從一道典型試題的融變談高三復(fù)習(xí)

董文元

高考復(fù)習(xí)時(shí)必須強(qiáng)調(diào)落實(shí)“三基”，向課堂要效益，向訓(xùn)練要成績(jī).基礎(chǔ)是什么？簡(jiǎn)單說(shuō)，就是課本.基礎(chǔ)好，就是課本內(nèi)容掌握得好.無(wú)論是哪個(gè)層次的學(xué)生，都應(yīng)該把教材吃透，做到定義會(huì)說(shuō)，公式會(huì)推，例題會(huì)講，習(xí)題會(huì)做.課本例題和習(xí)題是多年來(lái)經(jīng)過(guò)精心篩選后設(shè)置的，具有很強(qiáng)的示范性、典型性和探索性，在復(fù)習(xí)過(guò)程中要善于以這些題為原型，通過(guò)類(lèi)比、延伸、遷移、拓展，提出新問(wèn)題并加以解決、反思，充分挖掘例題的擴(kuò)張效應(yīng)，從而提高學(xué)生復(fù)習(xí)的積極性，培養(yǎng)他們的探索精神和創(chuàng)新精神.

一道典型的好題就是一道營(yíng)養(yǎng)豐富的“滋補(bǔ)大餐”,我們應(yīng)該細(xì)細(xì)咀嚼、美美品味,充分地消化吸收,上掛下聯(lián)、左右逢源、前后呼應(yīng)、觸類(lèi)旁通、引申拓展,使其教育教學(xué)功能發(fā)揮到淋漓盡致!絕不能就題論題,造成了資源的浪費(fèi)與復(fù)習(xí)效果的低下.下面就一道平面向量習(xí)題談高三復(fù)習(xí),供大家參考.

例如圖1,P,Q為線(xiàn)段AB的三等分點(diǎn),用OA,OB表示OP,OQ.

分析由題知AP=12PB,要用OA,OB表示OP,只需把AP,PB全部用OA,OB,OP表示,再分離

出OP即可.

事實(shí)上,因?yàn)锳P=12PB,所以O(shè)P-OA=12(OB-OP)，

從而得OP=23OA+13OB.（1）

老師：(引申1)若AP=λPB(λ≠-1),能否用OA,OB表示OP呢?

學(xué)生1：依照上題的思路,同樣由OP-OA=λ(OB-OP)得OP=11+λOA+λ1+λOB.（2）

老師： AP=λPB說(shuō)明A、P、B三點(diǎn)的位置關(guān)系如何?

學(xué)生2：三點(diǎn)共線(xiàn).

老師：(引導(dǎo)啟發(fā))觀察(1)、(2)中OA,OB的系數(shù),你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

學(xué)生3： 很自豪地舉手回答系數(shù)之和等于1,同學(xué)們報(bào)以熱烈的掌聲!

老師：老師故作深沉,是不是一種巧合?能否推廣?請(qǐng)同學(xué)們思考,推理之后給出答案.

學(xué)生4：(黑板推演)O為平面內(nèi)任一點(diǎn), 由A、B、P三點(diǎn)共線(xiàn),

可設(shè)AP=tAB,則OP-OA=t(OB-OA).

所以O(shè)P=(1-t)OA+t

OB,令m=1-t,n=t.

即OP=mOA+nOB(m+n=1(m,n∈R)).同學(xué)4對(duì)同學(xué)3的回答給于嚴(yán)格的推理,說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是數(shù)學(xué)的,數(shù)學(xué)的就得嚴(yán)謹(jǐn).

老師：(追問(wèn))反過(guò)來(lái)成立嗎?請(qǐng)同學(xué)們?cè)偎伎冀o出嚴(yán)格的推理.(推演略）

若為同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量e1,e2,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2.

老師：這就是赫赫有名的“平面向量基本定理”,它說(shuō)明平面內(nèi)的向量分解的唯一性.平面向量基本定理是向量共線(xiàn)定理的推廣,事實(shí)上,平面向量基本定理又可推廣到空間向量基本定理,即任一空間向量可用不共線(xiàn)的三個(gè)非零向量來(lái)線(xiàn)性表示,而且這種表示是唯一的.這三個(gè)定理都可以看成向量分解的唯一性,只不過(guò)范圍不同而已.

老師： 若不共線(xiàn)的一組基底取平面直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向的單位向量i,j，a用i,j表示會(huì)出現(xiàn)怎樣的結(jié)果呢?這個(gè)問(wèn)題我們下節(jié)課繼續(xù)研究.接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考

老師：OQ如何用OA,OB表示?OP+OQ結(jié)果如何?

同學(xué)5：(很輕松的給出結(jié)論)OQ=13OA+23OB,OP+OQ=OA+OB.

老師：當(dāng)點(diǎn)P,Q為線(xiàn)段AB的三等分點(diǎn)時(shí),有OP+OQ=OA+OB,

如果A1、A2、A3,…,An-1是AB的n(n≥3)等分點(diǎn),你能夠得到什么結(jié)論?思考之后老師給出推導(dǎo)：

OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).

因?yàn)镺Ak=OA+AAn-k=OA+n-knAB=OA+AB-knAB=OB-knAB，

所以O(shè)Ak+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).

老師：上述結(jié)論,你會(huì)聯(lián)想到等差數(shù)列的什么性質(zhì)?

同學(xué)7：(很欣然地)在等差數(shù)列中,與“首末”兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的和是“首末”兩項(xiàng)的和，也就是若m+n=p+q,則am+an=ap+aq（其中m,n,p,q均為正整數(shù)）.

老師：(乘勝追擊)利用這個(gè)結(jié)論，思考：OA=a,OB=b,A1,A2,…,An-1(n∈N,n>1)是線(xiàn)段AB的n等分點(diǎn)，則OA1+OA2+…+OAn-1=(a+b).

同學(xué)8：（手舞足蹈）“倒序相加法”

令M=OA1,+OA2+OA3+…+OAn-2+OAn-1,又M=OAn-1+OAn-2+OAn-3+…+OA2+OA1

兩式相加得2M=(OA1+OAn-1)+(OA2+OAn-2)+…+(OAn-2+OA2)+(OAn-1+OA1)=(n-1)(OA+OB)即M=n-12(OA+OB).

教室里響起經(jīng)久不息的掌聲！

老師： (總結(jié))好！請(qǐng)同學(xué)們回顧這節(jié)課的內(nèi)容，用一句話(huà)語(yǔ)進(jìn)行總結(jié)：

學(xué)生8：“數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)是清楚的，數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?

在突出“能力”考查的今天，強(qiáng)調(diào)能力決不意味著可以忽視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法，對(duì)“三基”的考查仍是高考的基調(diào)之一.因此，高三數(shù)學(xué)教學(xué)必須按《考試說(shuō)明》對(duì)知識(shí)內(nèi)容的不同層次要求，全面系統(tǒng)地復(fù)習(xí)，切實(shí)抓住“三基”的教與學(xué)，讓學(xué)生真正理解掌握，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，融會(huì)貫通，舉一反三.此題融合了多種數(shù)學(xué)思想和方法，是高三復(fù)習(xí)的絕佳素材.

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高考復(fù)習(xí)時(shí)必須強(qiáng)調(diào)落實(shí)“三基”，向課堂要效益，向訓(xùn)練要成績(jī).基礎(chǔ)是什么？簡(jiǎn)單說(shuō)，就是課本.基礎(chǔ)好，就是課本內(nèi)容掌握得好.無(wú)論是哪個(gè)層次的學(xué)生，都應(yīng)該把教材吃透，做到定義會(huì)說(shuō)，公式會(huì)推，例題會(huì)講，習(xí)題會(huì)做.課本例題和習(xí)題是多年來(lái)經(jīng)過(guò)精心篩選后設(shè)置的，具有很強(qiáng)的示范性、典型性和探索性，在復(fù)習(xí)過(guò)程中要善于以這些題為原型，通過(guò)類(lèi)比、延伸、遷移、拓展，提出新問(wèn)題并加以解決、反思，充分挖掘例題的擴(kuò)張效應(yīng)，從而提高學(xué)生復(fù)習(xí)的積極性，培養(yǎng)他們的探索精神和創(chuàng)新精神.

一道典型的好題就是一道營(yíng)養(yǎng)豐富的“滋補(bǔ)大餐”,我們應(yīng)該細(xì)細(xì)咀嚼、美美品味,充分地消化吸收,上掛下聯(lián)、左右逢源、前后呼應(yīng)、觸類(lèi)旁通、引申拓展,使其教育教學(xué)功能發(fā)揮到淋漓盡致!絕不能就題論題,造成了資源的浪費(fèi)與復(fù)習(xí)效果的低下.下面就一道平面向量習(xí)題談高三復(fù)習(xí),供大家參考.

例如圖1,P,Q為線(xiàn)段AB的三等分點(diǎn),用OA,OB表示OP,OQ.

分析由題知AP=12PB,要用OA,OB表示OP,只需把AP,PB全部用OA,OB,OP表示,再分離

出OP即可.

事實(shí)上,因?yàn)锳P=12PB,所以O(shè)P-OA=12(OB-OP)，

從而得OP=23OA+13OB.（1）

老師：(引申1)若AP=λPB(λ≠-1),能否用OA,OB表示OP呢?

學(xué)生1：依照上題的思路,同樣由OP-OA=λ(OB-OP)得OP=11+λOA+λ1+λOB.（2）

老師： AP=λPB說(shuō)明A、P、B三點(diǎn)的位置關(guān)系如何?

學(xué)生2：三點(diǎn)共線(xiàn).

老師：(引導(dǎo)啟發(fā))觀察(1)、(2)中OA,OB的系數(shù),你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

學(xué)生3： 很自豪地舉手回答系數(shù)之和等于1,同學(xué)們報(bào)以熱烈的掌聲!

老師：老師故作深沉,是不是一種巧合?能否推廣?請(qǐng)同學(xué)們思考,推理之后給出答案.

學(xué)生4：(黑板推演)O為平面內(nèi)任一點(diǎn), 由A、B、P三點(diǎn)共線(xiàn),

可設(shè)AP=tAB,則OP-OA=t(OB-OA).

所以O(shè)P=(1-t)OA+t

OB,令m=1-t,n=t.

即OP=mOA+nOB(m+n=1(m,n∈R)).同學(xué)4對(duì)同學(xué)3的回答給于嚴(yán)格的推理,說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是數(shù)學(xué)的,數(shù)學(xué)的就得嚴(yán)謹(jǐn).

老師：(追問(wèn))反過(guò)來(lái)成立嗎?請(qǐng)同學(xué)們?cè)偎伎冀o出嚴(yán)格的推理.(推演略）

若為同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量e1,e2,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2.

老師：這就是赫赫有名的“平面向量基本定理”,它說(shuō)明平面內(nèi)的向量分解的唯一性.平面向量基本定理是向量共線(xiàn)定理的推廣,事實(shí)上,平面向量基本定理又可推廣到空間向量基本定理,即任一空間向量可用不共線(xiàn)的三個(gè)非零向量來(lái)線(xiàn)性表示,而且這種表示是唯一的.這三個(gè)定理都可以看成向量分解的唯一性,只不過(guò)范圍不同而已.

老師： 若不共線(xiàn)的一組基底取平面直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向的單位向量i,j，a用i,j表示會(huì)出現(xiàn)怎樣的結(jié)果呢?這個(gè)問(wèn)題我們下節(jié)課繼續(xù)研究.接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考

老師：OQ如何用OA,OB表示?OP+OQ結(jié)果如何?

同學(xué)5：(很輕松的給出結(jié)論)OQ=13OA+23OB,OP+OQ=OA+OB.

老師：當(dāng)點(diǎn)P,Q為線(xiàn)段AB的三等分點(diǎn)時(shí),有OP+OQ=OA+OB,

如果A1、A2、A3,…,An-1是AB的n(n≥3)等分點(diǎn),你能夠得到什么結(jié)論?思考之后老師給出推導(dǎo)：

OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).

因?yàn)镺Ak=OA+AAn-k=OA+n-knAB=OA+AB-knAB=OB-knAB，

所以O(shè)Ak+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).

老師：上述結(jié)論,你會(huì)聯(lián)想到等差數(shù)列的什么性質(zhì)?

同學(xué)7：(很欣然地)在等差數(shù)列中,與“首末”兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的和是“首末”兩項(xiàng)的和，也就是若m+n=p+q,則am+an=ap+aq（其中m,n,p,q均為正整數(shù)）.

老師：(乘勝追擊)利用這個(gè)結(jié)論，思考：OA=a,OB=b,A1,A2,…,An-1(n∈N,n>1)是線(xiàn)段AB的n等分點(diǎn)，則OA1+OA2+…+OAn-1=(a+b).

同學(xué)8：（手舞足蹈）“倒序相加法”

令M=OA1,+OA2+OA3+…+OAn-2+OAn-1,又M=OAn-1+OAn-2+OAn-3+…+OA2+OA1

兩式相加得2M=(OA1+OAn-1)+(OA2+OAn-2)+…+(OAn-2+OA2)+(OAn-1+OA1)=(n-1)(OA+OB)即M=n-12(OA+OB).

教室里響起經(jīng)久不息的掌聲！

老師： (總結(jié))好！請(qǐng)同學(xué)們回顧這節(jié)課的內(nèi)容，用一句話(huà)語(yǔ)進(jìn)行總結(jié)：

學(xué)生8：“數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)是清楚的，數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?

在突出“能力”考查的今天，強(qiáng)調(diào)能力決不意味著可以忽視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法，對(duì)“三基”的考查仍是高考的基調(diào)之一.因此，高三數(shù)學(xué)教學(xué)必須按《考試說(shuō)明》對(duì)知識(shí)內(nèi)容的不同層次要求，全面系統(tǒng)地復(fù)習(xí)，切實(shí)抓住“三基”的教與學(xué)，讓學(xué)生真正理解掌握，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，融會(huì)貫通，舉一反三.此題融合了多種數(shù)學(xué)思想和方法，是高三復(fù)習(xí)的絕佳素材.

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高考復(fù)習(xí)時(shí)必須強(qiáng)調(diào)落實(shí)“三基”，向課堂要效益，向訓(xùn)練要成績(jī).基礎(chǔ)是什么？簡(jiǎn)單說(shuō)，就是課本.基礎(chǔ)好，就是課本內(nèi)容掌握得好.無(wú)論是哪個(gè)層次的學(xué)生，都應(yīng)該把教材吃透，做到定義會(huì)說(shuō)，公式會(huì)推，例題會(huì)講，習(xí)題會(huì)做.課本例題和習(xí)題是多年來(lái)經(jīng)過(guò)精心篩選后設(shè)置的，具有很強(qiáng)的示范性、典型性和探索性，在復(fù)習(xí)過(guò)程中要善于以這些題為原型，通過(guò)類(lèi)比、延伸、遷移、拓展，提出新問(wèn)題并加以解決、反思，充分挖掘例題的擴(kuò)張效應(yīng)，從而提高學(xué)生復(fù)習(xí)的積極性，培養(yǎng)他們的探索精神和創(chuàng)新精神.

一道典型的好題就是一道營(yíng)養(yǎng)豐富的“滋補(bǔ)大餐”,我們應(yīng)該細(xì)細(xì)咀嚼、美美品味,充分地消化吸收,上掛下聯(lián)、左右逢源、前后呼應(yīng)、觸類(lèi)旁通、引申拓展,使其教育教學(xué)功能發(fā)揮到淋漓盡致!絕不能就題論題,造成了資源的浪費(fèi)與復(fù)習(xí)效果的低下.下面就一道平面向量習(xí)題談高三復(fù)習(xí),供大家參考.

例如圖1,P,Q為線(xiàn)段AB的三等分點(diǎn),用OA,OB表示OP,OQ.

分析由題知AP=12PB,要用OA,OB表示OP,只需把AP,PB全部用OA,OB,OP表示,再分離

出OP即可.

事實(shí)上,因?yàn)锳P=12PB,所以O(shè)P-OA=12(OB-OP)，

從而得OP=23OA+13OB.（1）

老師：(引申1)若AP=λPB(λ≠-1),能否用OA,OB表示OP呢?

學(xué)生1：依照上題的思路,同樣由OP-OA=λ(OB-OP)得OP=11+λOA+λ1+λOB.（2）

老師： AP=λPB說(shuō)明A、P、B三點(diǎn)的位置關(guān)系如何?

學(xué)生2：三點(diǎn)共線(xiàn).

老師：(引導(dǎo)啟發(fā))觀察(1)、(2)中OA,OB的系數(shù),你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

學(xué)生3： 很自豪地舉手回答系數(shù)之和等于1,同學(xué)們報(bào)以熱烈的掌聲!

老師：老師故作深沉,是不是一種巧合?能否推廣?請(qǐng)同學(xué)們思考,推理之后給出答案.

學(xué)生4：(黑板推演)O為平面內(nèi)任一點(diǎn), 由A、B、P三點(diǎn)共線(xiàn),

可設(shè)AP=tAB,則OP-OA=t(OB-OA).

所以O(shè)P=(1-t)OA+t

OB,令m=1-t,n=t.

即OP=mOA+nOB(m+n=1(m,n∈R)).同學(xué)4對(duì)同學(xué)3的回答給于嚴(yán)格的推理,說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是數(shù)學(xué)的,數(shù)學(xué)的就得嚴(yán)謹(jǐn).

老師：(追問(wèn))反過(guò)來(lái)成立嗎?請(qǐng)同學(xué)們?cè)偎伎冀o出嚴(yán)格的推理.(推演略）

若為同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量e1,e2,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2.

老師：這就是赫赫有名的“平面向量基本定理”,它說(shuō)明平面內(nèi)的向量分解的唯一性.平面向量基本定理是向量共線(xiàn)定理的推廣,事實(shí)上,平面向量基本定理又可推廣到空間向量基本定理,即任一空間向量可用不共線(xiàn)的三個(gè)非零向量來(lái)線(xiàn)性表示,而且這種表示是唯一的.這三個(gè)定理都可以看成向量分解的唯一性,只不過(guò)范圍不同而已.

老師： 若不共線(xiàn)的一組基底取平面直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向的單位向量i,j，a用i,j表示會(huì)出現(xiàn)怎樣的結(jié)果呢?這個(gè)問(wèn)題我們下節(jié)課繼續(xù)研究.接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考

老師：OQ如何用OA,OB表示?OP+OQ結(jié)果如何?

同學(xué)5：(很輕松的給出結(jié)論)OQ=13OA+23OB,OP+OQ=OA+OB.

老師：當(dāng)點(diǎn)P,Q為線(xiàn)段AB的三等分點(diǎn)時(shí),有OP+OQ=OA+OB,

如果A1、A2、A3,…,An-1是AB的n(n≥3)等分點(diǎn),你能夠得到什么結(jié)論?思考之后老師給出推導(dǎo)：

OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).

因?yàn)镺Ak=OA+AAn-k=OA+n-knAB=OA+AB-knAB=OB-knAB，

所以O(shè)Ak+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).

老師：上述結(jié)論,你會(huì)聯(lián)想到等差數(shù)列的什么性質(zhì)?

同學(xué)7：(很欣然地)在等差數(shù)列中,與“首末”兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的和是“首末”兩項(xiàng)的和，也就是若m+n=p+q,則am+an=ap+aq（其中m,n,p,q均為正整數(shù)）.

老師：(乘勝追擊)利用這個(gè)結(jié)論，思考：OA=a,OB=b,A1,A2,…,An-1(n∈N,n>1)是線(xiàn)段AB的n等分點(diǎn)，則OA1+OA2+…+OAn-1=(a+b).

同學(xué)8：（手舞足蹈）“倒序相加法”

令M=OA1,+OA2+OA3+…+OAn-2+OAn-1,又M=OAn-1+OAn-2+OAn-3+…+OA2+OA1

兩式相加得2M=(OA1+OAn-1)+(OA2+OAn-2)+…+(OAn-2+OA2)+(OAn-1+OA1)=(n-1)(OA+OB)即M=n-12(OA+OB).

教室里響起經(jīng)久不息的掌聲！

老師： (總結(jié))好！請(qǐng)同學(xué)們回顧這節(jié)課的內(nèi)容，用一句話(huà)語(yǔ)進(jìn)行總結(jié)：

學(xué)生8：“數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)是清楚的，數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?

在突出“能力”考查的今天，強(qiáng)調(diào)能力決不意味著可以忽視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法，對(duì)“三基”的考查仍是高考的基調(diào)之一.因此，高三數(shù)學(xué)教學(xué)必須按《考試說(shuō)明》對(duì)知識(shí)內(nèi)容的不同層次要求，全面系統(tǒng)地復(fù)習(xí)，切實(shí)抓住“三基”的教與學(xué)，讓學(xué)生真正理解掌握，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，融會(huì)貫通，舉一反三.此題融合了多種數(shù)學(xué)思想和方法，是高三復(fù)習(xí)的絕佳素材.

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