支架結(jié)構(gòu)建模中設(shè)計(jì)參數(shù)的修正與優(yōu)化

邱飛力，張立民，張衛(wèi)華，張遠(yuǎn)亮

（西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610031）

支架結(jié)構(gòu)建模中設(shè)計(jì)參數(shù)的修正與優(yōu)化

邱飛力，張立民，張衛(wèi)華，張遠(yuǎn)亮

（西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610031）

為降低某支架有限元建模的參數(shù)設(shè)置誤差。根據(jù)有限元模態(tài)和實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)結(jié)果，建立模態(tài)頻率殘差向量。應(yīng)用靈敏度分析法，從結(jié)構(gòu)12個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)中選取了3個(gè)彈性模量和3個(gè)密度參數(shù)作為修正量。以模態(tài)頻率殘差向量和參數(shù)修正量構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，并采用優(yōu)化算法行求解。修正后的有限元模態(tài)與實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)具有高度的一致性，表明修正后的支架有限元模型能夠準(zhǔn)確地反映結(jié)構(gòu)特性，同時(shí)也驗(yàn)證設(shè)計(jì)參數(shù)修正方法的有效性和可行性。

振動(dòng)與波；設(shè)計(jì)參數(shù)；靈敏度；優(yōu)化法；模型修正

有限元建模中，模型參數(shù)存在一定的誤差。為使有限元模型能夠充分反應(yīng)結(jié)構(gòu)的實(shí)際狀態(tài)，對(duì)結(jié)構(gòu)提供有價(jià)值的、可靠的數(shù)據(jù)，需要對(duì)結(jié)構(gòu)的模型進(jìn)行修正[1]。而設(shè)計(jì)參數(shù)法修正的對(duì)象是結(jié)構(gòu)的物理、幾何參數(shù)誤差及邊界條件，修正后的模型物理意義十分明確，易于與工程實(shí)際對(duì)照，將是今后研究和應(yīng)用的主流[2]。

1 設(shè)計(jì)參數(shù)法

1.1 靈敏度分析

設(shè)計(jì)參數(shù)法需要計(jì)算靈敏度矩陣，即特征值或特征向量對(duì)待修正參數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)。設(shè)支架有限元模型的設(shè)計(jì)參數(shù)為p，定義模態(tài)頻率向量{f}是其隱函數(shù)。當(dāng)設(shè)計(jì)參數(shù)p發(fā)生小變動(dòng)時(shí)，第r階模態(tài)頻率{f(r)}的1階泰勒展開(kāi)式為[3]

移項(xiàng)后，改寫(xiě)成矩陣的形式為

其中{Δf}為殘差向量，{Δp}為設(shè)計(jì)參數(shù)的改變量，[S]為靈敏度矩陣。

式中n是待修正的參數(shù)個(gè)數(shù)；m是所取特征量的個(gè)數(shù)。

1.2 靈敏度求解

從結(jié)構(gòu)振動(dòng)出發(fā)，支架結(jié)構(gòu)的特征方程為

式中[K]、[ M]是直接結(jié)構(gòu)的剛度矩陣及質(zhì)量矩陣；fr為結(jié)構(gòu)的第r階特征量；為結(jié)構(gòu)的第r階振型。

利用特征向量的正交性，對(duì)質(zhì)量矩陣進(jìn)行歸一化處理。

對(duì)（6）、（7）兩邊同時(shí)對(duì)參數(shù)pi求導(dǎo)，可得

利用剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的對(duì)稱性，整理可得頻率對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的一階靈敏度計(jì)算公式[4，5]

1.3 目標(biāo)函數(shù)

采用最優(yōu)化算法的誤差法建立目標(biāo)函數(shù)，選取頻率殘差、設(shè)計(jì)參數(shù)變化量作為目標(biāo)函數(shù)[6]，并給定設(shè)計(jì)參數(shù)的選值范圍。

其中pmin為設(shè)計(jì)參數(shù)的下限值，pmax為設(shè)計(jì)參數(shù)的上限值。目標(biāo)函數(shù)求解進(jìn)而轉(zhuǎn)換成為了不等式約束的最優(yōu)性條件。

構(gòu)造拉格朗日乘子罰函數(shù)為[7]

乘子迭代式為

令

迭代終止準(zhǔn)則為：βk≤ε

其中σ＞0為罰因子，m，k為迭代的次數(shù)，n為設(shè)計(jì)參數(shù)約束條件的數(shù)目。

2 有限元分析

支架結(jié)構(gòu)由6部分焊接組成，其幾何結(jié)構(gòu)和6部分結(jié)構(gòu)的編號(hào)如圖1所示。

圖1 支架結(jié)構(gòu)幾何模型圖

支架結(jié)構(gòu)有限元模型主要的原始參數(shù)如表1所示。

表1 支架模型原始參數(shù)表

對(duì)支架結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元模態(tài)分析(FEA)，并在100 Hz頻率范圍，提取模態(tài)結(jié)果，其模態(tài)振型分別如圖2和圖3所示。

圖2 支架結(jié)構(gòu)1階模態(tài)振型圖

圖3 支架結(jié)構(gòu)2階模態(tài)振型圖

有限元分析(FEA)的模態(tài)參數(shù)如表2所示。

表2 有限元（FEA）模態(tài)參數(shù)

3 實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析

結(jié)合有限元模態(tài)分析（FEA）結(jié)果，在支架上總共布置12個(gè)測(cè)點(diǎn)，分別位于支架的八個(gè)頂角和中部上下表面。支架采用剛度較小的彈簧支撐模擬自由狀態(tài)，其現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試照片如圖4所示。

圖4 支架測(cè)試照片

應(yīng)用振動(dòng)噪聲測(cè)試軟件LMS test.lab進(jìn)行模態(tài)測(cè)試分析，支架測(cè)試模型如圖5所示。

圖5 支架模態(tài)測(cè)試模型

支架結(jié)構(gòu)較小，故實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析采用沖擊激勵(lì)法進(jìn)行[8]。沖擊力錘在單點(diǎn)進(jìn)行敲擊激勵(lì)，測(cè)點(diǎn)響應(yīng)的頻響函數(shù)FRF如圖6所示。

圖6 沖擊激勵(lì)頻響函數(shù)圖

從圖6可以看出頻響函數(shù)FRF的峰值出現(xiàn)在5 Hz、30 Hz和60 Hz附近，經(jīng)分析表明5 Hz頻率附近的模態(tài)由彈簧支撐剛度引起，表現(xiàn)為支架沉浮剛體模態(tài)。而30 Hz和60 Hz附近的峰值為支架結(jié)構(gòu)的彈性模態(tài)，其實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)振型分別如圖7和圖8所示。

圖7 支架1階實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)振型圖

圖8 支架2階實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)振型圖

支架的實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析（EMA）參數(shù)如表3所示。

表3 實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)（EMA）參數(shù)

4 模型修正

4.1 模型匹配

有限元模型修正前，先進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ团c有限元模型匹配。支架結(jié)構(gòu)振型匹配后的頻率與MAC值如表4所示。

表4 支架模態(tài)參數(shù)匹配結(jié)果

由表4可見(jiàn)，有限元分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果振型MAC值非常高，表明其振型形態(tài)吻合。頻率值存在較大的誤差，其最大誤差達(dá)到7.8%。即有限元模型參數(shù)不夠準(zhǔn)確，需要進(jìn)行修正。

4.2 靈敏度分析

由圖1可知，支架模型主要由6種部件結(jié)構(gòu)焊接而成，其尺寸幾何參數(shù)相對(duì)準(zhǔn)確，6部分鋼結(jié)構(gòu)的彈性模量Ei、密度ρi定為結(jié)構(gòu)的12個(gè)待修正參數(shù)。為避免模型修改的盲目性，提高修正效率。對(duì)12個(gè)待修正參數(shù)進(jìn)行頻率靈敏度分析，為修正參數(shù)的選擇提供參考[9]。

當(dāng)有限元單數(shù)較多，對(duì)剛度矩陣和質(zhì)量矩陣偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算十分繁瑣，應(yīng)用ANSYS軟件計(jì)算頻率的1階差分靈敏度[10，11]。

第1、2階模態(tài)頻率對(duì)彈性模量的靈敏度如圖9所示。

圖9 頻率關(guān)于彈性模量靈敏度圖

由圖9可看出，第1階模態(tài)頻率對(duì)E1、E2、E5的靈敏度值比較大，第2階模態(tài)頻率對(duì)E5的靈敏度值較大。即這些彈性模量改變會(huì)顯著影響模態(tài)頻率，因此選取彈性模量E1、E2、E5作為模型彈性模量修正參數(shù)。

第1、2階模態(tài)頻率對(duì)密度的靈敏度如圖10所示。

圖10 頻率關(guān)于密度靈敏度圖

由圖10可看出，第1、2階頻率對(duì)密度ρ1、ρ2、ρ5的靈敏度值較大。表明了密度ρ1、ρ2、ρ5變化對(duì)第1、2階模態(tài)頻率改變顯著。

根據(jù)彈性模量和密度對(duì)第1、2階頻率靈敏度分析結(jié)果，綜合考慮，選取E1、E2、E5、ρ1、ρ2、ρ5六個(gè)參數(shù)作為模型的修正參數(shù)。

4.3 模型修正

為求解優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，需要確定變量的上下限值，即6個(gè)待修正參數(shù)的變化范圍。考慮到支架材料的彈性模量誤差較大，而密度誤差較小[12]，所以將彈性模量變化范圍設(shè)為原始彈性模量的±50%，密度變化范圍設(shè)為原始密度范圍的±20%。

經(jīng)過(guò)修正后，各彈性模量修正參數(shù)改變率如圖11所示。

圖11 彈性模量參數(shù)變化圖

從圖11可以看出，修正后彈性模量改變量比較大，最大達(dá)到49%，表明初始有限元模型的彈性模量與試驗(yàn)?zāi)Ｐ陀休^大的出入。

模型修正后，密度參數(shù)的改變率如圖12所示。

圖12 密度參數(shù)變化率圖

由圖12可以得出，密度改變量較小，最大改變量為3.4%，表明初始的有限元模型密度參數(shù)與試驗(yàn)測(cè)試模型差別較小。

有限元模型修正后，各模態(tài)參數(shù)情況，如表5所示。

表5 模型修正后的各模態(tài)參數(shù)值

分析表5，模型修正后，第1、2階計(jì)算頻率與試驗(yàn)頻率吻合度良好，誤差極小，最大誤差值僅為0.2%，且振型MAC值均高于90%，振型形態(tài)一致，達(dá)到了模型修正的目的。

應(yīng)用多次迭代對(duì)模型進(jìn)行了修正，第1階頻率隨迭代次數(shù)的變化，如圖13所示。

圖13 第1階模態(tài)隨迭代次數(shù)變化趨勢(shì)圖

由圖13可得，隨著迭代次數(shù)的增加，扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率與試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率差值逐漸減小；經(jīng)過(guò)5次迭代后，有限元模態(tài)頻率與試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)較為接近，且改變趨于平緩。

第2階模態(tài)頻率隨迭代次數(shù)變化趨勢(shì)，如圖14所示。

圖14 第2階頻率隨迭代次數(shù)變化趨勢(shì)圖

由圖14分析，隨著迭代次數(shù)的增加，垂彎模態(tài)頻率與試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率差值逐漸減??；第5次迭代后，垂彎頻率高于試驗(yàn)值，逐漸逼近試驗(yàn)測(cè)試頻率。

經(jīng)過(guò)9次迭代，有限元扭轉(zhuǎn)、垂彎頻率與實(shí)驗(yàn)測(cè)試值保持高度一致。這表明基于設(shè)計(jì)參數(shù)的修正方法具有良好的收斂性和準(zhǔn)確性，優(yōu)化算法的目標(biāo)函數(shù)建立以及支架修正參數(shù)的選擇是合理可行的。

5 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)支架有限元模型修正，得出以下結(jié)論：

（1）在100 Hz頻率范圍內(nèi)，修正后的有限元模型模態(tài)頻率與試驗(yàn)頻率保持高度一致，最大頻率誤差僅為0.2%；且振型MAC值均高于90%，振型形態(tài)吻合度高。表明有限元參數(shù)準(zhǔn)確，能夠反映實(shí)際的結(jié)構(gòu)，可以進(jìn)行后續(xù)的仿真分析；

（2）修正后，彈性模量變化率最高達(dá)到49%，密度變化率僅為3.8%，說(shuō)明支架初始模型彈性模量誤差較大；

（3）應(yīng)用靈敏度分析，從12個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)中，選取了頻率靈敏度較大的6個(gè)參數(shù)作為修正量，避免了修正的盲目性，且提高了模型修正的效率，降低了修正過(guò)程的計(jì)算量；

（4）經(jīng)過(guò)9次迭代，有限元修正頻率收斂至實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率，表明設(shè)計(jì)參數(shù)型修正方法收斂速度快。同時(shí)，也驗(yàn)證了修正參數(shù)選擇以及目標(biāo)函數(shù)建立的合理性。

[1]童宗鵬，章藝，沈榮瀛，華宏星.基于頻響函數(shù)靈敏度分析的艦艇模型修正[J].上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，39(11)：1948-1850.

[2]李斌，楊智春，等.利用附加質(zhì)量的設(shè)計(jì)參數(shù)型模型修正方法[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，43(7)：1297-1301.

[3]戴航，袁愛(ài)民.基于靈敏度分析的結(jié)構(gòu)模型修正[M].北京：科學(xué)出版社，2011：54-55.

[4]王書(shū)亭，王亭，賴福昆.白車(chē)身的有限元模態(tài)及靈敏度分析[J].輕型汽車(chē)技術(shù)，2006，5：4-7.

[5]瞿曉彬，何志剛，等.城市客車(chē)車(chē)身結(jié)構(gòu)靈敏度分析及優(yōu)化[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2007，(1)：79-80.

[6]Rade D A,Silva L A,Ment G L.A strategy for the enrichment of experimental data as applied to an inverse eigen-sensitivity-based FE model updating method[J].Proceedings of the 14 th International Systems and Siganl Processing,2007,21：1690-1703.

[7]馬昌鳳.最優(yōu)化方法及其Matlab程序?qū)崿F(xiàn)[M].北京：科學(xué)出版社，2010：125-128.

[8]于金朋，邱飛力，等.基于沖擊激勵(lì)的支架參數(shù)研究[J].北京交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，35（6）：98-101.

[9]曹文剛，曲令晉，等.基于靈敏度分析的客車(chē)車(chē)身優(yōu)化研究[J].汽車(chē)工程，2009，31（3）：278-281.

[10]李延強(qiáng)，杜彥良.基于最敏感設(shè)計(jì)參數(shù)的斜拉索有限元?jiǎng)恿δＰ托拚齕J].振動(dòng)與沖擊，2009，28(3)：141-143.

[11]夏國(guó)林，陳朝陽(yáng)，等.轎車(chē)白車(chē)身動(dòng)態(tài)特征靈敏度分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].汽車(chē)技術(shù)，2008，(1)：26-28.

Updating and Optim ization of Design Parameters in Frame Structure Modeling

QIU Fei-li,ZHANG Li-m in,ZHANG Wei-hua,ZHANG Yuan-liang

（Traction Power State Key Laboratory,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China）

In order to reduce the setting error of parameters in finite element modeling of a frame,the modal frequency residual-error vector has been established based on the results of the finite element modal analysis and experimental modal analysis.Three elastic moduli and three density parameters are selected among 12 design parameters by using sensitivity analysis method.The objective function is constructed with the modal frequency residual-error vector and the parameters correction values.And an optimization method is introduced to solve the updating process.It is found that the modal result of the updated model is nearly identical to the experiment modal result,which shows that the updated finite element model can reflect the structure characteristics correctly.Meanwhile,the validity and feasibility of the design parameters updating method is also verified.

vibration and wave;design parameters;sensitivity analysis;optim ization algorithm;model updating

TB52

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.01.009

1006-1355(2014)01-0036-05

2013-03-13

國(guó)家科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目：（2009BAG12A04-C03）

邱飛力（1987-），男，四川達(dá)縣人，博士研究生，目前從事振動(dòng)模態(tài)、有限元修正研究。

E-mail:qfl_43@163.com