均勻帶電圓環(huán)片的空間靜電場(chǎng)分布

賈秀敏

（河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北 石家莊 050018）

文獻(xiàn)［1，2］采用電勢(shì)疊加原理，文獻(xiàn)［3］采用延拓法和方程法等，對(duì)均勻帶電圓盤或圓環(huán)的電勢(shì)進(jìn)行了分析，但計(jì)算過(guò)程都很復(fù)雜.本文在柱坐標(biāo)系中利用的柱函數(shù)展開式及貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)，很方便地得到了均勻帶電圓環(huán)片在空間產(chǎn)生的電勢(shì)及場(chǎng)強(qiáng).

1 電勢(shì)分布

研究的問題是：內(nèi)外半徑分別是a和b的圓環(huán)片，均勻帶電且電荷面密度為σ，計(jì)算空間任意一點(diǎn)的靜電場(chǎng).建立如圖1所示柱坐標(biāo)系 （ρ，φ，z），在環(huán) 片 上 P′（ρ′，φ′，z′）處 取 電 荷 元 dq′ ＝σdS′＝σρ′dρ′dφ′，此電荷元在空間任意點(diǎn)P（ρ，φ，z）處產(chǎn)生的電勢(shì)元為

圖1 均勻帶電圓環(huán)片

其中，r、r′分別為P點(diǎn)和P′點(diǎn)的位置矢量，R＝r－r′.

在柱坐標(biāo)系中，源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離 r－r′的倒數(shù)的柱函數(shù)展開式［4］為

由于圓環(huán)片在xOy面上，即z′＝0；由電荷分布的對(duì)稱性可知，電勢(shì)與方位角φ無(wú)關(guān)，可令φ＝0，將式（1）疊加得到整個(gè)圓環(huán)片在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的電勢(shì)為

由三角函數(shù)的正交性知

應(yīng)用公 式［5］［xJ1（x）］′＝xJ0（x），則 圓 環(huán) 片 在P（ρ，φ，z）處產(chǎn)生的電勢(shì)為

2 場(chǎng)強(qiáng)分布

3 討論

（1）a＝0時(shí)，由式（3）得帶電圓盤在空間產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)

當(dāng)ρ→0時(shí)，J1（kρ）＝0；J0（kρ）＝1，應(yīng)用公式［5］，由式（4）得帶電圓盤軸線上的場(chǎng)強(qiáng)為

與文獻(xiàn)［6］結(jié)果相同.

（2）b→∞時(shí)，則所研究場(chǎng)點(diǎn)可視為在軸線附近，J0（kρ）、J1（kρ）可以取小宗量漸近表達(dá)式［7］，并利用公式［5］

由式（3）可得挖去半徑為a的圓孔后的無(wú)限大帶電薄板在空間產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)

可見，當(dāng)所研究的問題具有軸對(duì)稱性時(shí)，利用柱函數(shù)展開式能更方便地分析其形成的空間靜電場(chǎng)，其求法對(duì)柱體、螺線管等形成的電磁場(chǎng)同樣適用.

［1］ 歷愛皊，姜黎霞.均勻帶電圓盤電位的空間分布［J］.山東農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，34（04）：559－561.

［2］ 侯昭武.均勻帶電寬圓環(huán)空間靜電勢(shì)［J］.廣西右江民族師專學(xué)報(bào)，2004，17（06）：25－28.

［3］ 吳崇試.均勻帶電圓盤的靜電勢(shì)問題［J］.大學(xué)物理，2000，19（11）：1－4.

［4］ 杰克遜JD.經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)（上）［M］.朱培豫，譯.北京：人民教育出版社，1978：131，146.

［5］ 劉式適，劉式達(dá).特殊函數(shù)［M］.北京：氣象出版社，2002：406，410，408.

［6］ 馬文蔚.物理學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2006：160.

［7］ 《數(shù)學(xué)手冊(cè)》編寫組.數(shù)學(xué)手冊(cè)［M］.北京：人民教育出版社，1979：630.