帶源項(xiàng)和松弛項(xiàng)雙曲守恒律方程差分解的有界性*

董 飛， 耿金波

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 前 言

本文的研究源于帶有松弛項(xiàng)的方程組

(1)

的Cauchy問(wèn)題.方程組(1)中f(u)和A(u)滿足

(2)

通過(guò)對(duì)含有源項(xiàng)和松弛項(xiàng)的雙曲守恒律方程組

(3)

的Cauchy問(wèn)題的研究,得到了方程組(3)的Lax-Friedrich格式差分解的全變差有界性，其主要結(jié)果為：

T.V.(uk)+T.V.(vk)≤T.V.(u0)+T.V.(v0).

1 引 理

對(duì)上半平面t≥0做網(wǎng)格剖分,令h=Δt,l=Δx,則方程組(3)的Lax-Friedrichs格式為

(4)

方程組(4)中,{aj}j∈Z滿足

(5)

(6)

(7)

2)‖uk‖1+‖vk‖1≤‖u0‖1+‖v0‖1.

證明 將方程組(4)改寫(xiě)為如下等價(jià)的形式：

(8)

令

2 定理1的證明

由方程組(8)得到

T.V.(uk+1)+T.V.(vk+1)≤T.V.(uk)+T.V.(vk).

由歸納法即得定理1的結(jié)論.

3 結(jié) 論

本文得到了一類(lèi)含有源項(xiàng)和松弛項(xiàng)的雙曲守恒律方程的逼近解的全變差有界性,為進(jìn)一步研究該類(lèi)方程解的存在性及穩(wěn)定性提供了一定的基礎(chǔ),同時(shí)也對(duì)研究該類(lèi)方程解的性質(zhì)起到了輔助的作用.

參考文獻(xiàn)：

[1]Bressan A.Hyperbolic systems of conservation laws:the one dimensional Cauchy problems[M].Oxford:Oxford University Press,2000.

[2]Dafermos C.Hyperbolic conservation laws in continuum physics[M].2nd ed.Berlin:Springer-Verlag,2005.

[3]Lax P.Hyperbolic systems of conservation laws II [J].Pure Appl Math,1957,10(4):537-566.

[4]Majda A J.One perspective on open problems in multi-dimensional conservation laws[J].IMA Vol Math Appl,1991,29(1):217-238.

[5]Smoller J.Shock waves and reaction-diffusion equations[M].New York:Springer-Verlag,1983.

[6]應(yīng)隆安,滕振寰.雙曲型守恒律方程及其差分方法[M].北京:科學(xué)出版社,1991.

[7]Schroll H J,Tveito A,Winther R.AnL1-error bound for a semi-implicit difference scheme applied to a stiff system of conservation laws[J].SIAM J Numer Anal,1997,34(3):1152-1166.

[8]Tveito A,Winter R.On the rate of convergence to equilibrium for a system of conservation laws with a relaxition term[J].SIAM J Math Anal,1997,28(1):136-161.

[9]Zhang Jing,Zhu Changjiang.BV-estimate of Lax-Friedrichs′ scheme for hyperbolic conservation laws with relaxation[J].Math Mech Appl Sci,2008,31(1):959-974.