淺談“初中三角函數(shù)概念”的教學(xué)設(shè)計

文/賈躍華

在初中，函數(shù)的概念是指：在某個變化過程中，有兩個變量x、y，如果對x取的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，其中x為自變量。但很多學(xué)生學(xué)完三角函數(shù)后，只知道在直角三角形中，某一銳角A的正弦sinA=■，余弦cosA=■，正切tanA=■，但如果問學(xué)生為什么稱為三角函數(shù)，其自變量是哪個，因變量是哪個，可能說不清楚，因此，教學(xué)中有必要從函數(shù)的角度，從以下幾方面加以引導(dǎo)，去認(rèn)識三角函數(shù)的本質(zhì)。

一、從實際生活出發(fā)，初步感受“角與比值”的關(guān)系

活動1：右圖中哪個坡

更陡？它跟什么有關(guān)？

結(jié)論：跟傾斜角的大小

有關(guān)。

活動2：下列哪組坡更陡？它跟什么有關(guān)？

結(jié)論：跟比值■與■的大小有關(guān)。

初步感受：（1）比值越大，傾斜角就越大，坡就越陡。

（2）隱約感受到比值與角存在某種關(guān)系。

二、探究1：當(dāng)角一定時，比值有無變化

問題1：如何確定右圖的傾斜程度？

生1：可通過測量BC與AC的長度，再算出它們的比，來說明臺階的傾斜程度。

生2：可通過測量B1C1與AC1的長度，再算出它們的比，來說明臺階的傾斜程度。

問：你同意她們的看法嗎？為什么？

（可以通過三角形相似，證明它們是等的）

（推廣）

問題2：一般地，如果銳角A的大小確定，我們可以作出無數(shù)個以A為一個頂點的直角三角形（如圖），那么圖中：

■=■=■=···成立嗎？為什么？

結(jié)論：如果一個直角三角形的一個銳角的大小確定，那么這個銳角的對邊與這個角的鄰邊的比值也確定。

（說明：比值與直角三角形的大小無關(guān)）

三、探究2：當(dāng)角變化時，比值有無變化

問題：如右下圖，當(dāng)角由∠CAB變?yōu)椤螩AD時，比值有變化嗎？

結(jié)論：比值隨角變大而變大，比值隨角變小而變小。

四、歸納發(fā)現(xiàn)

（1）比值隨角的變化而變化；

（2）當(dāng)角確定時，比值也隨之確定。

問1：這點像什么？

（函數(shù)）

問2：哪個是自變量？哪個是因變量？

（角是自變量，比值是因變量）

五、引出：正切函數(shù)概念

在直角三角形中，我們將∠A的對邊與它的鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA

即tanA=■=■

其中，∠A是自變量，比值是因變量，是∠A的函數(shù)。

類似：可得出正弦、余弦的概念。

編輯 馬燕萍

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在初中，函數(shù)的概念是指：在某個變化過程中，有兩個變量x、y，如果對x取的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，其中x為自變量。但很多學(xué)生學(xué)完三角函數(shù)后，只知道在直角三角形中，某一銳角A的正弦sinA=■，余弦cosA=■，正切tanA=■，但如果問學(xué)生為什么稱為三角函數(shù)，其自變量是哪個，因變量是哪個，可能說不清楚，因此，教學(xué)中有必要從函數(shù)的角度，從以下幾方面加以引導(dǎo)，去認(rèn)識三角函數(shù)的本質(zhì)。

一、從實際生活出發(fā)，初步感受“角與比值”的關(guān)系

活動1：右圖中哪個坡

更陡？它跟什么有關(guān)？

結(jié)論：跟傾斜角的大小

有關(guān)。

活動2：下列哪組坡更陡？它跟什么有關(guān)？

結(jié)論：跟比值■與■的大小有關(guān)。

初步感受：（1）比值越大，傾斜角就越大，坡就越陡。

（2）隱約感受到比值與角存在某種關(guān)系。

二、探究1：當(dāng)角一定時，比值有無變化

問題1：如何確定右圖的傾斜程度？

生1：可通過測量BC與AC的長度，再算出它們的比，來說明臺階的傾斜程度。

生2：可通過測量B1C1與AC1的長度，再算出它們的比，來說明臺階的傾斜程度。

問：你同意她們的看法嗎？為什么？

（可以通過三角形相似，證明它們是等的）

（推廣）

問題2：一般地，如果銳角A的大小確定，我們可以作出無數(shù)個以A為一個頂點的直角三角形（如圖），那么圖中：

■=■=■=···成立嗎？為什么？

結(jié)論：如果一個直角三角形的一個銳角的大小確定，那么這個銳角的對邊與這個角的鄰邊的比值也確定。

（說明：比值與直角三角形的大小無關(guān)）

三、探究2：當(dāng)角變化時，比值有無變化

問題：如右下圖，當(dāng)角由∠CAB變?yōu)椤螩AD時，比值有變化嗎？

結(jié)論：比值隨角變大而變大，比值隨角變小而變小。

四、歸納發(fā)現(xiàn)

（1）比值隨角的變化而變化；

（2）當(dāng)角確定時，比值也隨之確定。

問1：這點像什么？

（函數(shù)）

問2：哪個是自變量？哪個是因變量？

（角是自變量，比值是因變量）

五、引出：正切函數(shù)概念

在直角三角形中，我們將∠A的對邊與它的鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA

即tanA=■=■

其中，∠A是自變量，比值是因變量，是∠A的函數(shù)。

類似：可得出正弦、余弦的概念。

編輯 馬燕萍

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在初中，函數(shù)的概念是指：在某個變化過程中，有兩個變量x、y，如果對x取的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，其中x為自變量。但很多學(xué)生學(xué)完三角函數(shù)后，只知道在直角三角形中，某一銳角A的正弦sinA=■，余弦cosA=■，正切tanA=■，但如果問學(xué)生為什么稱為三角函數(shù)，其自變量是哪個，因變量是哪個，可能說不清楚，因此，教學(xué)中有必要從函數(shù)的角度，從以下幾方面加以引導(dǎo)，去認(rèn)識三角函數(shù)的本質(zhì)。

一、從實際生活出發(fā)，初步感受“角與比值”的關(guān)系

活動1：右圖中哪個坡

更陡？它跟什么有關(guān)？

結(jié)論：跟傾斜角的大小

有關(guān)。

活動2：下列哪組坡更陡？它跟什么有關(guān)？

結(jié)論：跟比值■與■的大小有關(guān)。

初步感受：（1）比值越大，傾斜角就越大，坡就越陡。

（2）隱約感受到比值與角存在某種關(guān)系。

二、探究1：當(dāng)角一定時，比值有無變化

問題1：如何確定右圖的傾斜程度？

生1：可通過測量BC與AC的長度，再算出它們的比，來說明臺階的傾斜程度。

生2：可通過測量B1C1與AC1的長度，再算出它們的比，來說明臺階的傾斜程度。

問：你同意她們的看法嗎？為什么？

（可以通過三角形相似，證明它們是等的）

（推廣）

問題2：一般地，如果銳角A的大小確定，我們可以作出無數(shù)個以A為一個頂點的直角三角形（如圖），那么圖中：

■=■=■=···成立嗎？為什么？

結(jié)論：如果一個直角三角形的一個銳角的大小確定，那么這個銳角的對邊與這個角的鄰邊的比值也確定。

（說明：比值與直角三角形的大小無關(guān)）

三、探究2：當(dāng)角變化時，比值有無變化

問題：如右下圖，當(dāng)角由∠CAB變?yōu)椤螩AD時，比值有變化嗎？

結(jié)論：比值隨角變大而變大，比值隨角變小而變小。

四、歸納發(fā)現(xiàn)

（1）比值隨角的變化而變化；

（2）當(dāng)角確定時，比值也隨之確定。

問1：這點像什么？

（函數(shù)）

問2：哪個是自變量？哪個是因變量？

（角是自變量，比值是因變量）

五、引出：正切函數(shù)概念

在直角三角形中，我們將∠A的對邊與它的鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA

即tanA=■=■

其中，∠A是自變量，比值是因變量，是∠A的函數(shù)。

類似：可得出正弦、余弦的概念。

編輯 馬燕萍

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