三維拓?fù)浣^緣體的磁電耦合效應(yīng)與冷暗物質(zhì)軸子

李成德

(中南民族大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，武漢 430074)

量子物理領(lǐng)域一系列新奇的量子現(xiàn)象和量子物態(tài)的發(fā)現(xiàn)，推動(dòng)了以納米材料為代表的眾多高新科技的應(yīng)用與發(fā)展.隨著電子學(xué)和半導(dǎo)體工業(yè)的飛速發(fā)展，各種電子信息技術(shù)產(chǎn)品已經(jīng)應(yīng)用到生活的各方面.半導(dǎo)體芯片上單位面積晶體管的數(shù)目的快速增加，使得晶體管的微觀尺寸逼近納米范圍，量子尺寸效應(yīng)越來(lái)越明顯，器件熱耗散等問(wèn)題日益突出，傳統(tǒng)的半導(dǎo)體工業(yè)已經(jīng)瀕臨發(fā)展的極限.在應(yīng)用需求的驅(qū)動(dòng)下，自旋電子學(xué)[1-3]應(yīng)運(yùn)而生. 基于自旋特性的電子器件利用電子的自旋自由度而非電子的電荷來(lái)存儲(chǔ)和處理信息，與傳統(tǒng)的電子器件相比，可以有更低的能量損耗和更快的信息處理速度，而且可以與量子信息技術(shù)很自然地對(duì)接.

拓?fù)浣^緣體(TI)[4-6]是隨著自旋電子學(xué)的發(fā)展而新出現(xiàn)的一種全新的量子物態(tài).拓?fù)浣^緣體的由來(lái)與量子霍爾效應(yīng)(QHE)、量子自旋霍爾效應(yīng)(QSHE)等現(xiàn)象緊密相連[8-12].拓?fù)浣^緣體的體態(tài)和普通的絕緣體一樣，費(fèi)米能級(jí)附近存在能隙.但是在自旋軌道耦合作用下，拓?fù)浣^緣體的表面(對(duì)應(yīng)三維拓?fù)浣^緣體)或與普通絕緣體的界面上會(huì)出現(xiàn)無(wú)能隙、且具有線性色散關(guān)系的表面態(tài)或邊界態(tài)(對(duì)應(yīng)二維拓?fù)浣^緣體)，這些電子由無(wú)質(zhì)量的狄拉克(Dirac)方程來(lái)描述，其邊界態(tài)受時(shí)間反演對(duì)稱性保護(hù)，不存在由于雜質(zhì)導(dǎo)致的背散射，由此電阻和能耗很小，可望克服現(xiàn)有微電子產(chǎn)業(yè)所面臨的功耗和發(fā)熱問(wèn)題.理論上，拓?fù)浣^緣體與磁性材料或超導(dǎo)材料的界面處，還可能發(fā)現(xiàn)新的物質(zhì)相和Majorana費(fèi)米子[7]，它們?cè)谧孕娮訉W(xué)和量子計(jì)算中會(huì)有重要應(yīng)用.拓?fù)浣^緣體是凝聚態(tài)物理的研究熱點(diǎn).本文將介紹拓?fù)浣^緣體與量子霍爾效應(yīng)、量子自旋霍爾效應(yīng)等霍爾效應(yīng)“家族”的關(guān)系演化和由來(lái)，并且從軸子(Axion)模型的起源角度，探討了三維拓?fù)浣^緣體的磁電耦合效應(yīng)以及與冷暗物質(zhì)(CDM)粒子—軸子的聯(lián)系和區(qū)別，并且介紹可能的實(shí)驗(yàn)探測(cè)方法.

1 量子霍爾態(tài)與拓?fù)浣^緣體

霍爾效應(yīng)(Hall Effect) “家族”包括傳統(tǒng)的霍爾效應(yīng)、反?；魻栃?yīng)(Anomalous Hall Effect)、自旋霍爾效應(yīng)(Spin Hall Effect)和相應(yīng)的量子化版本：量子霍爾效應(yīng)、量子反常霍爾效應(yīng)(QAHE)、量子自旋霍爾效應(yīng)(QSHE)[8-12].1879年，美國(guó)物理學(xué)家艾德文·霍爾(E.H. Hall)發(fā)現(xiàn)在通有電流的二維導(dǎo)體中，如果施加垂直于電流方向的磁場(chǎng)，會(huì)在垂直于電流和磁場(chǎng)方向的導(dǎo)體兩端產(chǎn)生霍爾電壓[8].第二年，霍爾在研究磁性金屬的霍爾效應(yīng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)即使不加外磁場(chǎng)也可以觀測(cè)到霍爾效應(yīng)，這就是反常霍爾效應(yīng).霍爾效應(yīng)被發(fā)現(xiàn)18年后電子的概念才首次被提出，所以霍爾效應(yīng)的物理機(jī)制在當(dāng)時(shí)并不清楚.現(xiàn)在我們知道，霍爾效應(yīng)是由于磁場(chǎng)中的電子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到洛倫茲力而產(chǎn)生偏移的.理論與實(shí)驗(yàn)研究表明，霍爾電壓與外加磁場(chǎng)強(qiáng)度是線性關(guān)系，該直線的斜率(稱為霍爾系數(shù))的大小和符號(hào)由導(dǎo)體中載流子濃度和載流子類別(電子或空穴)決定.但是在磁性導(dǎo)體中，實(shí)驗(yàn)測(cè)量的霍爾電壓不是隨外加磁場(chǎng)增強(qiáng)而線性增加的，因此被稱為反?；魻栃?yīng).

量子霍爾效應(yīng)是凝聚態(tài)物理發(fā)展歷史上里程碑式的重要量子現(xiàn)象，1980年，德國(guó)物理學(xué)家馮·克利欽(K. V. Klitzing)等人發(fā)現(xiàn)了整數(shù)量子霍耳效應(yīng)(IQHE)[11]，1982年崔琦等人又在更強(qiáng)的磁場(chǎng)下發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)量子霍耳效應(yīng)(FQHE ) ,二者合稱為量子霍耳效應(yīng)(QHE).馮·克利欽等人觀測(cè)到，當(dāng)外加磁場(chǎng)足夠強(qiáng)、溫度足夠低時(shí)，霍爾電導(dǎo)不再隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度線性增加，而是出現(xiàn)了電導(dǎo)平臺(tái)，其數(shù)值是電導(dǎo)量子單位的整數(shù)倍，縱向電導(dǎo)為零.在不考慮電子關(guān)聯(lián)與考慮電子關(guān)聯(lián)的體系中，分別可以觀測(cè)到整數(shù)與分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng). 根據(jù)朗道的對(duì)稱性理論，凝聚態(tài)物質(zhì)中的各種有序態(tài)的出現(xiàn)一般都伴隨著某種對(duì)稱性的破缺，同時(shí)伴隨有局域序參量及其長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)的出現(xiàn).而在量子霍爾效應(yīng)中不存在局域的序參量，對(duì)它的描述需要引入拓?fù)洳蛔兞康母拍? 不同的拓?fù)洳蛔兞棵枋龅南到y(tǒng)具有不同的拓?fù)鋺B(tài).量子霍爾效應(yīng)的拓?fù)洳蛔兞烤褪钦麛?shù)的陳數(shù)C(Chern number)，也稱之為TKNN數(shù)[12]，與霍爾電導(dǎo)緊密相關(guān):

?xun

(1)

這個(gè)整數(shù)在數(shù)學(xué)上稱為第一陳數(shù),與系統(tǒng)占據(jù)態(tài)在布里淵區(qū)中的拓?fù)湫再|(zhì)有關(guān)：

(2)

(3)

F是貝里曲率，A是貝里聯(lián)絡(luò)，M是占據(jù)態(tài)的數(shù)目.整數(shù)量子霍爾系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞烤陀傻谝魂悢?shù)來(lái)表征.拓?fù)鋵W(xué)從此進(jìn)入了凝聚態(tài)物理學(xué)的研究領(lǐng)域.由于量子霍爾效應(yīng)對(duì)應(yīng)的是電荷流，因而可以和現(xiàn)有的電子技術(shù)兼容.邊緣態(tài)可以被看成是理想導(dǎo)線，電阻和能耗極小，可望延展Moore定律的極限[13-15].

量子反?；魻栃?yīng)(QAHE)可以看成是不需要外加磁場(chǎng)的量子霍爾效應(yīng).它對(duì)應(yīng)于磁性的二維絕緣體，雖然沒(méi)有外磁場(chǎng)從而沒(méi)有朗道能級(jí)，但其固有的能帶結(jié)構(gòu)就攜帶有非平庸的拓?fù)涮匦?，從而?dǎo)致非零陳數(shù)的出現(xiàn).實(shí)驗(yàn)中如何實(shí)現(xiàn)量子反?；魻栃?yīng)，曾經(jīng)很長(zhǎng)時(shí)間是凝聚態(tài)領(lǐng)域一個(gè)極具挑戰(zhàn)性和重要物理意義的難題，它需要實(shí)驗(yàn)材料同時(shí)滿足4個(gè)條件:(1)二維體系;(2)有自發(fā)鐵磁序;(3)體態(tài)是絕緣態(tài);(4)占據(jù)態(tài)的能帶具有不為零的拓?fù)潢悢?shù). 這是非?？量毯推D難的.國(guó)際上有多個(gè)研究團(tuán)隊(duì)一直都在努力實(shí)現(xiàn)量子反?；魻栃?yīng)，直到2013年，薛其坤的實(shí)驗(yàn)組和方忠、戴希的理論組合作，終于在磁性原子摻雜的拓?fù)浣^緣體系中首次觀察到量子反常霍爾效應(yīng)(QAHE)[15,16].

量子自旋霍爾效應(yīng)(QSHE)是最早認(rèn)識(shí)的二維的保持時(shí)間反演對(duì)稱性的拓?fù)浣^緣態(tài)，也叫二維的拓?fù)浣^緣體.量子自旋霍爾態(tài)(QSHE)可以看成是兩套量子反?；魻枒B(tài)的疊加，而且這兩套量子反?；魻枒B(tài)互為時(shí)間反演. 2006年，張首晟研究組獨(dú)立地提出了一種實(shí)現(xiàn)QSHE的一般理論，并預(yù)言了HgTe/CdTe超晶格結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)QSHE.2007年，德國(guó)的Molenkamp研究組通過(guò)實(shí)驗(yàn)證實(shí)[17]. 量子自旋霍爾效應(yīng)的邊界態(tài)受時(shí)間反演不變性質(zhì)的保護(hù)，自旋在輸運(yùn)過(guò)程中不受非磁性雜質(zhì)和缺陷的影響，是理想的自旋輸運(yùn)導(dǎo)線.

總體來(lái)說(shuō)，量子霍爾態(tài)與拓?fù)浣^緣體的關(guān)系及相應(yīng)的拓?fù)浞诸悶椋?1)量子霍爾態(tài)是破壞時(shí)間反演的拓?fù)浣^緣態(tài)，拓?fù)洳蛔兞繛榈谝魂悢?shù).普通絕緣態(tài)是第一陳數(shù)為零的拓?fù)淦接箲B(tài)；(2)而對(duì)于保持時(shí)間反演不變的二維絕緣體，對(duì)應(yīng)的拓?fù)洳蛔兞渴荶2數(shù)，它分成兩類:一類是普通絕緣體，對(duì)應(yīng)Z2=0；另一類是拓?fù)浣^緣體，對(duì)應(yīng)Z2=1；(3)推廣到保持時(shí)間反演不變的三維系統(tǒng)時(shí)，需要用4個(gè)Z2拓?fù)鋽?shù)(1個(gè)強(qiáng)拓?fù)鋽?shù)，3個(gè)弱拓?fù)鋽?shù))來(lái)描述系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì).三維時(shí)間反演不變的絕緣體由此可以分為平庸的普通絕緣體、弱拓?fù)浣^緣體和強(qiáng)拓?fù)浣^緣體.其中三維強(qiáng)拓?fù)浣^緣體(如Bi2Se3系列材料)由于在所有方向的表面上都有狄拉克色散形式的表面態(tài)[18]而引起了廣泛的關(guān)注.

2 三維拓?fù)浣^緣體磁電效應(yīng)與軸子場(chǎng)

上面提到，三維強(qiáng)拓?fù)浣^緣體由于有狄拉克色散形式的表面態(tài)，它的邊界可以用無(wú)質(zhì)量的狄拉克粒子來(lái)描述，所以表面態(tài)對(duì)電磁場(chǎng)的有效響應(yīng)的作用量可以表示如下[17]：

(4)

其配分函數(shù)是:

(5)

所以有效作用量為：

Seff=-ln det[(?τ+eA0)+?vF(ky+eAy)σx-

hvF(ks+eAx)σy-Bzσz]，

(6)

其中A是電磁場(chǎng)的矢勢(shì).

三維拓?fù)浣^緣體的表面對(duì)電磁場(chǎng)的有效響應(yīng)對(duì)應(yīng)的作用量為：

(7)

α=e2/?c≈1/137是精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)，上面就是拓?fù)鋱?chǎng)論對(duì)三維拓?fù)浣^緣體電磁響應(yīng)的描述，其有效的相互作用量對(duì)應(yīng)著三維拓?fù)浣^緣體的磁電效應(yīng)(Magneto-Electric Effect)，即電場(chǎng)可以誘導(dǎo)出磁極化，而磁場(chǎng)也能誘導(dǎo)出電極化.形式上這與QCD的總拉氏量密度中θ真空對(duì)應(yīng)的對(duì)稱性破缺項(xiàng)很相似:

(8)

因而在場(chǎng)論中與軸子在電磁場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)有關(guān)，Xiao-Liang Qi 和 Shou-Cheng Zhang等由此給出了凝聚態(tài)物理中非高能物理版的軸子[19,20]:

(9)

對(duì)應(yīng)于軸子場(chǎng)，待下面給出高能物理版的軸子由來(lái)后再作比較和討論.

當(dāng)三維拓?fù)浣^緣體中存在反鐵磁相(如Bi2Se3材料中摻入Fe)時(shí)，存在幅度和自旋波的激發(fā)，會(huì)引起軸子場(chǎng)的漲落δθ.此時(shí)，考慮軸子場(chǎng)與電磁場(chǎng)的耦合，系統(tǒng)的有效作用量是[19]：

Seff=SMaxwell+Sα-γ-topo+Smassive-axion=

(10)

其中J,v,m分別是自旋波激發(fā)的剛度，速度和質(zhì)量，E,B分別是外電場(chǎng)和磁場(chǎng)，ε是介質(zhì)的介電常數(shù)，μ是磁導(dǎo)率.第二項(xiàng)描述了有質(zhì)量軸子的動(dòng)力學(xué).第三項(xiàng)則是軸子與電磁場(chǎng)藕合的拓?fù)漤?xiàng)，其中α是精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù).可以通過(guò)這個(gè)有效作用量得到如下軸子在電磁場(chǎng)中間的線性運(yùn)動(dòng)方程：

(11)

其中c′為光在介電常數(shù)為ε的介質(zhì)材料中光速. 這里光與反鐵磁的軸子模式形成了一種新的極化激元一軸子極化激元.其色散關(guān)系可以通過(guò)有效作用量(10)得到, 這就是Rundong Li和 Shou-Cheng Zhang等提出利用拓?fù)浣^緣體的磁電效應(yīng)，用軸子極化激元與衰減全反射實(shí)驗(yàn)測(cè)動(dòng)力學(xué)軸子的理論依據(jù)[19].

3 QCD真空的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與暗物質(zhì)軸子模型

量子場(chǎng)論(QFT)是描述微觀高速物質(zhì)世界物理規(guī)律的基本理論. 1954年楊振寧和R.L.密爾斯提出非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)理論[21-26](也叫Yang-Mills理論)是量子場(chǎng)論的一個(gè)重要進(jìn)展，其核心思想是物理基本規(guī)律的定域?qū)ΨQ性(Local Symmetry).粒子物理的最小標(biāo)準(zhǔn)模型就是建立在規(guī)范群SU(3)c×SU(2)L×U(l)Y之上的一個(gè)可重整化的Yang-Mill s理論，它可以分為三部分:(1)由費(fèi)米子描述的物質(zhì)場(chǎng); (2)由規(guī)范玻色子描述和傳遞的規(guī)范相互作用;(3)為費(fèi)米子和規(guī)范玻色子提供質(zhì)量的對(duì)稱性破缺部分.其中描述物質(zhì)場(chǎng)的費(fèi)米子由三代的夸克和輕子組成.標(biāo)準(zhǔn)模型中，強(qiáng)相互作用和電弱相互作用都用非阿貝爾規(guī)范論描述，量子色動(dòng)力學(xué)(QCD) 就是用來(lái)描述強(qiáng)相互作用的.QCD的場(chǎng)方程有非微擾的拓?fù)涔伦莹D“瞬子(instanton)”解，其基態(tài)(即真空)是多重簡(jiǎn)并的.但因拓?fù)湫再|(zhì)不同, 這些簡(jiǎn)并的真空可以用不同的拓?fù)淞孔訑?shù)―繞數(shù)(winding nuber )來(lái)標(biāo)記，與量子霍爾態(tài)引入拓?fù)淞孔訑?shù)的情況非常相似.拓?fù)淞孔訑?shù)―繞數(shù)表示為[21-26]：

(12)

這些簡(jiǎn)并真空的非平庸拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與量子力學(xué)中的周期位勢(shì)類似，不同的真空之間由勢(shì)壘隔開(kāi)，拓?fù)洳煌恼婵諔B(tài)間的隧穿過(guò)程就形成瞬子，或者說(shuō)瞬子解造成了真空態(tài)之間的隧穿透，類似于量子隧穿效應(yīng)(tunnel effect)[26]. 強(qiáng)相互作用的瞬子即隧穿QCD真空的拓?fù)涔伦?

圖1 瞬子導(dǎo)致拓?fù)湫再|(zhì)不同的真空態(tài)之間的隧穿Fig.1 |n> vacua change by gauge transformations

瞬子解導(dǎo)致拓?fù)湫再|(zhì)不同的真空態(tài)之間的隧穿表示為：

U1|n=|n+1.

(13)

物理的真空必須是規(guī)范不變的，由此重新定義QCD的θ真空：

|θ.

(14)

可以證明θ真空是規(guī)范不變的：

Uk|θ=

(15)

QCD的總Lagrangian密度表達(dá)式為[21]：

(16)

歷史上學(xué)者們提出了許多理論模型和解釋方案，其中 R. D. Peccei 和H. R. Quinn[21-25]理論上引入贗標(biāo)量場(chǎng)—軸子場(chǎng)的方案被認(rèn)為是最優(yōu)美(elegant)的解決方案，他們比粒子物理的最小標(biāo)準(zhǔn)模型(SM)多引入了一個(gè)Higgs二重態(tài)：

(17)

Higgs場(chǎng)的勢(shì)為：

(18)

從而理論中有了包含Higgs場(chǎng)位相變換的新的U(1)規(guī)范對(duì)稱性U(1)PQ，在U(1)PQ對(duì)稱性下，

(19)

事實(shí)上這就是U(1)PQ對(duì)稱性與原來(lái)SM中間的U(1)規(guī)范對(duì)稱性的不同之處.Higgs場(chǎng)在如下U(1)PQ變換下不變：

U(1)PQ:Φ1→eiaΓ1Φ1,Φ2→einΓ2Φ2.

(20)

在U(1)PQ對(duì)稱性變換下,其他夸克場(chǎng)和軸子場(chǎng)的變換為：

(21)

通過(guò)U(1)PQ對(duì)稱性的自發(fā)破缺的Higgs機(jī)制，把Higgs場(chǎng)按幺正規(guī)范表示為：

(22)

ρi,vi是實(shí)場(chǎng)，Higgs場(chǎng)的基態(tài)-真空期望值不為零:

(23)

意味著U(1)PQ對(duì)稱性的自發(fā)破缺.根據(jù)關(guān)于對(duì)稱性和守恒定律的Noether定理，應(yīng)該有一個(gè)贗Goldstone粒子，而且由于有瞬子效應(yīng)而得到質(zhì)量.贗標(biāo)量軸子場(chǎng)就放在Higgs場(chǎng)的相角中，它由Higgs場(chǎng)相位的線性組合得到:

a(x)≡cosθP1(x)+sinθP2(x).

(24)

另一個(gè)Higgs場(chǎng)相位的線性組合

(25)

被吸收到標(biāo)準(zhǔn)模型原有的z0玻色子中.

在軸子模型中，軸子U(1)PQ對(duì)稱性的自發(fā)破缺的能標(biāo)f0是一個(gè)很重要的概念，它也叫做軸子的衰變常數(shù). 當(dāng)fa?few，即U(1)PQ對(duì)稱早在電弱相互作用破缺之前就已經(jīng)破缺了.此時(shí)軸子如果存在，其質(zhì)量很小，與物質(zhì)(包括電磁場(chǎng))的耦合非常弱，很難在實(shí)驗(yàn)中探測(cè)到，所以被形象地統(tǒng)稱為“invisible axion”(“看”不見(jiàn)的軸子). 其中討論最多主要有兩種：(1)KSVZ 軸子模型(Kim- Shifman-Vainshtein-Zakharov axion model) ,也叫強(qiáng)子軸子模型(hadronic axion model )，這種軸子不直接與通常的夸克、輕子等相互作用；(2)DFSZ軸子模型(Dine-Fischler- Srednicki-Zhitnitski axion model) ,也叫大統(tǒng)一軸子模型(grand unified theories (GUT) model)，這種軸子可以直接與通常的夸克、輕子等耦合，其中fa≥1012GeV對(duì)應(yīng)的軸子被認(rèn)為是冷暗物質(zhì)很好的候選者[21-25].

4 兩類軸子探測(cè)方法

探測(cè)軸子的實(shí)驗(yàn)很多，如美國(guó)佛羅里達(dá)大學(xué)(University of Florida)的Pierre Sikivie教授在1983年提出來(lái)的微波腔軸子實(shí)驗(yàn)探測(cè)方法；歐洲核子中心的CERN的太陽(yáng)軸子望遠(yuǎn)鏡(CAST, CERN Axion Solar Telescope)和日本東京大學(xué)的太陽(yáng)軸子望遠(yuǎn)鏡(Tokyo Axion Helioscope Telescope)方法等等.從物理過(guò)程來(lái)看，主要是探測(cè)軸子與光子的耦合過(guò)程[27,28].如R. Cameron等讓激光通過(guò)強(qiáng)磁場(chǎng)測(cè)軸子實(shí)驗(yàn)，根據(jù)Primakoff效應(yīng),線偏振光通過(guò)強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí),其垂直于磁場(chǎng)的分量(相當(dāng)于圖2中的虛光子)會(huì)與磁場(chǎng)相互作用產(chǎn)生軸子,此過(guò)程軸子與光子的耦合的費(fèi)曼圖如圖2.

圖2 激光通過(guò)強(qiáng)磁場(chǎng)產(chǎn)生軸子的費(fèi)曼圖Fig.2 Feynman diagram of axion which produced by Laser travel through strong magentic field

按照量子電動(dòng)力學(xué)(QED), 激光束提供的大量光子(實(shí)光子γ,如圖2)與強(qiáng)磁場(chǎng)(相當(dāng)于提供虛光子γ*,如圖2)相互作用產(chǎn)生軸子a,其相互作用的Lagrangian密度為[22,28]:

(26)

對(duì)于拓?fù)浣^緣體，Rundong Li和Jing Wang, Shou-Cheng Zhang等提議的用磁性拓?fù)浣^緣體(TMI)的磁電效應(yīng)，通過(guò)軸子極化激元與衰減全反射實(shí)驗(yàn)測(cè)動(dòng)力學(xué)軸子[19]的方法詳細(xì)見(jiàn)參考文獻(xiàn)[19].

5 討論與結(jié)論

從上面我們可以看到：

(1)QCD軸子模型起源于強(qiáng)CP問(wèn)題， 而強(qiáng)CP問(wèn)題源于QCD的總Lagrangian密度的(16)式CP破缺項(xiàng)，這一項(xiàng)是由QCD的真空拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)導(dǎo)致的. 在軸子探測(cè)實(shí)驗(yàn)中，軸子與電磁場(chǎng)相互作用的Lagrangian密度為(26)式:

另一方面，由Lagrangian密度與作用量的關(guān)系：

(27)

可以得到(10)式三維拓?fù)浣^緣體的磁電響應(yīng)有效作用量的拓?fù)漤?xiàng)如下：

Seff=SMaxwell+Smasstive-axtion+Sa-γ-topo=

其中對(duì)應(yīng)拓?fù)漤?xiàng)為:

(28)

所以有：

(29)

式(29)中的g′相當(dāng)于耦合系數(shù)，由(28)式的積分結(jié)果決定.(29)式對(duì)應(yīng)于軸子場(chǎng).(26)式與(29)式θ表明三維拓?fù)浣^緣體在電磁場(chǎng)中的響應(yīng)與軸子在電磁場(chǎng)的耦合相同的根源在于QCD的真空結(jié)構(gòu)與拓?fù)浣^緣體的電子能帶結(jié)構(gòu)有相似的拓?fù)涮匦裕?/p>

(2)θ項(xiàng)的具體含義是不同的，(16)式中的θ是QCD真空的標(biāo)志，不直接代表軸子；而(29)式直接代表軸子場(chǎng)，并且對(duì)應(yīng)于拓?fù)浣^緣體的分類，即θ=0為普通絕緣體，即θ=π對(duì)應(yīng)拓?fù)浣^緣體[19]；

(3)軸子模型起源于強(qiáng)CP問(wèn)題，也為解決強(qiáng)CP問(wèn)題, 這是在構(gòu)造軸子模型的出發(fā)點(diǎn)和目的，所以從物理起源上看二者是不同的.(29)式代表三維拓?fù)浣^緣體在電磁場(chǎng)中的響應(yīng)，實(shí)質(zhì)是它的電子在外場(chǎng)下的動(dòng)力學(xué)行為，由其特殊的能帶結(jié)構(gòu)所決定；它與(26)式軸子在電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)行為相似，所以這里提到的動(dòng)力學(xué)軸子場(chǎng)也是拓?fù)浣^緣體在外電磁場(chǎng)中耦合響應(yīng)的結(jié)果；

(4)由于invisible axions與周圍物質(zhì)環(huán)境的耦合非常弱，因此如果軸子暗物質(zhì)存在，則它可以輕松透過(guò)大多數(shù)物質(zhì)，非常穩(wěn)定地存在于宇宙空間中.所以三維拓?fù)浣^緣體體內(nèi)和界面都可以有軸子參與電磁場(chǎng)的耦合，加之二者有相似的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，因而利用拓?fù)浣^緣體在實(shí)驗(yàn)中探測(cè)冷暗物質(zhì)軸子是可能的.但對(duì)于提議的用磁性拓?fù)浣^緣體(TMI)測(cè)暗物質(zhì)軸子的實(shí)驗(yàn)，其探測(cè)的冷暗物質(zhì)軸子應(yīng)該是外來(lái)的，而非TMI產(chǎn)生的.這樣才與探測(cè)宇宙中可能存在的冷暗物質(zhì)軸子的議題相洽.

參 考 文 獻(xiàn)

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