隨機環(huán)境中可遷移兩性分枝過程的極限性質(zhì)

宋明珠，胡守鵬

(銅陵學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，安徽 銅陵 241000)

隨機環(huán)境中可遷移兩性分枝過程的極限性質(zhì)

宋明珠，胡守鵬

(銅陵學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，安徽 銅陵 241000)

在獨立同分布的隨機環(huán)境下，建立了隨機環(huán)境中可遷移的兩性分枝過程{Zn}n≥0，且遷移人口數(shù)依賴當前人口數(shù).證得{Zn}n≥0和{(Fn，Mn)}n≥0是隨機環(huán)境中的馬氏鏈，并得到了第n代每個配對單元平均增長率{rk}k>0的極限性質(zhì)，從而推廣了經(jīng)典兩性分枝過程的相關(guān)理論.

隨機環(huán)境；兩性分枝過程；遷移依賴人口數(shù)；馬氏鏈；極限性質(zhì)

1 預(yù)備知識

為了更精確地描述某種生物的人口模型，D.J.Daley在1968年首次引入了兩性分枝過程的模型，得到眾多概率論學(xué)者的廣泛關(guān)注和深入地研究[1-8].由于自然界生物在繁衍的過程受到自然環(huán)境、社會環(huán)境等諸多因素的影響，作為兩性分枝過程和隨機環(huán)境中分枝過程的自然推廣，馬世霞引入了隨機環(huán)境中的兩性分枝過程，得到了一系列有價值的結(jié)果[6-7].實際上生物為了生存，有些個體需要離開原來的群體，同樣也有新的個體加入到這個群體中來，即生物人口的遷移.現(xiàn)在大多數(shù)模型只考慮各類環(huán)境對配對數(shù)目的影響，而忽視人口遷移對配對數(shù)目的影響.本文從環(huán)境和人口遷移兩方面出發(fā)，建立了隨機環(huán)境中可遷移的兩性分枝過程，且遷移人口數(shù)依賴當前人口數(shù)，推導(dǎo)出這類兩性分枝過程是隨機環(huán)境中的馬氏鏈，以及第n代每個配對單元平均增長率的極限性質(zhì)，進而推廣了經(jīng)典兩性分枝過程的相關(guān)理論.

定義1.1 若{Zn}n≥0滿足：

(1)Z0=N∈N+；

定義1.2 如果對任意的x，n∈N+，有

記

2 馬氏性

定理2.1 {Zn}n≥0是隨機環(huán)境中的馬氏鏈，其一步轉(zhuǎn)移概率為

由定義1.2知{Zn}n≥0是隨機環(huán)境中的馬氏鏈.

定理2.2 {(Fn，Mn)}n≥1中隨機環(huán)境中的馬氏雙鏈，其一步轉(zhuǎn)移概率為

由定義1.2知{(Fn，Mn)}n≥1是隨機環(huán)境中的馬氏鏈.

3 極限性質(zhì)

第一步 因為{(fξn，i，mξn，i)}i=1，2，…獨立同分布，由強大數(shù)定理得

因為配對函數(shù)L(·，·)是上可加性的且非負的，所以

第三步 證明r(·，·)是二元連續(xù)函數(shù).

由r(Efξn，1，Emξn，1)的定義和L(x，y)對每個分量單調(diào)不減，對任意的ε

同理可得

r(Efξn，1-ε，Emξn，1-ε)≥(1-δ)r(Efξn，1，Emξn，1).

從而令ε↓0，則δ↓0，所以

(1)

又因為

(2)

由(1)和(2)式可得

所以r(·，·)是二元連續(xù)函數(shù).

由第一步可知

所以?ε，?k0，?k>k0有

又因為配對函數(shù)L(·，·)是上可加的，所以有

令k→∞，得

再令ε→0，由r(·，·)是二元連續(xù)函數(shù)，得

因為L(x，y)≤x+y，所以

由強大數(shù)定理可知

所以當k充分大時，

由控制定理可知，期望和取極限可交換次序，即

(3)

(4)

由(3)式和(4)式知

即定理3.1得證.

注 由定理3.1的證明過程可知，只要遷移的配對數(shù)有限，則隨機環(huán)境中可遷移兩性分枝過程的第n代每個配對單元平均增長率的極限值，與隨機環(huán)境中兩性分枝過程第n代每個配對單元平均增長率的極限值相等，從而推廣了經(jīng)典隨機環(huán)境中兩性分枝過程的相關(guān)結(jié)論.

又因為EL(fξ0，1，mξ0，1)>0，故存在正整數(shù)i，j，使pi，j(ξ0)>0.不失一般性，設(shè)

k1=L(k0(i，j))+k0，k2=L(k1(i，j))+k0，…，kn+1=L(kn(i，j))+k0，…

[1] DALEY D J.Extinction conditions for certain bisexual Galtion-Waston processes[J].Z Wahr，1968，9(2)：315-322.

[2] SMITH W L，WILKINSON W E.On branching processes in random environments[J].Ann Math Statist，1969，40(3)：814-827.

[3] MOLINA M，MOTA M，RAMOS A.Bisexual Galton-Waston lranching processes with population-size-depengent mation[J].J Appl Prob，2002，39：479-490.

[4] MOLINA M，MOTA M，RAMOS A.Bisexual Galton-Waston branching processes in varying envirnments[J].Stoch Anal Appl，2003，21：1353-1367.

[5] 邢艷春.一階馬氏下潛變量模型的多元縱向數(shù)據(jù)分析[J].東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，45(3)：46-50.

[6] SHI-XIA MA.Bisexual Galton-Waston branching processes in random environments[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica：English Series，2006，22(3)：419-428.

[7] 馬世霞.隨機環(huán)境中兩性Galton-Waston分枝過程[J].河北工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2008，37(1)：68-72.

[8] 沈燕，王學(xué)軍，胡舒合.NOD隨機陣列加權(quán)和的完全收斂性[J].東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，44(4)：1-5.

(責任編輯：陶 理)

The limit properties of the bisexual branching process with population-size-dependent migration in random environments

SONG Ming-zhu，HU Shou-peng

(College of Mathematics and Computer Science，Tongling University，Tongling 241000，China)

In this paper，we consider a bisexual branching process with population-size-dependent migration in independent and identically distributed random environments.It is proved the bisexual branching process is Markov chains in random environments and the double chains about the number of females and males in the nth generation is double Markov chains in random environments，too.The limit properties of the mean growth rate per mating unit is studied.Some limit properties known about classical bisexual branching process in random environments are enlarged.

random environments；bisexual branching process；population-size-dependent migration；Markov chains；limit properties

1000-1832(2014)04-0009-06

10.11672/dbsdzk2014-04-002

2013-06-08

安徽省自然科學(xué)基金資助項目(1308085MA03)；安徽高校省級自然科學(xué)研究項目(kj2013z331).

宋明珠(1979—)，女，碩士，主要從事隨機環(huán)境中的馬氏鏈研究.

O 211.65 [學(xué)科代碼] 110·64

A