數(shù)學(xué)解題中直覺思維的應(yīng)用

王小莉

直覺思維同邏輯思維一樣，是人的一種基本思維形式。研究表明，直覺思維在人的創(chuàng)造思維能力中占有舉足輕重的地位。然而，在目前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中往往偏重于演繹推理的訓(xùn)練，強(qiáng)化形式論證的邏輯的嚴(yán)密性，忽視了直覺思維在解題中預(yù)知導(dǎo)向和頓悟的作用，也失去了數(shù)學(xué)思維形成過程中直觀生動(dòng)的一面，這在一定范圍上限制了學(xué)生思維素質(zhì)的提高，與現(xiàn)代素質(zhì)教育要求背道而馳，所以培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一。本文將從直覺思維如何解決數(shù)學(xué)問題的角度來進(jìn)行探討。

一、聯(lián)想和猜想開拓思路，激發(fā)直覺思維

聯(lián)想是由當(dāng)前感知的事物回憶起有關(guān)另一事物的心理過程。在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，聯(lián)想可以溝通數(shù)學(xué)對象和有關(guān)知識間的聯(lián)系。而聯(lián)想思維是人們在認(rèn)識事物的過程中，根據(jù)事物之間的某種聯(lián)系，由一事物聯(lián)想到另一事物的心理過程。它是一種由此及彼的思維活動(dòng)。聯(lián)想思維在認(rèn)識活動(dòng)過程中起著橋梁和紐帶的作用。對于一些未知的數(shù)學(xué)知識，通過已知知識和未知知識之間的聯(lián)系，從而使一些有未知知識的數(shù)學(xué)問題得以解決。在數(shù)學(xué)的具體解題過程中，通過對題設(shè)中的條件、圖形特征以及求解目標(biāo)分析，從而聯(lián)想到有關(guān)已知的定義、定理、法則等，最終找到解題的思路和方法。本文將對在數(shù)學(xué)中運(yùn)用的聯(lián)想思維進(jìn)行研究，包括其作用以及如何培養(yǎng)。

愛因斯坦認(rèn)為：科學(xué)研究真正可貴的因素是直覺思維。同樣，數(shù)學(xué)解題中聯(lián)想靈感迸發(fā)也離不開直覺思維。對問題在作全面的思考之后，不經(jīng)詳盡的推理步驟，直接觸及對象的本質(zhì)，迅速得出預(yù)感性判斷?？梢哉f聯(lián)想是靈感誘發(fā)而產(chǎn)生的，特別在一些問題無從下手時(shí)，就需由聯(lián)想來產(chǎn)生解題靈感，使本來困難、受阻的題目，迎刃而解。

例：若a，b，c，d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1。

求證：-1≤ac+bd≤1，sin2α+cos2α=1。

分析：聯(lián)想，令a=sinβ，b=cosβ，c=sinγ，d=cosγ，這樣可以使問題可很容易得到解決。

通過以上的理論和例子我們發(fā)現(xiàn)，聯(lián)想思維在具體的解題過程中，有著非常重要的作用。其思維方式不僅可以使很多數(shù)學(xué)題目，特別是較難的數(shù)學(xué)題目，可以通過這種思維形式得到輕而易舉的解決。而這樣的聯(lián)想思維是在具體的學(xué)習(xí)過程中逐步培養(yǎng)起來的。而數(shù)學(xué)是一門有著與現(xiàn)實(shí)生活密切聯(lián)系的學(xué)科。在日常的生活、工作以及學(xué)習(xí)中培養(yǎng)這種思維是無意識的，也是潛意識的。聯(lián)想是產(chǎn)生直覺的先導(dǎo)。猜想則是直覺的結(jié)果，所謂直覺，信息加工的原理來看，就是將零散、孤立的信息快速聯(lián)系和重組，從中產(chǎn)生新的有價(jià)值信息，聯(lián)系和重組的能力依賴于每個(gè)人的聯(lián)想空間，因此要不時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對面臨的問題進(jìn)行聯(lián)想。

曾有人說過：在心理中，思維被看作解題活動(dòng)雖然思維并不是總等于解題，但可以斷言，形成最有效辦法是通過解題來實(shí)現(xiàn)。而聯(lián)想靈感是創(chuàng)造性思維中最富有創(chuàng)造性特征的重要組成部分，所以聯(lián)想靈感在解題中有著不可低估的作用。再者，在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中對聯(lián)想思維的培養(yǎng)是很重要的，中學(xué)數(shù)學(xué)教師在授課的同時(shí)要注重對這些思維的培養(yǎng)。

二、觀察、數(shù)形結(jié)合，直覺思維的頓悟

已知x、y∈R，且x2+y2=4，求x+y的最大值和最小值。

這是課本上的一個(gè)習(xí)題。通過觀察結(jié)合圖形已知式知它表示一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，以２為半徑的圓（如圖2-1），于是問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn)（x，y）在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，x+y=b在y軸上的截距b的最值問題。再借助于圖形進(jìn)一步觀察，可得結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng)直線x+y=b運(yùn)動(dòng)到l1位置與圓相切時(shí)，取得最大值；運(yùn)動(dòng)到l2位置與圓相切時(shí)，取得最小值，由此不難求得x+y的最大值為2，最小值為－2。

三、類比、對比，直覺思維的橋梁

類比的特性是：兩個(gè)對象的某些屬性是相同的，或者表面上毫無共同之處，只是在某種觀點(diǎn)上或某一抽象層次上是相似的，它的結(jié)論不是簡單的模仿、復(fù)制，而是創(chuàng)造性的設(shè)想。

在解題過程中，尋找解題的突破口，優(yōu)化解題方法，往往離不開類比聯(lián)想。類比作為一種推理方法，它既不同于歸納推理也不同于演繹推理，它是某種類型的遷移性、相似性的推理方式。應(yīng)用類比可以在兩個(gè)不同的知識領(lǐng)域之間實(shí)行知識的過渡，因此，人們常常把類比方法譽(yù)為理智的橋梁。經(jīng)常有這樣的情況：長時(shí)間沉思圈子之外有一個(gè)信息倒起了很大的作用，觸發(fā)信息的過渡，使問題得以解決。這往往得益于類比。正如康德所說：“每當(dāng)理解缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比，這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn)。”如在研究立體幾何時(shí)，往往會得益于平面幾何中的類比問題。

四、經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律

數(shù)學(xué)直覺思維在解題中應(yīng)用較多的都是利用長期積累經(jīng)驗(yàn)和掌握的規(guī)律，它是一種理性直覺，雖然有時(shí)拋棄了常規(guī)的推理和論證，但它又有跡可尋，決非空穴來風(fēng)，有時(shí)又不受任何模式限制，思維空間的廣度和深度較大較深，它就要我們具備豐富的經(jīng)驗(yàn)和掌握常見數(shù)學(xué)規(guī)律，大膽的預(yù)測，探索解題的方向。這個(gè)經(jīng)驗(yàn)的獲得可能需要經(jīng)過大量的實(shí)踐才能獲得。

數(shù)學(xué)直覺是具有意識的人腦對數(shù)學(xué)對象的某種直接的領(lǐng)悟和洞察。培養(yǎng)直覺思維能力是社會發(fā)展的需要，適應(yīng)新時(shí)期社會對人才的需求。我們在教育的實(shí)踐中認(rèn)識到，在注重邏輯思維培養(yǎng)的同時(shí)，還應(yīng)該注重對觀察力、直覺力、想象力、直覺思維的培養(yǎng)。

（作者單位：江西省鄱陽二中）

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直覺思維同邏輯思維一樣，是人的一種基本思維形式。研究表明，直覺思維在人的創(chuàng)造思維能力中占有舉足輕重的地位。然而，在目前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中往往偏重于演繹推理的訓(xùn)練，強(qiáng)化形式論證的邏輯的嚴(yán)密性，忽視了直覺思維在解題中預(yù)知導(dǎo)向和頓悟的作用，也失去了數(shù)學(xué)思維形成過程中直觀生動(dòng)的一面，這在一定范圍上限制了學(xué)生思維素質(zhì)的提高，與現(xiàn)代素質(zhì)教育要求背道而馳，所以培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一。本文將從直覺思維如何解決數(shù)學(xué)問題的角度來進(jìn)行探討。

一、聯(lián)想和猜想開拓思路，激發(fā)直覺思維

聯(lián)想是由當(dāng)前感知的事物回憶起有關(guān)另一事物的心理過程。在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，聯(lián)想可以溝通數(shù)學(xué)對象和有關(guān)知識間的聯(lián)系。而聯(lián)想思維是人們在認(rèn)識事物的過程中，根據(jù)事物之間的某種聯(lián)系，由一事物聯(lián)想到另一事物的心理過程。它是一種由此及彼的思維活動(dòng)。聯(lián)想思維在認(rèn)識活動(dòng)過程中起著橋梁和紐帶的作用。對于一些未知的數(shù)學(xué)知識，通過已知知識和未知知識之間的聯(lián)系，從而使一些有未知知識的數(shù)學(xué)問題得以解決。在數(shù)學(xué)的具體解題過程中，通過對題設(shè)中的條件、圖形特征以及求解目標(biāo)分析，從而聯(lián)想到有關(guān)已知的定義、定理、法則等，最終找到解題的思路和方法。本文將對在數(shù)學(xué)中運(yùn)用的聯(lián)想思維進(jìn)行研究，包括其作用以及如何培養(yǎng)。

愛因斯坦認(rèn)為：科學(xué)研究真正可貴的因素是直覺思維。同樣，數(shù)學(xué)解題中聯(lián)想靈感迸發(fā)也離不開直覺思維。對問題在作全面的思考之后，不經(jīng)詳盡的推理步驟，直接觸及對象的本質(zhì)，迅速得出預(yù)感性判斷?？梢哉f聯(lián)想是靈感誘發(fā)而產(chǎn)生的，特別在一些問題無從下手時(shí)，就需由聯(lián)想來產(chǎn)生解題靈感，使本來困難、受阻的題目，迎刃而解。

例：若a，b，c，d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1。

求證：-1≤ac+bd≤1，sin2α+cos2α=1。

分析：聯(lián)想，令a=sinβ，b=cosβ，c=sinγ，d=cosγ，這樣可以使問題可很容易得到解決。

通過以上的理論和例子我們發(fā)現(xiàn)，聯(lián)想思維在具體的解題過程中，有著非常重要的作用。其思維方式不僅可以使很多數(shù)學(xué)題目，特別是較難的數(shù)學(xué)題目，可以通過這種思維形式得到輕而易舉的解決。而這樣的聯(lián)想思維是在具體的學(xué)習(xí)過程中逐步培養(yǎng)起來的。而數(shù)學(xué)是一門有著與現(xiàn)實(shí)生活密切聯(lián)系的學(xué)科。在日常的生活、工作以及學(xué)習(xí)中培養(yǎng)這種思維是無意識的，也是潛意識的。聯(lián)想是產(chǎn)生直覺的先導(dǎo)。猜想則是直覺的結(jié)果，所謂直覺，信息加工的原理來看，就是將零散、孤立的信息快速聯(lián)系和重組，從中產(chǎn)生新的有價(jià)值信息，聯(lián)系和重組的能力依賴于每個(gè)人的聯(lián)想空間，因此要不時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對面臨的問題進(jìn)行聯(lián)想。

曾有人說過：在心理中，思維被看作解題活動(dòng)雖然思維并不是總等于解題，但可以斷言，形成最有效辦法是通過解題來實(shí)現(xiàn)。而聯(lián)想靈感是創(chuàng)造性思維中最富有創(chuàng)造性特征的重要組成部分，所以聯(lián)想靈感在解題中有著不可低估的作用。再者，在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中對聯(lián)想思維的培養(yǎng)是很重要的，中學(xué)數(shù)學(xué)教師在授課的同時(shí)要注重對這些思維的培養(yǎng)。

二、觀察、數(shù)形結(jié)合，直覺思維的頓悟

已知x、y∈R，且x2+y2=4，求x+y的最大值和最小值。

這是課本上的一個(gè)習(xí)題。通過觀察結(jié)合圖形已知式知它表示一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，以２為半徑的圓（如圖2-1），于是問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn)（x，y）在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，x+y=b在y軸上的截距b的最值問題。再借助于圖形進(jìn)一步觀察，可得結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng)直線x+y=b運(yùn)動(dòng)到l1位置與圓相切時(shí)，取得最大值；運(yùn)動(dòng)到l2位置與圓相切時(shí)，取得最小值，由此不難求得x+y的最大值為2，最小值為－2。

三、類比、對比，直覺思維的橋梁

類比的特性是：兩個(gè)對象的某些屬性是相同的，或者表面上毫無共同之處，只是在某種觀點(diǎn)上或某一抽象層次上是相似的，它的結(jié)論不是簡單的模仿、復(fù)制，而是創(chuàng)造性的設(shè)想。

在解題過程中，尋找解題的突破口，優(yōu)化解題方法，往往離不開類比聯(lián)想。類比作為一種推理方法，它既不同于歸納推理也不同于演繹推理，它是某種類型的遷移性、相似性的推理方式。應(yīng)用類比可以在兩個(gè)不同的知識領(lǐng)域之間實(shí)行知識的過渡，因此，人們常常把類比方法譽(yù)為理智的橋梁。經(jīng)常有這樣的情況：長時(shí)間沉思圈子之外有一個(gè)信息倒起了很大的作用，觸發(fā)信息的過渡，使問題得以解決。這往往得益于類比。正如康德所說：“每當(dāng)理解缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比，這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn)?！比缭谘芯苛Ⅲw幾何時(shí)，往往會得益于平面幾何中的類比問題。

四、經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律

數(shù)學(xué)直覺思維在解題中應(yīng)用較多的都是利用長期積累經(jīng)驗(yàn)和掌握的規(guī)律，它是一種理性直覺，雖然有時(shí)拋棄了常規(guī)的推理和論證，但它又有跡可尋，決非空穴來風(fēng)，有時(shí)又不受任何模式限制，思維空間的廣度和深度較大較深，它就要我們具備豐富的經(jīng)驗(yàn)和掌握常見數(shù)學(xué)規(guī)律，大膽的預(yù)測，探索解題的方向。這個(gè)經(jīng)驗(yàn)的獲得可能需要經(jīng)過大量的實(shí)踐才能獲得。

數(shù)學(xué)直覺是具有意識的人腦對數(shù)學(xué)對象的某種直接的領(lǐng)悟和洞察。培養(yǎng)直覺思維能力是社會發(fā)展的需要，適應(yīng)新時(shí)期社會對人才的需求。我們在教育的實(shí)踐中認(rèn)識到，在注重邏輯思維培養(yǎng)的同時(shí)，還應(yīng)該注重對觀察力、直覺力、想象力、直覺思維的培養(yǎng)。

（作者單位：江西省鄱陽二中）

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直覺思維同邏輯思維一樣，是人的一種基本思維形式。研究表明，直覺思維在人的創(chuàng)造思維能力中占有舉足輕重的地位。然而，在目前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中往往偏重于演繹推理的訓(xùn)練，強(qiáng)化形式論證的邏輯的嚴(yán)密性，忽視了直覺思維在解題中預(yù)知導(dǎo)向和頓悟的作用，也失去了數(shù)學(xué)思維形成過程中直觀生動(dòng)的一面，這在一定范圍上限制了學(xué)生思維素質(zhì)的提高，與現(xiàn)代素質(zhì)教育要求背道而馳，所以培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一。本文將從直覺思維如何解決數(shù)學(xué)問題的角度來進(jìn)行探討。

一、聯(lián)想和猜想開拓思路，激發(fā)直覺思維

聯(lián)想是由當(dāng)前感知的事物回憶起有關(guān)另一事物的心理過程。在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，聯(lián)想可以溝通數(shù)學(xué)對象和有關(guān)知識間的聯(lián)系。而聯(lián)想思維是人們在認(rèn)識事物的過程中，根據(jù)事物之間的某種聯(lián)系，由一事物聯(lián)想到另一事物的心理過程。它是一種由此及彼的思維活動(dòng)。聯(lián)想思維在認(rèn)識活動(dòng)過程中起著橋梁和紐帶的作用。對于一些未知的數(shù)學(xué)知識，通過已知知識和未知知識之間的聯(lián)系，從而使一些有未知知識的數(shù)學(xué)問題得以解決。在數(shù)學(xué)的具體解題過程中，通過對題設(shè)中的條件、圖形特征以及求解目標(biāo)分析，從而聯(lián)想到有關(guān)已知的定義、定理、法則等，最終找到解題的思路和方法。本文將對在數(shù)學(xué)中運(yùn)用的聯(lián)想思維進(jìn)行研究，包括其作用以及如何培養(yǎng)。

愛因斯坦認(rèn)為：科學(xué)研究真正可貴的因素是直覺思維。同樣，數(shù)學(xué)解題中聯(lián)想靈感迸發(fā)也離不開直覺思維。對問題在作全面的思考之后，不經(jīng)詳盡的推理步驟，直接觸及對象的本質(zhì)，迅速得出預(yù)感性判斷。可以說聯(lián)想是靈感誘發(fā)而產(chǎn)生的，特別在一些問題無從下手時(shí)，就需由聯(lián)想來產(chǎn)生解題靈感，使本來困難、受阻的題目，迎刃而解。

例：若a，b，c，d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1。

求證：-1≤ac+bd≤1，sin2α+cos2α=1。

分析：聯(lián)想，令a=sinβ，b=cosβ，c=sinγ，d=cosγ，這樣可以使問題可很容易得到解決。

通過以上的理論和例子我們發(fā)現(xiàn)，聯(lián)想思維在具體的解題過程中，有著非常重要的作用。其思維方式不僅可以使很多數(shù)學(xué)題目，特別是較難的數(shù)學(xué)題目，可以通過這種思維形式得到輕而易舉的解決。而這樣的聯(lián)想思維是在具體的學(xué)習(xí)過程中逐步培養(yǎng)起來的。而數(shù)學(xué)是一門有著與現(xiàn)實(shí)生活密切聯(lián)系的學(xué)科。在日常的生活、工作以及學(xué)習(xí)中培養(yǎng)這種思維是無意識的，也是潛意識的。聯(lián)想是產(chǎn)生直覺的先導(dǎo)。猜想則是直覺的結(jié)果，所謂直覺，信息加工的原理來看，就是將零散、孤立的信息快速聯(lián)系和重組，從中產(chǎn)生新的有價(jià)值信息，聯(lián)系和重組的能力依賴于每個(gè)人的聯(lián)想空間，因此要不時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對面臨的問題進(jìn)行聯(lián)想。

曾有人說過：在心理中，思維被看作解題活動(dòng)雖然思維并不是總等于解題，但可以斷言，形成最有效辦法是通過解題來實(shí)現(xiàn)。而聯(lián)想靈感是創(chuàng)造性思維中最富有創(chuàng)造性特征的重要組成部分，所以聯(lián)想靈感在解題中有著不可低估的作用。再者，在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中對聯(lián)想思維的培養(yǎng)是很重要的，中學(xué)數(shù)學(xué)教師在授課的同時(shí)要注重對這些思維的培養(yǎng)。

二、觀察、數(shù)形結(jié)合，直覺思維的頓悟

已知x、y∈R，且x2+y2=4，求x+y的最大值和最小值。

這是課本上的一個(gè)習(xí)題。通過觀察結(jié)合圖形已知式知它表示一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，以２為半徑的圓（如圖2-1），于是問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn)（x，y）在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，x+y=b在y軸上的截距b的最值問題。再借助于圖形進(jìn)一步觀察，可得結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng)直線x+y=b運(yùn)動(dòng)到l1位置與圓相切時(shí)，取得最大值；運(yùn)動(dòng)到l2位置與圓相切時(shí)，取得最小值，由此不難求得x+y的最大值為2，最小值為－2。

三、類比、對比，直覺思維的橋梁

類比的特性是：兩個(gè)對象的某些屬性是相同的，或者表面上毫無共同之處，只是在某種觀點(diǎn)上或某一抽象層次上是相似的，它的結(jié)論不是簡單的模仿、復(fù)制，而是創(chuàng)造性的設(shè)想。

在解題過程中，尋找解題的突破口，優(yōu)化解題方法，往往離不開類比聯(lián)想。類比作為一種推理方法，它既不同于歸納推理也不同于演繹推理，它是某種類型的遷移性、相似性的推理方式。應(yīng)用類比可以在兩個(gè)不同的知識領(lǐng)域之間實(shí)行知識的過渡，因此，人們常常把類比方法譽(yù)為理智的橋梁。經(jīng)常有這樣的情況：長時(shí)間沉思圈子之外有一個(gè)信息倒起了很大的作用，觸發(fā)信息的過渡，使問題得以解決。這往往得益于類比。正如康德所說：“每當(dāng)理解缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比，這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn)?！比缭谘芯苛Ⅲw幾何時(shí)，往往會得益于平面幾何中的類比問題。

四、經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律

數(shù)學(xué)直覺思維在解題中應(yīng)用較多的都是利用長期積累經(jīng)驗(yàn)和掌握的規(guī)律，它是一種理性直覺，雖然有時(shí)拋棄了常規(guī)的推理和論證，但它又有跡可尋，決非空穴來風(fēng)，有時(shí)又不受任何模式限制，思維空間的廣度和深度較大較深，它就要我們具備豐富的經(jīng)驗(yàn)和掌握常見數(shù)學(xué)規(guī)律，大膽的預(yù)測，探索解題的方向。這個(gè)經(jīng)驗(yàn)的獲得可能需要經(jīng)過大量的實(shí)踐才能獲得。

數(shù)學(xué)直覺是具有意識的人腦對數(shù)學(xué)對象的某種直接的領(lǐng)悟和洞察。培養(yǎng)直覺思維能力是社會發(fā)展的需要，適應(yīng)新時(shí)期社會對人才的需求。我們在教育的實(shí)踐中認(rèn)識到，在注重邏輯思維培養(yǎng)的同時(shí)，還應(yīng)該注重對觀察力、直覺力、想象力、直覺思維的培養(yǎng)。

（作者單位：江西省鄱陽二中）

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