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      交換環(huán)上低階反對(duì)稱(chēng)矩陣?yán)畲鷶?shù)的李三導(dǎo)子

      2014-07-27 02:16:14彭曉霞陳海仙
      關(guān)鍵詞:導(dǎo)子李三環(huán)上

      彭曉霞,陳海仙,王 穎

      (大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116024)

      交換環(huán)上低階反對(duì)稱(chēng)矩陣?yán)畲鷶?shù)的李三導(dǎo)子

      彭曉霞,陳海仙,王 穎

      (大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116024)

      設(shè)R是含1的交換環(huán),用Un(R)(n∈N+)表示R上的n階反對(duì)稱(chēng)矩陣?yán)畲鷶?shù).研究了U4(R)及U5(R)上的李三導(dǎo)子,并證明了它們的李三導(dǎo)子都是內(nèi)導(dǎo)子.同時(shí)也說(shuō)明了U4(R)及U5(R)都是完備李代數(shù).

      反對(duì)稱(chēng)矩陣;李三導(dǎo)子;內(nèi)導(dǎo)子;交換環(huán);完備李代數(shù)

      1 預(yù)備知識(shí)

      近些年來(lái),許多學(xué)者都研究過(guò)一般線性李代數(shù)及其子代數(shù)的導(dǎo)子,并且取得了一些重要成果.[1-8]如:文獻(xiàn)[1]刻畫(huà)了交換環(huán)上嚴(yán)格上三角矩陣?yán)畲鷶?shù)的導(dǎo)子;文獻(xiàn)[2]刻畫(huà)了三角矩陣上的李導(dǎo)子;文獻(xiàn)[3]刻畫(huà)了一般線性李代數(shù)的拋物子代數(shù)的導(dǎo)子;文獻(xiàn)[4]刻畫(huà)了可交換環(huán)上嚴(yán)格上三角矩陣?yán)畲鷶?shù)的李三導(dǎo)子;文獻(xiàn)[5]刻畫(huà)了交換環(huán)上嚴(yán)格上三角矩陣的廣義李三導(dǎo)子;文獻(xiàn)[6]刻畫(huà)了廣義李三導(dǎo)子的一些性質(zhì).關(guān)于反對(duì)稱(chēng)矩陣?yán)畲鷶?shù)的李三導(dǎo)子,目前還沒(méi)有什么結(jié)果.本文旨在描述交換環(huán)上低階反對(duì)稱(chēng)矩陣?yán)畲鷶?shù)的李三導(dǎo)子.在定理的證明中我們使用了大量的矩陣技巧來(lái)得到一些有用的等式.

      設(shè)R是含1的交換環(huán),Un(R)(n∈N+)是R上的n階反對(duì)稱(chēng)矩陣構(gòu)成的集合.定義[A,B]=AB-BA,?A,B∈Un(R),則Un(R)關(guān)于[,]運(yùn)算構(gòu)成李代數(shù),稱(chēng)其為R上的n階反對(duì)稱(chēng)矩陣?yán)畲鷶?shù).

      定義1[4]設(shè)ρ:Un(R)→Un(R)是一個(gè)線性變換,若對(duì)任意的A,B∈Un(R),都有ρ[A,B]=[ρ(A),B]+[A,ρ(B)],則稱(chēng)ρ為Un(R)上的一個(gè)導(dǎo)子.

      定義2[4]若一個(gè)線性變換φ:Un(R)→Un(R)滿足

      φ([[a,b],c])=[[φ(a),b],c]+[[a,φ(b)],c]+[[a,b],φ(c)],?a,b,c∈Un(R),

      則稱(chēng)φ為Un(R)上的一個(gè)李三導(dǎo)子.

      定義3[8]設(shè)Z∈Un(R),如果對(duì)任意的A∈Un(R),都有[Z,A]=0,則稱(chēng)Z為Un(R)的中心元素.Un(R)的所有中心元素的集合稱(chēng)為Un(R)的中心.

      注1 導(dǎo)子一定是李三導(dǎo)子,但反之不一定成立.

      關(guān)于交換環(huán)上低階反對(duì)稱(chēng)矩陣?yán)畲鷶?shù)的李三導(dǎo)子,本文給出了以下結(jié)果:

      設(shè)φ和φ分別是U4(R),U5(R)上的李三導(dǎo)子,則φ和φ都是內(nèi)導(dǎo)子.

      2 定理的證明

      證明 由[[A12,A13],A12]=A13,可知

      [[φ(A12),A13],A12]+[[A12,φ(A13)],A12]+[-A23,φ(A12)]=φ(A13),

      又[[A1j,A12],A1j]=A12,j=3,4.于是有

      [[φ(A1j,A12],A1j]+[[A1j,φ(A12)],A1j]+[A2j,φ(A1j)]=φ(A12),

      由于[[A12,A13],A14]=0,因此

      [[φ(A12),A13],A14]+[[A12,φ(A13)],A14]+[-A23,φ(A14)]=0,

      由[[A12,A23],A13]=0及[[A23,A12],A23]=A12,可得

      因?yàn)閇[A13,A23],A14]=A24,所以

      根據(jù)[[A23,A12],A14]=A34,可知

      故結(jié)論得證.

      其中:i=2,3;j=4,5;3≤l≤5.

      證明 由[[A12,A1l],A12]=A1l,3≤l≤5,可知

      [[φ(A12),A1l],A12]+[[A12,φ(A1l)],A12]+[-A2l,φ(A12)]=φ(A1l),

      因此

      因?yàn)?/p>

      [[A1l,A12],A1l]=A12,3≤l≤5,

      所以

      [[φ(A1l),A12],A1l]+[[A1l,φ(A12)],A1l]+[A2l,φ(A1l)]=φ(A12).

      于是有

      由[[A12,A13],A1j]=0,4≤j≤5及[[A12,A14],A15]=0,可得

      因此

      由[[A12,A23],A23]=-A12可知,

      根據(jù)[[A12,A13],A23]=0,我們有

      因?yàn)?/p>

      [[A13,A1j],A23]=A2j,4≤j≤5,

      由上述證明的結(jié)論有

      又[[A1j,A12],A23]=A3j,4≤j≤5,因此

      由[[A12,A14],A25]=A45,可得

      綜上所述,所證結(jié)論成立.

      由上述引理,我們易得下面的定理.

      定理1 設(shè)φ和φ分別是Un(R),n=4,5上的李三導(dǎo)子,則φ和φ都是內(nèi)導(dǎo)子.

      證明 不妨設(shè)

      當(dāng)n=4時(shí),令

      則由引理1,(φ-adx)(Aij)=0,因此φ=adx.

      當(dāng)n=5時(shí),令

      則(φ-ady)(Aij)=0.因此φ=ady,故所證命題成立.

      易知,U4(R),U5(R)的中心為{0},所以我們有下面的推論.

      推論1U4(R),U5(R)都是完備李代數(shù).

      [1] OU SHIKUN,WANG DENGYIN,YAO UIPING.Derivations of the Lie algebra of strictly upper triangular matrices over a commutative ring[J].Linear Algebra Appl,2007,424:378-383.

      [2] DOMINIK.Lie derivations on triangular matrices[J].Linear and Multilinear Algebra,2007,55(6):619-626.

      [3] WANG DENGYIN,YU QIU.Derivaions of parabolic subalgebras of the general linear Lie algebra over a commutative ring[J].Linear Algebra Appl,2006,418:763-774.

      [4] HENG'TAI WANG,QING'GUO LI.Lie triple derivation of the Lie algebra of strictly upper triangular matrix over a commutative ring[J].Linear Algebra Appl,2009,430:66-77.

      [5] LI HAI-LING,WANG YING.Generalized Lie triple derivations of strictly upper triangular matrices over a commutative ring[J].J of Math,2012,32(2):254-262.

      [6] LI HAI'LING,WANG YING.Generalized Lie triple derivations[J].Linear and Multilinear Algebra Appl,2011,59(3):237-247.

      [7] 李小朝,陳瑩.一類(lèi)矩陣?yán)畲鷶?shù)的結(jié)構(gòu)[J].東北師大學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,44(2):14-17.

      [8] JAMES E HUMPHREYS.Introduction to Lie algebras and representation theory[M].New York:Springer,1997:6-7.

      Abstract:LetRbe a commutative ring with identity 1.Denote byUn(R)(n∈N+) the Lie algebra consisting of alln×nantisymmetric matrices overR.This article describes the Lie triple derivations ofU4(R) andU5(R),and proves that their Lie triple derivations are inner derivations.As application,we prove thatU4(R) andU5(R) are perfect Lie algebra.

      Keywords:antisymmetric matrices;Lie triple derivation;inner derivation;commutative ring;perfect Lie algebra

      (責(zé)任編輯:陶 理)

      Lie triple derivations of the Lie algebra of antisymmetric matrices of low dimensions over a commutative ring

      PENG Xiao-xia,CHEN Hai-xian,WANG Ying

      (School of Mathematical Sciences,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

      1000-1832(2014)03-0016-04

      10.11672/dbsdzk2014-03-004

      2013-05-06

      國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(J1103110).

      彭曉霞(1990—),女,碩士研究生;通訊作者:王穎(1967—),女,博士,副教授,主要從事李代數(shù)研究.

      O 152.5 [學(xué)科代碼] 110·21

      A

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