Matlab在《高等數(shù)學(xué)》中的應(yīng)用*

吳 磊

(包頭師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014030)

1 引言

目前，高等數(shù)學(xué)已成為我校一門(mén)十分重要的基礎(chǔ)課程。隨著越來(lái)越多的學(xué)生選擇考研，高等數(shù)學(xué)尤為重要。然而，我們可以通過(guò)引入數(shù)學(xué)軟件Matlab簡(jiǎn)化并解決那些較為復(fù)雜的問(wèn)題，更便于學(xué)生理解。

Matlab是由美國(guó)Mathworks公司發(fā)布的一種數(shù)學(xué)軟件。目前，國(guó)內(nèi)的各大學(xué)陸續(xù)將Matlab軟件正式列入研究生和本科的教學(xué)計(jì)劃。Matlab軟件與數(shù)學(xué)的結(jié)合簡(jiǎn)化許多數(shù)學(xué)計(jì)算。

我們先來(lái)介紹一下Matlab的優(yōu)點(diǎn)：

(1)Matlab的工作界面簡(jiǎn)單，編程環(huán)境提供了比較完備的調(diào)試系統(tǒng)，并且程序不必經(jīng)過(guò)編譯可以直接運(yùn)行，能夠及時(shí)報(bào)告錯(cuò)誤并進(jìn)行錯(cuò)誤原因分析。

(2)Matlab具有強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算和數(shù)據(jù)處理能力。Matlab是一個(gè)包含大量計(jì)算算法的集合，擁有600多個(gè)工程中要用到的數(shù)學(xué)運(yùn)算函數(shù)，這些函數(shù)包括從最簡(jiǎn)單基本的函數(shù)到多維數(shù)組的計(jì)算。

(3)Matlab具有出色的圖形處理能力。Matlab具有方便的數(shù)據(jù)可視化功能。能將二維和三維的可視化，圖像處理，可用于科學(xué)計(jì)算和工程繪圖。

2 Matlab在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

2.1 Matlab在極限中的應(yīng)用

極限是高等數(shù)學(xué)中最重要、最基本的概念，極限方法是研究變量的一種基本方法。極限思想是“在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)數(shù)?！鼻髽O限的方法多種多樣，如：重要極限，洛必達(dá)法則等。但對(duì)于某些比較復(fù)雜的求極限，利用Matlab軟件更為簡(jiǎn)單。

在Matlab的命令窗口輸入：

>> syms x

>> y=((sin(x)-sin(sin(x)))*sin(x))/(x^4);

>> f=limit(y,x,0)

f =1/6

在Matlab的命令窗口輸入：

>> syms x y

>> z=log(x+exp(y))/(x+y);

>> f1=limit(z,x,1);

>> f2=limit(f1,y,0)

f2 =log(2)

得到的結(jié)果為：極限值等于ln2

2.2 Matlab在積分中的應(yīng)用

積分主要處理變量“無(wú)限連續(xù)求和”問(wèn)題。在教學(xué)過(guò)程中我們主要介紹一元函數(shù)的積分，包括一元函數(shù)積分的定義及求解一元函數(shù)積分的方法，但在實(shí)際生活中，二元和三元函數(shù)的積分應(yīng)用更為廣泛。

在Matlab的命令窗口輸入：

>> syms x y

>> f=x+2*y;

>> v1=int(f,x,y^2-4,5);

>> v2=int(v1,y,-3,3)

v2 =252/5

我們先來(lái)觀察直線(xiàn)y=x，y=4x，x=1所圍成的區(qū)域，在Matlab的命令窗口輸入：

>>x=0:0.1:4; %x從0到4步長(zhǎng)0.1

>> y1=x; %變量表達(dá)式

>> y2=4*x;

>> plot(x,y1,'b-',x,y2,'M',x,1,'r-');

%在同一圖中分別做y=x，y=4x，和x=1直線(xiàn)

>> axis([0 4 0 4]); %設(shè)置坐標(biāo)

>> title('y=x,y=4x,x=1所圍成區(qū)域') %加圖形標(biāo)題

求直線(xiàn)的交點(diǎn)，在Matlab的命令窗口輸入：

>> syms x y

>> y1=('y=x');

>> y2=('y=4*x');

>> [x,y]=solve(y1,y2,x,y) %求y=x和y=4x的交點(diǎn)，輸出積分限

x =0

y =0

求二重積分值，在Matlab的命令窗口輸入：

>> syms x y

>> f=exp(x+y);

>> y1=x;

>> y2=4*x;

>> fy=int(f,y,y1,y2);

>> fx=int(fy,x,0,1)

fx =1/5*exp(5)-1/2*exp(2)+3/10

>> syms x y z

>> f1=('z=0.5*(x^2+y^2)');

>> f2=('z=2');

>> [x,y,z]=solve(f1,f2,x,y,z)

x =(4.-1.*y^2)^(1/2)

-1.*(4.-1.*y^2)^(1/2)

y =y

y

z =2.

求積分，在Matlab的命令窗口輸入：

>> syms x y z

>> f=x^2+y^2;

>> z1=0;

>> z2=0.5*(x^2+y^2);

>> x1=-(4-y^2)^(1/2);

>> x2=(4-y^2)^(1/2);

>> fz=int(f,z,z1,z2);

>> fx=int(fz,x,x1,x2);

>> fy=int(fx,y,0,2)

fy =16/3*pi

2.3 Matlab在微分方程中的應(yīng)用

在實(shí)際問(wèn)題中，方程中不只含變量和未知函數(shù)，還包括導(dǎo)數(shù)，我們把這樣的方程稱(chēng)為微分方程。常見(jiàn)的求解微分方程有可分離變量法，齊次方程，伯努利方程等。方法比較多，針對(duì)不同題型應(yīng)用不同的方法。我們通過(guò)Matlab求微分方程更簡(jiǎn)單，得到更精確的解。

在Matlab的命令窗口輸入：

>> dsolve('Dy+y=(y^2)*(cos(x)-sin(x))','x')

ans =-1/(sin(x)-exp(x)*C1)

例7:求解微分方程2y″+5y′=5x2-2x-1的通解

在Matlab的命令窗口輸入：

>> dsolve('2*D2y+5*Dy=5*x^2-2*x-1','x')

ans =1/3*x^3-3/5*x^2-2/5*exp(-5/2*x)*C1+7/25*x+C2

得到的結(jié)果為：

例8:求初值問(wèn)題

的解。

在Matlab的命令窗口輸入：

>> dsolve('D2y-3*Dy-4*y=0','y(0)=0','Dy(0)=-5','x')

ans =exp(-x)-exp(4*x)

得到的結(jié)果為：y=e-x+e4x

3 結(jié)束語(yǔ)

在一些較難理解、計(jì)算的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，我們通過(guò)引入Matlab軟件，使學(xué)生更容易理解，更能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，也使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固。盡管Matlab在計(jì)算方面有許多優(yōu)點(diǎn)，但高等數(shù)學(xué)還是應(yīng)該以課本知識(shí)為主，Matlab只是輔助工具，Matlab只是為了幫助學(xué)生理解一些比較抽象的知識(shí)。

〔參考文獻(xiàn)〕

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