基于共振梁后節(jié)點(diǎn)小幅振動(dòng)的能量轉(zhuǎn)化

何 偉，劉 鵬，劉昌海

(1.三一重工股份有限公司，長沙 410100;2.同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804)

共振破碎機(jī)工作時(shí)，共振梁作受迫振動(dòng)，在輸入端輸入簡諧激勵(lì)，使得安裝于共振梁輸出端的錘頭產(chǎn)生振動(dòng)，敲擊地面并引起水泥混凝土地面的破碎.錘頭與地面的碰撞使得共振梁受到較大的反作用沖擊力，在此力的影響下，共振梁的振動(dòng)形態(tài)發(fā)生不規(guī)則變化，如振動(dòng)幅度增大甚至共振梁“彈起”等，不利于水泥路面的破碎.為了穩(wěn)定共振梁的振動(dòng)，破碎機(jī)采取了一些減振措施來消除或減小碰撞對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的影響，但對(duì)其減振的實(shí)質(zhì)和能量轉(zhuǎn)化過程卻研究較少.

1 減振技術(shù)

針對(duì)碰撞沖擊問題，現(xiàn)在主要的減振方法是利用與液壓缸安裝配合的減振重物及阻尼元件［1］來實(shí)現(xiàn)減振.具體做法是:將液壓缸的一端懸掛于共振破碎機(jī)機(jī)架立柱上，另一端與減振重物連接，減振重物和共振梁之間裝配有阻尼元件(如橡膠減振片等).當(dāng)共振破碎機(jī)工作時(shí)，液壓缸泄壓，減振重物依靠自身重力緊壓在共振梁后節(jié)點(diǎn)處，使得破碎錘頭與地面緊密接觸;當(dāng)共振梁受到路面的反沖擊作用時(shí)，重物緊壓在共振梁上避免其彈起，同時(shí)阻尼元件可吸收沖擊能量，如此即可避免共振梁的振動(dòng)形態(tài)發(fā)生過大變化.共振破碎機(jī)減振系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示.

2 共振梁后節(jié)點(diǎn)的小幅振動(dòng)設(shè)想

對(duì)于上述減振方式，多數(shù)文獻(xiàn)資料中只是進(jìn)行了大致的描述，沒有具體分析減振中系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)化過程，這主要是因?yàn)楣舱窳菏且环N柔性體結(jié)構(gòu)，其振型描述較為復(fù)雜.徐海［2］在其論文中利用ADAMS軟件對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，研究配重質(zhì)量的變化對(duì)機(jī)架重心加速度的影響，但也沒有選擇合適的理論對(duì)能量轉(zhuǎn)化過程進(jìn)行深入分析.

圖1 減振系統(tǒng)實(shí)體圖Fig.1 Dam ping system

本文為解決這一問題，提出了在實(shí)際工作中共振梁后節(jié)點(diǎn)進(jìn)行小幅振動(dòng)的設(shè)想，并基于此設(shè)想較為圓滿地解釋了碰撞過程中系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)化.設(shè)想主要內(nèi)容有:僅在輸入端簡諧激勵(lì)的作用下，共振梁振動(dòng)時(shí)前后節(jié)點(diǎn)可保持固定不動(dòng)的狀態(tài);在錘頭與路面發(fā)生碰撞的過程中，碰撞產(chǎn)生的沖擊能輸入振動(dòng)系統(tǒng)，共振梁的振動(dòng)形態(tài)發(fā)生改變，使得共振梁后節(jié)點(diǎn)和安裝于后節(jié)點(diǎn)處的重物發(fā)生小幅振動(dòng)，通過減振重物和共振梁后節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，碰撞沖擊能轉(zhuǎn)化為重物機(jī)械能和阻尼元件的損耗能.

3 振動(dòng)系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)化

碰撞過程中系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)化不易直接研究，本文將先考慮共振梁僅在簡諧激勵(lì)下的振動(dòng)方程和能量轉(zhuǎn)化.在此基礎(chǔ)上，對(duì)系統(tǒng)施加碰撞力并通過減振重物及阻尼元件減振后，分析振動(dòng)系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)化方程.

3.1 簡諧激勵(lì)下系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)化

首先僅考慮共振梁在簡諧激勵(lì)下的振動(dòng).簡諧激勵(lì)的頻率與共振梁固有頻率相同，共振梁作受迫振動(dòng)并達(dá)到共振，其振型為相對(duì)于兩個(gè)固定節(jié)點(diǎn)的上下振動(dòng)，如圖2所示.圖中x表示共振梁各點(diǎn)的坐標(biāo)，yA表示共振梁各點(diǎn)振動(dòng)的幅值.

圖2 共振梁振型示意圖Fig.2 Diagram of resonant beam mode

振型函數(shù)為

其固有頻率為

式(1)所示振型方程表示共振梁的振動(dòng)形狀，其中yA(x)表示共振梁x處節(jié)點(diǎn)的振幅，D1表示與振幅有關(guān)的比例，其數(shù)值大小由輸入的簡諧激勵(lì)決定，l為共振梁的總長，β為特征值.式(2)中，ωn表示共振梁的固有頻率，m表示梁的單位體積質(zhì)量，A為梁的截面積，EI為截面抗彎剛度.

當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定后，激振器輸入的能量完全轉(zhuǎn)化為共振梁自身的結(jié)構(gòu)阻尼損耗.輸入的簡諧激勵(lì)f隨時(shí)間t的變化規(guī)律可表示為f=fmaxsin(ωt+φ)，其中fmax表示激勵(lì)的最大值，ω表示輸入激勵(lì)的頻率，φ表示初始相位，t表示時(shí)間.令式(1)中x=0，可得共振梁輸入端的振動(dòng)方程y(t)=yA(0)·sin(ωt)，其在一個(gè)周期T內(nèi)輸入的能量

根據(jù)工程斷裂與損傷［3］，結(jié)構(gòu)阻尼在一個(gè)很大頻率范圍內(nèi)與頻率無關(guān)，其消耗的能量與振幅的平方成正比，即

式中:η1為系數(shù).故在一個(gè)周期內(nèi)，振動(dòng)系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)化方程可表示為

3.2 碰撞過程中系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)化

第3.1節(jié)得出了共振梁僅在簡諧激勵(lì)下的振型函數(shù)和能量方程，碰撞過程中若要達(dá)到需要的破碎效果，應(yīng)使得振型函數(shù)與圖2近似一致，此時(shí)共振梁的結(jié)構(gòu)阻尼損耗可認(rèn)為不變.

相對(duì)于在簡諧激勵(lì)下的振動(dòng)，碰撞過程中系統(tǒng)的振動(dòng)和能量轉(zhuǎn)化過程顯得更加復(fù)雜.碰撞時(shí)共振梁不僅受到簡諧激勵(lì)，還受到地面的反沖擊力.系統(tǒng)損耗的能量也由多個(gè)部分組成:除共振梁結(jié)構(gòu)阻尼損耗外，還包括水泥板塊的應(yīng)變能和阻尼元件的損耗能.其中，水泥板塊的應(yīng)變能是破碎路面的能量，阻尼元件的損耗能由共振梁后節(jié)點(diǎn)的小幅振動(dòng)引起.碰撞過程中的能量轉(zhuǎn)化可用圖3所示流程圖表示，圖中虛線框表示共振梁僅在簡諧激勵(lì)下的能量轉(zhuǎn)化過程.

圖3 碰撞過程能量轉(zhuǎn)化流程圖Fig.3 Energy transformation of resonant beam during collision process

如圖3所示，振動(dòng)系統(tǒng)的輸入能量由兩部分組成:激振器輸入能，在第3.1節(jié)中已進(jìn)行討論;碰撞沖擊能，此部分能量較難用數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行描述，但當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定后，在一個(gè)周期內(nèi)，此部分能量可視為定值Eim.

根據(jù)文獻(xiàn)［3］，水泥板塊的應(yīng)變能

式中:Fq為廣義力，根據(jù)赫茲接觸模型，F(xiàn)q=Kδe，其中K為赫茲剛度系數(shù)，e為剛性指數(shù)，反映了材料的非線性程度，一般取值為e≥1;δ為廣義位移，此處δ=yA(l)，表示共振梁輸出端振幅，由式(1)令x=l得到，故有

在減振重物和阻尼元件的作用下，當(dāng)共振梁輸出端受到路面的反沖擊力時(shí)，共振梁僅有向上彈起的趨勢，但不能發(fā)生不規(guī)則的雜亂振動(dòng).根據(jù)所作設(shè)想，共振梁后節(jié)點(diǎn)處進(jìn)行小幅振動(dòng)，使得與其配合安裝的減振重物同時(shí)發(fā)生振動(dòng)，碰撞沖擊能轉(zhuǎn)化為重物機(jī)械能和阻尼元件損耗能，并最終被阻尼元件消耗吸收，重物和阻尼元件的減振作用可用圖4表示.

系統(tǒng)穩(wěn)定后由于共振梁后節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)，碰撞產(chǎn)生的沖擊能轉(zhuǎn)化為重物的機(jī)械能和阻尼元件的損耗能，此過程能量轉(zhuǎn)化方程可表示為

式中:Eim為定值;m1為減振重物的質(zhì)量;ys為重物的振幅;C表示阻尼元件的阻尼系數(shù);s表示阻尼元件的變形量，與重物和共振梁后節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)有關(guān);g為重力加速度.

圖4 系統(tǒng)減振流程圖Fig.4 Flowchart of damping system

通過式(8)可以看出，由共振梁后節(jié)點(diǎn)振動(dòng)引起的重物振動(dòng)幅度與其自身質(zhì)量m1有關(guān)，而阻尼系數(shù)C表征了系統(tǒng)吸收振動(dòng)沖擊的能力，適當(dāng)增大減振重物的質(zhì)量可減小共振梁后節(jié)點(diǎn)和重物自身的振動(dòng)幅度.

碰撞過程完整的能量轉(zhuǎn)化方程可表示為

方程左邊表示激振器輸入能量和碰撞產(chǎn)生的沖擊能量，其中f'max表示碰撞過程中輸入激勵(lì)的最大值，f'max＞fmax，表現(xiàn)為此時(shí)的激振器輸入能量大于式(3)中輸入能量，其差值為破碎路面所需要的應(yīng)變能.方程右邊依次表示共振梁的結(jié)構(gòu)阻尼損耗、水泥板塊的應(yīng)變能、重物機(jī)械能和阻尼元件的損耗能.錘頭與路面碰撞后，由于減振重物和阻尼元件的作用，共振梁的振動(dòng)形態(tài)變化較小，故認(rèn)為振型函數(shù)(1)同樣適合碰撞過程.

實(shí)際工作中，由于重物的質(zhì)量很大，所以節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的最大位移很小，如此即可保證共振梁仍近似處于共振狀態(tài).系統(tǒng)穩(wěn)定后，共振梁受到的反沖擊能量被重物與共振梁連接處的阻尼元件所吸收.共振梁振動(dòng)時(shí)，會(huì)引起構(gòu)件之間(如吊耳與共振梁、吊耳與承載體之間等)的相對(duì)微小滑動(dòng)，使得少部分能量轉(zhuǎn)化為摩擦能而消耗，并且此部分能量較少，為方便分析，可以忽略.

4 ADAMS振動(dòng)仿真

利用ADAMS軟件可以進(jìn)行系統(tǒng)振動(dòng)的仿真，本文即用ADAMS軟件驗(yàn)證所提出的共振梁后節(jié)點(diǎn)小幅振動(dòng)設(shè)想的正確性.首先利用SolidWorks軟件建立振動(dòng)系統(tǒng)的仿真模型并導(dǎo)入ADAMS中，利用ANSYS軟件將共振梁離散成柔性體后，導(dǎo)出為MNF文件，將ADAMS中的剛性體共振梁用此MNF文件替換［4］，并將其輸入節(jié)點(diǎn)固定.

為達(dá)到高質(zhì)量的仿真效果，本文對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了詳細(xì)的材料參數(shù)設(shè)置:共振梁三維尺寸為3.0，0.3，0.1 m;密度為 7 850 kg·m－3;泊松比為 0.3;彈性模量為200 GPa;共振梁固有頻率為54 Hz;錘頭設(shè)置為steel材料，其質(zhì)量等信息由系統(tǒng)自動(dòng)確定;重物質(zhì)量設(shè)置為3 500 kg;水泥混凝土密度為2 400 kg·m－3，泊松比為 0.15，彈性模量為 30 GPa;在輸入端添加簡諧激勵(lì)f=80 000sin(340t)，利用ADAMS的IMPACT函數(shù)在錘頭與地面之間施加接觸碰撞力，此碰撞力由彈簧阻尼模型［5］得出.建好的振動(dòng)系統(tǒng)如圖5所示.

圖5 振動(dòng)系統(tǒng)模型圖Fig.5 Vibration system model

定義共振梁輸出端MARKER_5為測試點(diǎn)，設(shè)置仿真時(shí)間為2 s，仿真步數(shù)為400，測得共振梁輸出端的振動(dòng)曲線如圖6所示.

由圖6可知，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定后，錘頭的振動(dòng)幅度并不是固定值，而是在一定的范圍內(nèi)變化，其平均振幅約為18 mm.其振幅的變化是因?yàn)楣舱窳旱恼駝?dòng)是無窮多階振型的合成，并且振型合成中存在著耦合現(xiàn)象，故錘頭的振幅難以維持在一個(gè)恒定值，而在一個(gè)范圍內(nèi)變化，此種情況仍能滿足路面的破碎要求，故可認(rèn)為本文所建的ADAMS仿真模型是合理的.

定義共振梁后節(jié)點(diǎn)處為MARKER_3，可測得其在碰撞過程中的振動(dòng)曲線，如圖7所示.

圖6 共振梁輸出端振動(dòng)曲線Fig.6 Vibration wave of the output end of resonant beam

圖7 共振梁后節(jié)點(diǎn)處振動(dòng)曲線Fig.7 Vibration wave of the rear-node of resonant beam

根據(jù)圖7所示振動(dòng)曲線，在碰撞過程中當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定后，共振梁后節(jié)點(diǎn)并不是固定的，而是進(jìn)行小幅度振動(dòng)，其平均振幅約為0.4 mm.如此可見本文對(duì)共振梁后節(jié)點(diǎn)進(jìn)行小幅振動(dòng)的設(shè)想是正確的，如此便可用此理論來進(jìn)行共振系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)化分析.仿真結(jié)果表明，重物的質(zhì)量對(duì)共振梁后節(jié)點(diǎn)振動(dòng)幅度影響較大，因篇幅有限，此處僅給出四組不同質(zhì)量重物對(duì)共振梁后節(jié)點(diǎn)振動(dòng)的影響，如表1所示.

表1 重物質(zhì)量對(duì)共振梁后節(jié)點(diǎn)振幅的影響Tab.1 The effect ofmass on rear-node vibration amplitude

由表1可知，當(dāng)重物質(zhì)量較小時(shí)，對(duì)共振梁后節(jié)點(diǎn)的壓力不夠，此時(shí)共振梁振動(dòng)形態(tài)發(fā)生改變，共振梁后節(jié)點(diǎn)振幅較大，共振梁輸出端振幅偏小;隨著重物質(zhì)量的增大，共振梁后節(jié)點(diǎn)振幅減小，輸出端振幅增大，這與前述章節(jié)的理論分析是一致的.根據(jù)仿真結(jié)果，重物質(zhì)量選為3 500～4 500 kg是可取的.

5 結(jié)論

共振破碎機(jī)工作時(shí)，需要通過減振重物和阻尼元件對(duì)其振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行減振，為分析此減振方式的實(shí)質(zhì)及減振中的能量轉(zhuǎn)化過程，本文提出了一種新的設(shè)想——共振梁后節(jié)點(diǎn)的小幅振動(dòng)，并根據(jù)此設(shè)想較為理想地解決了碰撞過程中的能量轉(zhuǎn)化問題.最后用ADAMS軟件建立了振動(dòng)系統(tǒng)的三維模型并進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果表明，振動(dòng)過程中在碰撞力、減振重物和阻尼元件的共同作用下，共振梁后節(jié)點(diǎn)作小幅振動(dòng).因此，本文提出的設(shè)想是正確的，并可采用此理論進(jìn)行振動(dòng)系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)化分析.

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