二值命題邏輯中邏輯理論的計(jì)量化及應(yīng)用

李 駿，王菊花

蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院，蘭州 730050

二值命題邏輯中邏輯理論的計(jì)量化及應(yīng)用

李 駿，王菊花

蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院，蘭州 730050

1 引言

數(shù)理邏輯的特點(diǎn)在于形式化與符號(hào)化，它和計(jì)算數(shù)學(xué)有著截然不同的風(fēng)格：前者注重形式推理而后者重視數(shù)值計(jì)算；前者強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格論證而后者允許近似求解。邏輯推理方法在諸如定理的自動(dòng)證明、知識(shí)推理、邏輯程序設(shè)計(jì)等多個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-2]，數(shù)值計(jì)算則似乎是遠(yuǎn)離形式推理的完全不同的方法。為填補(bǔ)這一鴻溝，王國(guó)俊教授等將程度化思想引入到數(shù)理邏輯之中建立起了計(jì)量邏輯學(xué)的基本理論[3-6]，如今已在包括Lukasiewicz和R0系統(tǒng)在內(nèi)的各種命題邏輯系統(tǒng)中構(gòu)造出了相應(yīng)的邏輯度量空間，從而將近似推理引入到素以嚴(yán)格的形式化推理為特征的各種命題邏輯系統(tǒng)中（可參看文獻(xiàn)[7-12]）。

在計(jì)量邏輯學(xué)中，除了對(duì)單個(gè)公式進(jìn)行計(jì)量化研究之外，學(xué)者們對(duì)理論自身的性質(zhì)也十分關(guān)注，比如：文獻(xiàn)[13-16]研究了理論的相容性和發(fā)散性等性質(zhì)，并借助理論的發(fā)散度提出了理論的相容度概念，以此來(lái)區(qū)分不同理論相容程度的大小，進(jìn)而達(dá)到區(qū)分不同理論好壞程度的目的。另外，在命題邏輯中經(jīng)常要研究從某個(gè)命題之集Γ（即，理論）到另一個(gè)命題A的推演，即，從前提信息之集Γ推出某個(gè)結(jié)論A來(lái)。但是在現(xiàn)實(shí)推理中，可能所獲取的信息不足以將A作為理論Γ的邏輯結(jié)論推出來(lái)，這時(shí)就需考察理論Γ在多大程度上能推出結(jié)論 A來(lái)，即研究從理論Γ出發(fā)的近似推理，這也就涉及理論Γ本身的好壞問(wèn)題，如果能夠給出一個(gè)評(píng)判理論Γ本身可靠程度的直接方法（或指標(biāo)），這將為展開(kāi)從前提信息集Γ出發(fā)的近似推理提供直接的依據(jù)。文獻(xiàn)[17]首次在命題邏輯系統(tǒng)中引入了理論Γ的真度概念來(lái)刻畫(huà)理論的可靠程度，但那里是把理論Γ的全體邏輯結(jié)論真度的下確界值作為理論Γ的真度，這種方法首先損失了理論Γ的結(jié)論中真度值較大的那些結(jié)論提供的信息；其次，這種方法借助了理論Γ本身以外的東西（即Γ的結(jié)論）來(lái)定義理論Γ的真度是不盡合理的，因?yàn)楫?dāng)理論Γ本身不可靠時(shí)，它的邏輯結(jié)論就更加不可靠；第三，當(dāng)理論Γ退化為只含一個(gè)公式（比如：B）時(shí)，在多值邏輯中，按文獻(xiàn)[17]中的方法計(jì)算出的理論Γ的真度并不等于公式B的真度。因此，給出一個(gè)能克服以上缺陷的評(píng)判理論可靠程度的新方法，是有價(jià)值的研究課題。

本文在二值命題邏輯系統(tǒng)L中，首先借助勢(shì)為2的均勻概率測(cè)度空間的無(wú)窮乘積，通過(guò)計(jì)算理論Γ的全體模型占整個(gè)賦值空間的測(cè)度來(lái)定義理論Γ的真度，該定義是文獻(xiàn)[3]中公式真度定義的自然推廣，即：當(dāng)理論Γ退化為只含一個(gè)公式（比如：B）時(shí)，理論Γ的真度就等于公式B的真度。其次，利用理論的真度定義了理論與理論之間的相似度和偽距離，并給出理論的真度在近似推理及其在描述理論的發(fā)散度、相容度等方面的應(yīng)用。值得指出的是：當(dāng)理論退化為單個(gè)公式時(shí)，本文關(guān)于理論所建立的計(jì)量化結(jié)果正是文獻(xiàn)[3]中相應(yīng)的結(jié)果。

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)S={p1，p2，…}，F(xiàn)(S)是由S生成的(﹁，→)型自由代數(shù)。S中的元叫原子命題，F(xiàn)(S)中的元稱為公式（或命題）。在L={0,1}中規(guī)定：﹁0=1，﹁1=0，a→b=0當(dāng)且僅當(dāng)a=1且b=0，則{0，1}成為一個(gè)(﹁，→)型代數(shù)。稱(﹁，→)型同態(tài)v∶F(S)→{0，1}為F(S)的一個(gè)賦值。以Ω記F(S)上全體賦值之集。

定義1[5]設(shè) A∈F(S)，若?v∈Ω，v(A)=1，則稱 A為重言式，記為：╞A；若?v∈Ω，v(A)=0，則稱 A為矛盾式；若?v∈Ω，都有v(A)=v(B)，則稱 A與B邏輯等價(jià)，記作：A≈B。

定義2[5]若Γ?F(S)，則稱Γ為理論。設(shè) A∈F(S)，則從理論Γ到 A的一個(gè)推演是一個(gè)有限的公式序列A1，A2，…，Am，其中，Am=A，且?i≤m，Ai是公理或者Ai∈?；蛘叽嬖?j，k＜i，使得 Ai是由 Aj和 Ak運(yùn)用MP規(guī)則而得到的結(jié)果，稱A為Γ-結(jié)論，記作：Γ├A，m叫作從Γ到A的推演長(zhǎng)度，進(jìn)一步，若Γ=Φ（空集），則稱A為定理，簡(jiǎn)記為：├A。

下文以0-記任一矛盾式，以D(Γ)來(lái)記全體Γ-結(jié)論之集，以T記全體理論之集，即

D(Γ)={A|A∈F(S)，且Γ├A}，T={Γ|Γ?F(S)}

設(shè) ?！蔜，若 0-∈D(Γ)，則稱 Γ是不相容的理論。另外，若Γ只含一個(gè)公式A，即Γ={A}，則將Γ簡(jiǎn)記為：Γ=A。

定義3設(shè)?！蔜，v∶F(S)→{0，1}是賦值，若?Ai∈Γ，都有v(Ai)=1，則稱v是Γ的模型，記為v|=?；騰(Γ)=1；若v不是Γ的模型，則簡(jiǎn)記為v(Γ)=0；如果對(duì)每個(gè)v∈Ω，均有v|=Γ，則稱Γ是完全相容的，簡(jiǎn)記為|=Γ；若每個(gè)v∈Ω，都有v(Γ)=0，則稱Γ是完全不相容的。

定義4設(shè)Γ1，Γ2∈T，如果對(duì)每個(gè)v∈Ω，均有v(Γ1)= v(Γ2)，則稱Γ1與Γ2邏輯等價(jià)，記作：Γ1≈Γ2。

注1顯然，當(dāng)Γ1與Γ2都退化為只含單個(gè)公式時(shí)，理論之間的邏輯等價(jià)概念正是公式之間邏輯等價(jià)的概念。

定理1設(shè)?！蔜，則Γ是完全相容的當(dāng)且僅當(dāng)Γ全由定理組成。

證明 設(shè)Γ是完全相容的，則?v∈Ω，?A∈Γ，都有v(A)=1，從而?A∈Γ，A都是重言式，由完備性定理知?A∈Γ，A都是定理；反過(guò)來(lái)，若?A∈Γ，A都是定理，則A都是重言式，從而?v∈Ω都有v(A)=1成立，即?v∈Ω，均有v|=Γ，因此Γ是完全相容的。

3 理論的真度

定義7[3]設(shè)v∈Ω，記v(pk)=vk(k=1，2，…)，則無(wú)窮維向量v={v1，v2，…}∈X，這里X由定義6確定。反之，設(shè)v={v1，v2，…}∈X，則由v唯一確定Ω中的一個(gè)賦值v，這里v(pk)=vk(k=1，2，…)。令φ(v)=v，則φ∶Ω→X是從Ω到X的一一的滿射，稱φ為Ω的測(cè)度化映射。

定義8設(shè)Γ∈T，令

稱τ(Γ)為理論Γ的真度。

（2）由于在實(shí)際推理中，推理的前提信息之集（即理論Γ）通常都是有限集，Γ中的公式用到的原子公式自然只有有限多個(gè)。因此下文中若無(wú)聲明，都假定構(gòu)成理論Γ的公式中只用到有限多個(gè)原子公式。

（3）定義8中，若Γ={B}，B∈F(S)，則有

式（4）右邊正是文獻(xiàn)[3]中公式B真度的定義式，即τ({B})= τ(B)?？梢?jiàn)本文所給出的理論的真度定義是公式真度定義的自然推廣。

下面的引理是文獻(xiàn)[5]中已給出的本文即將用到的幾個(gè)結(jié)果：

引理1[1]設(shè)A、B∈F(S)，則

（1）A是重言式當(dāng)且僅當(dāng)τ(A)=1，A是矛盾式當(dāng)且僅當(dāng)τ(A)=0。

（2）若A≈B，則τ(A)=τ(B)。

（3）若├A→B，則τ(A)≤τ(B)。

（4）τ(﹁A)=1-τ(A)。

（5）τ(B)≥τ(A)+τ(A→B)-1。

定理2設(shè) ?！蔜，若 Γ={A1，A2，…，An}是有限理論，則τ(Γ)=τ(A1∧A2∧…∧An)；若Γ={A1，A2，…，Ak，…}是無(wú)窮理論，則τ(Γ)=τ(A1∧A2∧…∧An)。

證明 設(shè)Γ={A1，A2，…，An}是有限理論，則由定義8和注解2知：

定理3設(shè)?！蔜，則

（1）τ(Γ)=1當(dāng)且僅當(dāng)Γ為完全相容理論。

（2）τ(Γ)=0當(dāng)且僅當(dāng)Γ為完全不相容的理論。

證明（1）若Γ是完全相容理論，則由定理1知Γ全由定理組成，從而?v∈Ω，?Ai∈Γ，都有v(Ai)=1，因此?v∈Ω，都有v|=Γ，故{v∈X|φ(v)=v，v∈Ω，且v|=Γ}=X，從而

反過(guò)來(lái)，若τ(Γ)=1，假設(shè)Γ不是完全相容的理論，則有 v∈Ω 使 v|=Γ不成立，設(shè) pi1，pi2，…，pin是構(gòu)成 Γ所用到的全體原子公式，令v(pik)=vik(k=1，2，…，n)。則(vi1，vi2，…，vin)?E，這里 E由注2給出。因?yàn)?μi1({vi1})× μi2({vi2})×…×μin({vin})=，所以(μi1×μi2×…×μin)(E)≤1-。從而由定義5和定義8知μ([Γ])≠1，從而τ(Γ)≠1，矛盾！因此，Γ為完全相容理論。

（2）設(shè) Γ為完全不相容的理論，則 ?v∈Ω，都有v|=Γ不成立，從而[Γ]=?（空集），故τ(Γ)=μ(?)=0。

反過(guò)來(lái)，假設(shè)Γ不是完全不相容理論，則有v∈Ω使v|=Γ成立。設(shè) pi1，pi2，…，pin是構(gòu)成Γ所用到的全體原子公式，令v(pik)=vik(k=1，2，…，n)。則(vi1，vi2，…，vin)∈E，這里 E由式（3）確定。因?yàn)?μi1({vi1})×μi2({vi2})×…× μin({vin})=所以 (μi1×μi2×…×μin)(E)≥。從而由式（1）及式（3）知μ([Γ])≠0，故τ(Γ)≠0，矛盾！因此，Γ為完全不相容理論。

定理4設(shè)Γ1，Γ2∈T，若Γ1≈Γ2，則τ(Γ1)=τ(Γ2)。

證明 因?yàn)棣?≈Γ2，所以?v∈Ω，有v(Γ1)=v(Γ2)，即?v∈Ω，v|=Γ1當(dāng)且僅當(dāng) v|=Γ2，所以 [Γ1]=[Γ2]，從而τ(Γ1)=τ(Γ2)。

4 理論真度的應(yīng)用

本章將給出理論的真度在描述理論的發(fā)散度和相容度等方面的一些應(yīng)用，先給出文獻(xiàn)[5]中已有的一些結(jié)果。

首先，若A∈D(Γ)，則可取B為任意一個(gè)定理（當(dāng)然有 B∈D(Γ)），此時(shí)由 (A→B)∧(B→A)≈A，從而τ((A→B)∧(B→A))=τ(A)知

其次，?A，B∈D(Γ)，由A→(B→A)和B→(A→B)是公理可知A→B∈D(Γ)，且B→A∈D(Γ)，從而(A→B)∧(B→A)∈D(Γ)，故

由式（11）和式（12）知式（10）成立，從而式（9）成立。

定理6設(shè)Γ∈T，則div(Γ)=1-τ(Γ)。

證明 若Γ={A1,A2,…,An}是有限理論，則?A∈D(Γ)，由├(A1∧A2∧…∧An→A)，從而由 τ(A1∧A2∧…∧An)≤τ(A)知

從而由定理3和定理5可知div(Γ)=1-τ(Γ)。若Γ= {A1，A2，…，Ak，…}是無(wú)窮理論，則對(duì)任意的自然數(shù)n，A1∧A2∧…∧An∈D(Γ)，令

則數(shù)列{yn}單調(diào)遞減且有下界0，從而數(shù)列{yn}極限τ(A1∧A2∧…∧An)存在，因此

注3文獻(xiàn)[5]中關(guān)于一般的理論給出了刻畫(huà)其相容程度的η-相容度，將本文定理6中發(fā)散度的簡(jiǎn)化公式代入η-相容度的表達(dá)式中就可得到簡(jiǎn)化的η-相容度計(jì)算公式。

定理8設(shè)?！蔜，若τ(Γ)=α，則?B∈Γ，都有τ(B)≥α。

證明 若Γ={A1,A2,…,An}是有限理論，則由定理3知τ(Γ)=τ(A1∧A2∧…∧An)，又?Ai∈Γ，由├A1∧A2∧…∧An→Ai和引理1（3）可知τ(Ai)≥τ(Γ)=α，結(jié)論成立。

若 Γ={A1，A2，…，Ak，…}是無(wú)窮理論，由定理1知τ(Γ)=τ(A1∧A2∧…∧An)。 又 ?An∈Γ ，由├A1∧A2∧…∧An→An知 τ(A1∧A2∧…∧An)≤τ(An)，令 yn= τ(A1∧A2∧…∧An)，由數(shù)列 {yn}單調(diào)遞減且 τ(Γ)=τ(A1∧A2∧…∧An)知τ(An)≥τ(Γ)=α，從而結(jié)論對(duì)無(wú)窮理論也成立。

定理9設(shè)?！蔜 ，α＞0，τ(Γ)=α，A是Γ的長(zhǎng)度為n的結(jié)論，則

這里，un是斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)，即

且有u1=u2=1，un+un+1=un+2，n=1，2，…。

證明 采用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。

當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)锳為公理或A∈Γ所以由引理1（1）和定理7知τ(A)≥α，又式（13）右端un(α-1)+1=α-1+ 1=α，因此式（13）成立。設(shè)n≤k時(shí)式（13）成立，A是Γ的長(zhǎng)度為k+1的推論，推演序列為A1，A2，…，Ak，A。不妨設(shè) A?Γ，A也不是公理，則有i≤k，j≤k，使得 A是由Ai和Aj通過(guò)運(yùn)用MP規(guī)則而得的結(jié)果，由歸納假設(shè)得：

不妨設(shè)i＜j，則 j≤k，i≤k-1，注意到(α-1)≤0，從而由引理1（5）可得：即式（13）當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，定理得證。

注4由定理9知，若推理的前提信息之集Γ的真度為α，則其推理長(zhǎng)度為n的邏輯結(jié)論的真度不小于un(α-1)+1，比如：若τ(Γ)=1，則對(duì)任意的n，Γ的推演長(zhǎng)度為n的邏輯結(jié)論的真度均為1；若τ(Γ)≥0.99，則Γ的推演長(zhǎng)度為6的邏輯結(jié)論的真度均不小于0.92。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在二值命題邏輯系統(tǒng)中，借助勢(shì)為2的均勻概率測(cè)度空間的無(wú)窮乘積，通過(guò)計(jì)算理論Γ的全體模型占整個(gè)賦值空間的測(cè)度定義了理論Γ的真度，并給出理論的真度在描述理論的發(fā)散度、相容度等方面的應(yīng)用，值得指出的是：當(dāng)理論退化為單個(gè)公式時(shí)，本文關(guān)于理論所建立的計(jì)量化結(jié)果正是文獻(xiàn)[3]中相應(yīng)的結(jié)果。關(guān)于如何將本文結(jié)果推廣到多值以至于連續(xù)值命題邏輯系統(tǒng)，將另文討論。

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LI Jun,WANG Juhua

School of Science,Lanzhou University of Technology,Lanzhou 730050,China

By means of infinite product of uniformly distributed probability spaces of cardinal 2,this paper introduces the concept of truth degree of a logical theoryΓby computing the measure of all models ofΓin the valuation spaces.Simplified methods to compute the divergent degree and the consistent degree of a logical theory are given and the expression to estimate the truth degree of logical conclusions from the truth degree of its premise set is obtained.

quantitative logic;logical theory;truth degree of logical theory;consistency degree

在二值命題邏輯系統(tǒng)中，利用勢(shì)為2的均勻概率測(cè)度空間的無(wú)窮乘積，通過(guò)計(jì)算理論Γ的全體模型占整個(gè)賦值空間的測(cè)度定義了理論Γ的真度，進(jìn)而利用理論的真度簡(jiǎn)化了理論的發(fā)散度和相容度的計(jì)算公式，給出了由推理的前提集的真度估計(jì)其邏輯結(jié)論真度的表達(dá)式。

計(jì)量邏輯學(xué)；邏輯理論；理論的真度；相容度

A

O141.1

10.3778/j.issn.1002-8331.1301-0205

LI Jun,WANG Juhua.Quantification of logic theory in two-valued propositional logic and its applications.Computer Engineering and Applications,2014,50（24）：42-46.

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.11261032）；蘭州理工大學(xué)博士基金資助項(xiàng)目。

李駿（1972—），男，博士，副教授，碩士研究生導(dǎo)師，研究領(lǐng)域：非經(jīng)典數(shù)理邏輯、不確定性推理；王菊花（1987—），女，碩士研究生，研究領(lǐng)域：不確定性推理。

2013-01-21

2013-04-22

1002-8331（2014）24-0042-05

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2013-05-21，http∶//www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130521.1027.004.html