球與平面彈塑性接觸的計算分析

官春平，金宏平

(1.廣東輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣州 510300；2.湖北汽車工業(yè)學(xué)院 機械工程學(xué)院，湖北 十堰 442002)

滾動軸承作為機械設(shè)備的關(guān)鍵部件，其運行狀態(tài)直接影響到整個機械系統(tǒng)的性能。據(jù)統(tǒng)計，約30%的旋轉(zhuǎn)機械故障由滾動軸承的損傷造成。對于小型軸承，由于承受的載荷較小，通常假定軸承的內(nèi)、外圈為完全剛性，而滾動體為彈性變形，然后采用Hertz接觸理論研究軸承的接觸應(yīng)力和變形等。但對于大型軸承，如風(fēng)力發(fā)電機軸承、工程機械的轉(zhuǎn)盤軸承等，由于其支承結(jié)構(gòu)本身受載變形較大，內(nèi)、外圈滾道與滾動體在接觸點會發(fā)生一定程度的塑性變形，這種情況超出了Hertz彈性接觸理論的適用范圍，因此必須采用彈塑性接觸分析來研究軸承的接觸載荷、接觸應(yīng)力和接觸變形等。

由于軸承的結(jié)構(gòu)和所承受的工作載荷均具有對稱性，因此可以將其等效為單個滾動體與內(nèi)、外圈的接觸問題。而對于球軸承，為了便于分析，一般將其簡化為球與平面的接觸。根據(jù)接觸力學(xué)理論，在球與平面的接觸過程中，當(dāng)接觸變形較小時，接觸體處于完全彈性接觸狀態(tài)，可以采用Hertz接觸理論進行分析。當(dāng)接觸變形超過某一值后，接觸體將發(fā)生屈服而出現(xiàn)彈塑性變形。最初的塑性變形出現(xiàn)在接觸體內(nèi)部，塑性區(qū)域位于接觸中心的正上方，而接觸區(qū)域仍然處于彈性變形階段。隨著外部載荷增加，接觸變形進一步增大，接觸體的塑性變形區(qū)域逐漸擴大，處于接觸區(qū)域的材料也會發(fā)生屈服，此時，接觸區(qū)域處于彈塑性變形階段[1]。由于材料的彈塑性變形使得球與平面的接觸問題復(fù)雜化，不僅存在接觸的非線性和幾何變形的非線性，還存在材料塑性變形的非線性，以致無法用解析模型來描述球與平面的接觸過程。為此，不少學(xué)者根據(jù)接觸力學(xué)和變形機理推導(dǎo)了多種近似解析模型，但由于目的不同，這些模型之間存在較大差別[2-6]。如果滾動體長期處于彈塑性或塑性接觸狀態(tài)，會嚴重影響軸承的壽命和旋轉(zhuǎn)精度。因此，有必要對球與平面發(fā)生彈塑性接觸時的參數(shù)進行研究，以便為軸承的設(shè)計或選用提供技術(shù)支持。

1 球與平面彈塑性接觸理論分析

根據(jù)Tabor理論[1]，當(dāng)球與平面的接觸狀態(tài)從完全彈性接觸階段轉(zhuǎn)變到完全塑性變形階段，即處于彈塑性變形階段時，其最大接觸應(yīng)力p0將從0.6H增加到3H(H為材料的硬度)。由于該階段接觸區(qū)域既有彈性變形又有塑性變形，因此接觸半徑a、接觸載荷F與接觸變形δ之間的關(guān)系比較復(fù)雜，此時接觸應(yīng)力分布也不能用Hertz接觸應(yīng)力分布公式來描述。針對這種情況，文獻[7]將接觸應(yīng)力進行分區(qū)假設(shè)：接觸區(qū)域的中間部分存在塑性變形，其接觸應(yīng)力均勻分布且等于完全塑性變形時的接觸應(yīng)力；而接觸區(qū)域的其他部分處于彈性變形階段，其接觸應(yīng)力為Hertz接觸應(yīng)力分布，并從最大接觸應(yīng)力逐漸變?yōu)?。文獻[8]在此基礎(chǔ)上提出了“有限接觸應(yīng)力”的接觸應(yīng)力分布模型，如圖1所示，其接觸應(yīng)力表達式為

圖1 沿接觸面的接觸應(yīng)力分布

(1)

式中：E1，E2分別為球與平面材料的彈性模量；ν1，ν2分別為球與平面的泊松比；Re為材料的屈服強度；R為球的半徑；a為接觸半徑；b為接觸區(qū)域中心到彈塑性接觸應(yīng)力分界點的徑向距離。

根據(jù)接觸應(yīng)力連續(xù)性條件，在分界點處有

p(b)=CRe。

(2)

接觸半徑a遠小于球半徑R, 因此可得C的近似值為2.8，即在彈塑性變形階段，接觸區(qū)域中塑性變形部分的接觸應(yīng)力為常量。然而，根據(jù)文獻[9]可知，在發(fā)生初始屈服時，p0=1.6Re。根據(jù)Tabor理論[1]，當(dāng)球與平面接觸處于完全塑性變形時，p0=(2.8～3)Re。因此C應(yīng)該是與接觸變形δ或接觸半徑a有關(guān)的變量，有必要對“有限應(yīng)力分布”的假設(shè)進行適當(dāng)修正，即

(3)

式中：k為與接觸變形δ或接觸半徑a有關(guān)的函數(shù)。

將(3)式在整個接觸區(qū)域進行積分，可以得到球與平面接觸的接觸載荷為

(4)

根據(jù)接觸應(yīng)力連續(xù)性條件，當(dāng)r=b時，由(3)式可得

(5)

對(5)式進行數(shù)學(xué)變換可得

(6)

由(4)和(6)式可得

(7)

在(7)式右邊，只有k和a是未知數(shù)，而k無法通過解析法求得，a無法準確測量，因而通過有限元仿真對其進行求解。

根據(jù)(7)式計算出球與平面接觸的平均接觸應(yīng)力pm為

(8)

當(dāng)球與平面的接觸狀態(tài)從彈性變形轉(zhuǎn)變到彈塑性變形時[9]，其臨界點的平均接觸應(yīng)力pmy為

(9)

式中：Fy和ay分別為接觸變形處于臨界屈服狀態(tài)時的接觸載荷和接觸半徑。

將(9)式代入(8)式，計算得到臨界點處的接觸應(yīng)力系數(shù)k=1.466，因此k的取值范圍為1.466～3。

2 有限元仿真

為提高有限元仿真的效率，減小工作量，在建模時將球與平面的接觸模型簡化為軸對稱平面結(jié)構(gòu)并采用圓柱坐標(biāo)進行分析，如圖2所示。在ABAQUS中采用解析剛體來模擬球。球與平面在對稱軸上為軸對稱約束，平面底部施加水平約束。通過對球施加z向位移來實現(xiàn)加載，根據(jù)球上的反作用力獲得接觸載荷。在仿真中，模型材料采用理想彈塑性材料。

圖2 壓痕模型圖

3 仿真結(jié)果分析

根據(jù)Hertz接觸理論[1]，球與平面彈性接觸的接觸半徑與接觸變形的關(guān)系為

(10)

式中：δy為接觸處于臨界屈服點時的接觸變形。

球與平面的接觸處于完全塑性變形階段時，接觸半徑與接觸變形之間的關(guān)系式為[10]

(11)

根據(jù)有限元仿真分析得到的接觸半徑與接觸變形之間的變化關(guān)系如圖3所示。從圖中可以看出，當(dāng)接觸變形較小時，球與平面的接觸處于彈性變形階段，接觸半徑和接觸變形之間的關(guān)系與(10)式相符。隨著接觸載荷的增大，接觸變形增大，球與平面的接觸半徑也迅速增大。當(dāng)接觸半徑a/ay=18.1時，接觸面積A/Ay=2δ/δy(Ay為臨界屈服時的接觸面積)，此時δ/δy=163。

對圖3所示的接觸半徑與接觸變形的曲線進行擬合可得

圖3 接觸半徑與接觸變形的關(guān)系圖

(12)

由此可知，當(dāng)δ=δy,a/ay=0.961時，與(10)式的計算結(jié)果相比較，擬合誤差為3.9%；當(dāng)δ/δy=162，a/ay=17.97時，與(11)式的計算結(jié)果相比較，擬合誤差為0.17%?？梢姡鋽M合精度可以滿足工程需要。

有限元仿真分析得到的最大接觸應(yīng)力與接觸變形之間的變化關(guān)系如圖4所示。從圖中可以看出，當(dāng)球與平面的接觸處于彈性變形階段，即δ/δy<5.4時，最大接觸應(yīng)力隨接觸變形的增大呈線性增大趨勢；當(dāng)δ/δy>5.4時，球與平面的接觸進入到彈塑性變形階段，接觸應(yīng)力增速變慢，其主要原因是接觸面積快速增大。當(dāng)δ/δy=163時，球與平面的接觸進入到完全塑性變形階段，此時p0/Re=2.82。

圖4 最大接觸應(yīng)力與接觸變形的關(guān)系圖

對圖4的曲線進行分析，并結(jié)合(3)式得到k與接觸變形間的擬合函數(shù)為

(13)

平均接觸應(yīng)力和屈服強度之比F/(ARe)與接觸變形的變化關(guān)系如圖5所示。從圖中可以看出，當(dāng)1<δ/δy<2.55時，球與平面接觸中彈性變形占主要部分，因此，可以用Hertz接觸模型進行分析。當(dāng)δ/δy>2.55時，球與平面接觸中的塑性變形區(qū)域擴大，由于接觸面積比接觸載荷增大的快，因此其平均接觸應(yīng)力小于Hertz接觸應(yīng)力。

圖5 平均接觸應(yīng)力和屈服強度之比與接觸變形的關(guān)系圖

根據(jù)(7)～(9)式及臨界參數(shù)值，在彈塑性變形階段有

(14)

聯(lián)立(12)～(14)式，可得到彈塑性變形階段接觸載荷與接觸變形間的計算關(guān)系。有限元仿真結(jié)果和Hertz接觸模型計算結(jié)果對比如圖6所示。從圖中可以看出，當(dāng)δ/δy=1時，二者誤差不超過7%。

圖6 仿真結(jié)果與Hertz接觸模型計算結(jié)果對比圖

對于半徑為10 mm的GCr15鋼球，其彈性模量E=210 GPa，泊松比ν=0.3，屈服強度Re=520 MPa，當(dāng)其接觸變形δ=0.002 7 mm時，根據(jù)(9)，(12)～(14)式，可以得到其與剛性平面發(fā)生彈塑性接觸的參數(shù)，計算結(jié)果見表1。

表1 彈塑性接觸參數(shù)計算結(jié)果

4 結(jié)束語

以彈性接觸理論和彈塑性力學(xué)為基礎(chǔ)，分析了球與平面發(fā)生彈塑性接觸時的應(yīng)力分布。采用有限元分析方法獲得了彈塑性接觸時的接觸半徑、接觸應(yīng)力與接觸變形之間的關(guān)系?；凇坝邢迲?yīng)力分布”假設(shè)，建立了球與平面彈塑性接觸的半解析模型，可獲得二者間的接觸半徑、最大接觸應(yīng)力和接觸載荷等參數(shù)，為球軸承的設(shè)計與選型提供參考。