淺析高考對(duì)解析幾何知識(shí)的考查

田艷玲

高考對(duì)解析幾何的考查主要包括以下內(nèi)容：直線與圓的方程、圓錐曲線等，在高考試卷中客觀題主要考查直線斜率、直線方程、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線的定義應(yīng)用、標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、離心率的計(jì)算等，而解答題則主要考查直線與橢圓、拋物線等的位置關(guān)系問(wèn)題，經(jīng)常與平面向量、函數(shù)與不等式交匯等，考查一些存在性問(wèn)題、證明問(wèn)題、定點(diǎn)與定值、最值與范圍問(wèn)題等，解析幾何試題的特點(diǎn)是思維量大、運(yùn)算量大，所以應(yīng)加強(qiáng)對(duì)解析幾何重點(diǎn)題型的訓(xùn)練。

典例分析：

典例1.已知橢圓■+■=1（0

解析：（1）由題設(shè)知b=c，又a=2■，所以b=c=2，故橢圓方程為■+■=1；

（2）因?yàn)镸（0，2），所以直線l與x軸不垂直。設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1）B（x2，y2）。聯(lián)立得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，又■·■=0，所以（x1，y1-2）·（x2，y2-2）=0，整理得（k2+1）■+k（m-2）（-■）+（m-2）2=0，因?yàn)閙≠2，所以2（k2+1）（m+2）-4k2m+（2k2+1）（m-2）=0，展開整理得3m+2=0，即m=-■。直線l在y軸上的截距為定值-■。

動(dòng)向解讀：本題考查解析幾何中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題，這是一類綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題，以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，以參數(shù)處理為核心，需要綜合運(yùn)用函數(shù)與方程多種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行求解。

典例2.已知圓C：（x-4）2+（y-m）2=16（m∈N*），直線4x-3y-16=0過(guò)橢圓E：■+■=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)，且交圓C所得的弦長(zhǎng)為■，點(diǎn)A（3,1）在橢圓E上。

（1）求m的值及橢圓E的方程；（2）設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求■·■的取值范圍。

解析：（1）圓心C（4，m）到直線4x-3y-16=0的距離■=■，所以m=4或m=-4（舍去）。由AF1+AF2=2a，得橢圓E的方程為■+■=1。

（2）■=（1，3），設(shè)Q（x，y），則■=（x-3，y-1),設(shè)x+3y=n，

則聯(lián)立得18y2-6ny+n2-18=0，?駐=（6n）2-4×18×（n2-18）≥0，所以-6≤n≤6，故■·■=x+3y-6的取值范圍為［-12，0］。

動(dòng)向解讀：本題考查解析幾何中的取值范圍問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，需要綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式、平面向量等諸多數(shù)學(xué)知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行求解，對(duì)考生的代數(shù)恒等變形能力、化簡(jiǎn)計(jì)算能力有較高的要求。

典例3.如圖，已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交拋物線于M、N兩點(diǎn)，其準(zhǔn)線l與x軸交于K點(diǎn)。（1）寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；

（2）求證：KF平分∠MKN；

（3）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線MO、NO分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)P、Q，設(shè)直線MN的傾斜角為θ，

試用θ表示線段PQ的長(zhǎng)度|PQ|，并求|PQ|的最小值。

解析：（1）拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1,0），準(zhǔn)線方程為x=-1。

（2）設(shè)直線MN的方程為x=my+1。設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為（■，y1）（■，y2）

由■，∴y1+y2=4m，y1y2=-4

設(shè)KM和KN的斜率分別為k1，k2，顯然只需證k1+k2=0即可。

（3）設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為（■，y1），（■，y2），由M，O，P三點(diǎn)共線可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，■），由N，O，Q三點(diǎn)共線可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，■），

設(shè)直線MN的方程為x=my+1。由■

則|PQ|＝|■-■|=■=■=■=4■

又直線MN的傾斜角為θ，則m=cotθ，θ∈（0，?仔），∴|PQ|=4■=■

∴θ=■時(shí)，|PQ|min=4

動(dòng)向解讀：本題考查拋物線的定義、直線與其位置關(guān)系等問(wèn)題，是一道多知識(shí)點(diǎn)的綜合性題，正體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)命題所追求的“在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題”的原則。

總之，解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主線，解析幾何與解三角形、向量等相關(guān)知識(shí)的綜合又是高考中的熱點(diǎn)之一，涉及面廣，綜合性強(qiáng)。因此復(fù)習(xí)時(shí)一定要梳理清相關(guān)知識(shí)，并加強(qiáng)訓(xùn)練，注重綜合問(wèn)題、探索問(wèn)題等類型，使學(xué)生對(duì)基本問(wèn)題運(yùn)用自如，對(duì)幾種考查形式了然于心。

編輯 魯翠紅

高考對(duì)解析幾何的考查主要包括以下內(nèi)容：直線與圓的方程、圓錐曲線等，在高考試卷中客觀題主要考查直線斜率、直線方程、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線的定義應(yīng)用、標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、離心率的計(jì)算等，而解答題則主要考查直線與橢圓、拋物線等的位置關(guān)系問(wèn)題，經(jīng)常與平面向量、函數(shù)與不等式交匯等，考查一些存在性問(wèn)題、證明問(wèn)題、定點(diǎn)與定值、最值與范圍問(wèn)題等，解析幾何試題的特點(diǎn)是思維量大、運(yùn)算量大，所以應(yīng)加強(qiáng)對(duì)解析幾何重點(diǎn)題型的訓(xùn)練。

典例分析：

典例1.已知橢圓■+■=1（0

解析：（1）由題設(shè)知b=c，又a=2■，所以b=c=2，故橢圓方程為■+■=1；

（2）因?yàn)镸（0，2），所以直線l與x軸不垂直。設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1）B（x2，y2）。聯(lián)立得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，又■·■=0，所以（x1，y1-2）·（x2，y2-2）=0，整理得（k2+1）■+k（m-2）（-■）+（m-2）2=0，因?yàn)閙≠2，所以2（k2+1）（m+2）-4k2m+（2k2+1）（m-2）=0，展開整理得3m+2=0，即m=-■。直線l在y軸上的截距為定值-■。

動(dòng)向解讀：本題考查解析幾何中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題，這是一類綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題，以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，以參數(shù)處理為核心，需要綜合運(yùn)用函數(shù)與方程多種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行求解。

典例2.已知圓C：（x-4）2+（y-m）2=16（m∈N*），直線4x-3y-16=0過(guò)橢圓E：■+■=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)，且交圓C所得的弦長(zhǎng)為■，點(diǎn)A（3,1）在橢圓E上。

（1）求m的值及橢圓E的方程；（2）設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求■·■的取值范圍。

解析：（1）圓心C（4，m）到直線4x-3y-16=0的距離■=■，所以m=4或m=-4（舍去）。由AF1+AF2=2a，得橢圓E的方程為■+■=1。

（2）■=（1，3），設(shè)Q（x，y），則■=（x-3，y-1),設(shè)x+3y=n，

則聯(lián)立得18y2-6ny+n2-18=0，?駐=（6n）2-4×18×（n2-18）≥0，所以-6≤n≤6，故■·■=x+3y-6的取值范圍為［-12，0］。

動(dòng)向解讀：本題考查解析幾何中的取值范圍問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，需要綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式、平面向量等諸多數(shù)學(xué)知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行求解，對(duì)考生的代數(shù)恒等變形能力、化簡(jiǎn)計(jì)算能力有較高的要求。

典例3.如圖，已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交拋物線于M、N兩點(diǎn)，其準(zhǔn)線l與x軸交于K點(diǎn)。（1）寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；

（2）求證：KF平分∠MKN；

（3）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線MO、NO分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)P、Q，設(shè)直線MN的傾斜角為θ，

試用θ表示線段PQ的長(zhǎng)度|PQ|，并求|PQ|的最小值。

解析：（1）拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1,0），準(zhǔn)線方程為x=-1。

（2）設(shè)直線MN的方程為x=my+1。設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為（■，y1）（■，y2）

由■，∴y1+y2=4m，y1y2=-4

設(shè)KM和KN的斜率分別為k1，k2，顯然只需證k1+k2=0即可。

（3）設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為（■，y1），（■，y2），由M，O，P三點(diǎn)共線可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，■），由N，O，Q三點(diǎn)共線可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，■），

設(shè)直線MN的方程為x=my+1。由■

則|PQ|＝|■-■|=■=■=■=4■

又直線MN的傾斜角為θ，則m=cotθ，θ∈（0，?仔），∴|PQ|=4■=■

∴θ=■時(shí)，|PQ|min=4

動(dòng)向解讀：本題考查拋物線的定義、直線與其位置關(guān)系等問(wèn)題，是一道多知識(shí)點(diǎn)的綜合性題，正體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)命題所追求的“在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題”的原則。

總之，解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主線，解析幾何與解三角形、向量等相關(guān)知識(shí)的綜合又是高考中的熱點(diǎn)之一，涉及面廣，綜合性強(qiáng)。因此復(fù)習(xí)時(shí)一定要梳理清相關(guān)知識(shí)，并加強(qiáng)訓(xùn)練，注重綜合問(wèn)題、探索問(wèn)題等類型，使學(xué)生對(duì)基本問(wèn)題運(yùn)用自如，對(duì)幾種考查形式了然于心。

編輯 魯翠紅

高考對(duì)解析幾何的考查主要包括以下內(nèi)容：直線與圓的方程、圓錐曲線等，在高考試卷中客觀題主要考查直線斜率、直線方程、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線的定義應(yīng)用、標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、離心率的計(jì)算等，而解答題則主要考查直線與橢圓、拋物線等的位置關(guān)系問(wèn)題，經(jīng)常與平面向量、函數(shù)與不等式交匯等，考查一些存在性問(wèn)題、證明問(wèn)題、定點(diǎn)與定值、最值與范圍問(wèn)題等，解析幾何試題的特點(diǎn)是思維量大、運(yùn)算量大，所以應(yīng)加強(qiáng)對(duì)解析幾何重點(diǎn)題型的訓(xùn)練。

典例分析：

典例1.已知橢圓■+■=1（0

解析：（1）由題設(shè)知b=c，又a=2■，所以b=c=2，故橢圓方程為■+■=1；

（2）因?yàn)镸（0，2），所以直線l與x軸不垂直。設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1）B（x2，y2）。聯(lián)立得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，又■·■=0，所以（x1，y1-2）·（x2，y2-2）=0，整理得（k2+1）■+k（m-2）（-■）+（m-2）2=0，因?yàn)閙≠2，所以2（k2+1）（m+2）-4k2m+（2k2+1）（m-2）=0，展開整理得3m+2=0，即m=-■。直線l在y軸上的截距為定值-■。

動(dòng)向解讀：本題考查解析幾何中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題，這是一類綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題，以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，以參數(shù)處理為核心，需要綜合運(yùn)用函數(shù)與方程多種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行求解。

典例2.已知圓C：（x-4）2+（y-m）2=16（m∈N*），直線4x-3y-16=0過(guò)橢圓E：■+■=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)，且交圓C所得的弦長(zhǎng)為■，點(diǎn)A（3,1）在橢圓E上。

（1）求m的值及橢圓E的方程；（2）設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求■·■的取值范圍。

解析：（1）圓心C（4，m）到直線4x-3y-16=0的距離■=■，所以m=4或m=-4（舍去）。由AF1+AF2=2a，得橢圓E的方程為■+■=1。

（2）■=（1，3），設(shè)Q（x，y），則■=（x-3，y-1),設(shè)x+3y=n，

則聯(lián)立得18y2-6ny+n2-18=0，?駐=（6n）2-4×18×（n2-18）≥0，所以-6≤n≤6，故■·■=x+3y-6的取值范圍為［-12，0］。

動(dòng)向解讀：本題考查解析幾何中的取值范圍問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，需要綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式、平面向量等諸多數(shù)學(xué)知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行求解，對(duì)考生的代數(shù)恒等變形能力、化簡(jiǎn)計(jì)算能力有較高的要求。

典例3.如圖，已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交拋物線于M、N兩點(diǎn)，其準(zhǔn)線l與x軸交于K點(diǎn)。（1）寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；

（2）求證：KF平分∠MKN；

（3）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線MO、NO分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)P、Q，設(shè)直線MN的傾斜角為θ，

試用θ表示線段PQ的長(zhǎng)度|PQ|，并求|PQ|的最小值。

解析：（1）拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1,0），準(zhǔn)線方程為x=-1。

（2）設(shè)直線MN的方程為x=my+1。設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為（■，y1）（■，y2）

由■，∴y1+y2=4m，y1y2=-4

設(shè)KM和KN的斜率分別為k1，k2，顯然只需證k1+k2=0即可。

（3）設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為（■，y1），（■，y2），由M，O，P三點(diǎn)共線可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，■），由N，O，Q三點(diǎn)共線可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，■），

設(shè)直線MN的方程為x=my+1。由■

則|PQ|＝|■-■|=■=■=■=4■

又直線MN的傾斜角為θ，則m=cotθ，θ∈（0，?仔），∴|PQ|=4■=■

∴θ=■時(shí)，|PQ|min=4

動(dòng)向解讀：本題考查拋物線的定義、直線與其位置關(guān)系等問(wèn)題，是一道多知識(shí)點(diǎn)的綜合性題，正體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)命題所追求的“在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題”的原則。

總之，解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主線，解析幾何與解三角形、向量等相關(guān)知識(shí)的綜合又是高考中的熱點(diǎn)之一，涉及面廣，綜合性強(qiáng)。因此復(fù)習(xí)時(shí)一定要梳理清相關(guān)知識(shí)，并加強(qiáng)訓(xùn)練，注重綜合問(wèn)題、探索問(wèn)題等類型，使學(xué)生對(duì)基本問(wèn)題運(yùn)用自如，對(duì)幾種考查形式了然于心。

編輯 魯翠紅