchi分類(lèi)與Lie-Poisson結(jié)構(gòu)分類(lèi)

所謂Lie代數(shù)就是一個(gè)m維向量空間g,它的元素之間存在一種稱(chēng)作Lie括號(hào)的運(yùn)算[5,5]:g×g→g,滿足下面幾條性質(zhì)(其中,c,c′∈R為常數(shù)):

1)雙線性:[cV+c′V′,W]=c[V,W]+c′[V′,W],[V,cW+c′W′]=c[V,W]+c′[V,W′];

2)反對(duì)稱(chēng)性:[V,W]=-[W,V];

3)Jacobi恒等式:[U,[V,W]]+[W,[U,V]]+[V,[W,U]]=0,U,V,V′,W,W′∈g.

(7)

(8)

TBTT=diag(b(1),b(2),b(3)),Ta=(a1,0,0)T.

(9)

此時(shí)Ba=0→b(1)a1=0.因此,Lie括號(hào)運(yùn)算可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

[e1,e2]=a1e2+b(3)e3,[e2,e3]=b(1)e1,[e3,e1]=b(2)e2-a1e3.

(10)

式(10)僅含3個(gè)獨(dú)立參數(shù),通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q,可以將其中一個(gè)非零參數(shù)化為1.這樣可根據(jù)剩余的參數(shù)將三維Lie代數(shù)分為13類(lèi),這就是著名的Bianchi分類(lèi)[2-3].

Puta等[4]對(duì)Bianchi分類(lèi)中的每一類(lèi)都列出了相應(yīng)的Lie-Poisson結(jié)構(gòu)和Casimir函數(shù)，詳見(jiàn)表1.

表1 三維Lie代數(shù)及Lie-Poisson結(jié)構(gòu)分類(lèi)

續(xù)表1

2 三維Lie-Poisson結(jié)構(gòu)的保結(jié)構(gòu)變換

接下來(lái)討論表1中列出的各類(lèi)三維Lie-Poisson結(jié)構(gòu)矩陣的相應(yīng)的保結(jié)構(gòu)變換的條件.由于Lie-Poisson結(jié)構(gòu)矩陣元素是x的齊次線性函數(shù),因此,考慮保結(jié)構(gòu)變換的最基本類(lèi)型——可逆線性變換

y=Ax,A=(ai j),det(A)≠0,i,j=1,2,3.

(11)

在這種線性變換下,Lie-Poisson結(jié)構(gòu)矩陣J(x)的變換(5)變?yōu)?/p>

(12)

從而根據(jù)定義可知,可逆線性變換(11)保持結(jié)構(gòu)J(x)不變的充要條件是

AJ(A-1y)AT=J(y).

(13)

此時(shí),相應(yīng)的Hamilton系統(tǒng)(6)變換為

(14)

(15)

分別取J(x)為表1中的Lie-Poisson結(jié)構(gòu)矩陣,利用Maple軟件進(jìn)行復(fù)雜的符號(hào)代數(shù)運(yùn)算,就可得到滿足保結(jié)構(gòu)條件(13)的變換矩陣A的具體形式.表2 分別列出了表1中除第Ⅰ類(lèi)平凡情況外的所有類(lèi)型Lie-Poisson結(jié)構(gòu)矩陣對(duì)應(yīng)的保結(jié)構(gòu)變換矩陣的具體表示.

有了表2的保結(jié)構(gòu)矩陣表示,化簡(jiǎn)二次Hamilton系統(tǒng)的問(wèn)題就可轉(zhuǎn)化為選擇合適的保結(jié)構(gòu)矩陣元素,使得相應(yīng)的二次Hamilton函數(shù)最簡(jiǎn)單,自由參數(shù)個(gè)數(shù)最少.

Lanchares等[5]及隨后的Frauendiener[6]曾經(jīng)利用第V類(lèi)Lie-Poisson結(jié)構(gòu)在坐標(biāo)任意旋轉(zhuǎn)變換下的不變性,并利用Casimir函數(shù)性質(zhì),將具有這類(lèi)Lie-Poisson結(jié)構(gòu)的二次Hamilton系統(tǒng)進(jìn)行了簡(jiǎn)化分類(lèi),獲得了二次Hamilton函數(shù)的5個(gè)等價(jià)類(lèi),最多包含4個(gè)自由參數(shù).其他的三維Lie-Poisson結(jié)構(gòu)并不具有任意旋轉(zhuǎn)不變性質(zhì).此時(shí)可以利用表2得出的矩陣化簡(jiǎn)二次Hamilton函數(shù).針對(duì)表1中的第Ⅱ類(lèi)Lie-Poisson結(jié)構(gòu),利用表2 中相應(yīng)的保結(jié)構(gòu)變換矩陣,將二次Hamilton函數(shù)化為5個(gè)等價(jià)類(lèi)，最多包含3個(gè)自由參數(shù).這個(gè)結(jié)果筆者將另文發(fā)表.

表2 保結(jié)構(gòu)線性變換矩陣A

續(xù)表2

參考文獻(xiàn)：

[1]Olver P J.Applications of Lie group to differential equation[M].New York:Springer-Verlag,1986.

[2]李繼彬，趙曉華，劉正榮.廣義哈密頓系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].2版.北京：科學(xué)出版社，2007.

[3]Bianchi L.Lezioni sulla teoria dei gruppi continui finiti di trasformazioni[M].Pisa:Princeton Fine Hall Math-Phys Library SM,1918:550-557.

[4]Puta M,Georgescu C.3-dimensional Poisson manifolds[J].Annals of Univ Timisoara Ser Mat-Inform,1996,34(1):151-159.

[5]Lanchares V,Elipe A.Biparametric quadratic Hamiltonians on the unit sphere:complete classification[J].Mech Res Commun,1994,21(3):209-214.

[6]Frauendiener J.Quadratic Hamiltonians on the unit sphere[J].Mech Res Commun,1995,22(4):313-317.