談數(shù)學(xué)解題的途徑

薄三德

數(shù)學(xué)習(xí)題類型繁多、技巧靈活，不可能總結(jié)出一套普遍適用的解題法則，可它畢竟還是存在著某些規(guī)律，現(xiàn)就中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的解題方法做一歸納。

1.用觀察法解題

解任何數(shù)學(xué)題的第一步都是審題。而有些題目經(jīng)全面觀察之后，就可發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)，一旦抓住了這些特點(diǎn)，就可以使問題大大簡(jiǎn)化或納入一種熟悉的模式，再不必去做繁雜的計(jì)算或論證。

例1：解方程（2+3+2-3）x=

6。

分析：我們注意到（2+3+

2-3）2=6，所以就想到了兩邊同時(shí)

平方的解法。這樣就避免了采用兩邊取對(duì)數(shù)解題所帶來的困難。

解：原方程兩邊平方，得[（2+3

+2-3）2]x=62，即6x=62，所以x=2。

2.將已知的條件變形以利于解題

在有些題目中，給定的條件不便于直接應(yīng)用，而當(dāng)留意到結(jié)論時(shí)將已知條件做某種變形后，就會(huì)使問題迎刃而解。

例2：設(shè)x2+x+1=0，求x14+x-14的值。

分析：方程x2+x+1=0無實(shí)根，估計(jì)求出x后再計(jì)算x14也不容易。但容易看出

（x-1）（x2+x+1）=x3-1=0，即x3=1，應(yīng)用這一條件去計(jì)算或者容易一些。

解：x14+x-14=（x3）4x2+（x3）-5+x=x2+x=-1.

3.將結(jié)論或欲求解的對(duì)象變形以便于解題

有些題目從表面上看來，似乎難以一下子用上已知條件，而當(dāng)把結(jié)論或欲求解的對(duì)象做適當(dāng)變形后，就可以明顯看到結(jié)論或欲求的對(duì)象與已知條件之間的關(guān)系，從而使問題獲解。分析法就屬于此類。

例3：如果A、B都是銳角且（1+tan A）（1+tan B）=2，全角求證：A+B=

π4。

分析：聯(lián)系到已知條件，發(fā)現(xiàn)需將結(jié)論變形，證明tan（A+B）=1即可。

證明：tan（A+B）=tan A+tan B1-tan Atan B，

由（1+tan A）（1+tan B）=2，求得tan A=

1-tan B1+tan B，代入上式即得tan（A+B）=

1。證畢。

4.把已知條件和結(jié)論或欲求解的對(duì)象都進(jìn)行變形

有些題目既不容易從已知條件推證到結(jié)論，也不容易從結(jié)論倒推至已知條件。但卻可以把兩者都進(jìn)行變形，變至一個(gè)共同相關(guān)的形勢(shì)，使之發(fā)生聯(lián)系，促成問題解決。

例4：已知x≠0，x+1x=1，證明：x4+1x4=-1。

分析：由x+1x=1中解出再去證明，估計(jì)比較繁瑣。已知條件相當(dāng)于x2-x+1=0，而所求證者可變?yōu)閤8+x4+1=0。然后加以證明。

證明：通過已知條件得x2-x+1=0，欲證x4+1x4=-1，只需證x8+x4+1=0。

而x8+x4+1=（x8+2x4+1）-x4=（x4+1）2-x4=（x4+x2+1）（x4-x2+1）=

[（x4+2x2+1）-x2]（x4-x2+1）=（x2-x+1）（x2+x+1）（x4-x2+1）=0。證畢。

5.用“一般”指導(dǎo)“特殊”

按理來說，當(dāng)問題在一般情形下的解答已經(jīng)掌握，那么，特殊情形下的解答就應(yīng)該是很容易的了。然而有時(shí)一個(gè)問題擺在面前，若不注意觀察和思考，并不容易發(fā)現(xiàn)它是什么定理或公式的特殊情形，致使頭緒茫然，無從下筆。如果經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)是某一般原理的特殊情形，問題就迎刃而解了。

例5：求（x+3y）（3x+y）（x+y）2展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和。

分析：實(shí)際將式子展開后再把各項(xiàng)系數(shù)相加，計(jì)算量較大。如果相乘的因式再多一些，這一方法將會(huì)遇到很大的困難。設(shè)想已將原式展開，系數(shù)是A、B、…E，而A+B+…+E只不過是當(dāng)取值為1時(shí)原式的一個(gè)特殊值。

解：所求系數(shù)之和是（1+3）（3+1）（1+1）2=64。

6.從“特殊”中發(fā)現(xiàn)“一般”

當(dāng)一個(gè)問題無從下手時(shí)，我們不妨先考察一下這個(gè)問題的特殊情況。當(dāng)特殊情況獲得了解決辦法時(shí)，往往會(huì)對(duì)一般情況下的解決有所啟示。一般屬于特殊之中，這種做法是符合認(rèn)識(shí)過程的。

例6：七人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人要相鄰，該有多少種排法？

分析：甲、乙、丙三人要相鄰，不妨先把甲、乙、丙作為一個(gè)人來考慮，就是先不考慮他們?nèi)说恼疚豁樞?，把這種特殊情況解決后再考慮一般情況。

解：若不計(jì)甲、乙、丙三人的站位順序，即相當(dāng)于五人照相共有5！=120種排法。而甲、乙、丙三人又有3！=6種排法，所以共有120×6=720種排法。

一個(gè)問題擺在面前，不一定非要把它認(rèn)定為代數(shù)問題、幾何問題或三角問題，這里沒有嚴(yán)格的界限，有時(shí)也是分不清的。幾何問題不必限定用純幾何的辦法去解決，代數(shù)問題不必非要用代數(shù)方法解決不可。要從實(shí)際出發(fā)采用簡(jiǎn)便可行的解法，把所學(xué)過的知識(shí)作為一個(gè)大的系統(tǒng)，各部分之間的配合就可以產(chǎn)生新的功能。endprint

數(shù)學(xué)習(xí)題類型繁多、技巧靈活，不可能總結(jié)出一套普遍適用的解題法則，可它畢竟還是存在著某些規(guī)律，現(xiàn)就中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的解題方法做一歸納。

1.用觀察法解題

解任何數(shù)學(xué)題的第一步都是審題。而有些題目經(jīng)全面觀察之后，就可發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)，一旦抓住了這些特點(diǎn)，就可以使問題大大簡(jiǎn)化或納入一種熟悉的模式，再不必去做繁雜的計(jì)算或論證。

例1：解方程（2+3+2-3）x=

6。

分析：我們注意到（2+3+

2-3）2=6，所以就想到了兩邊同時(shí)

平方的解法。這樣就避免了采用兩邊取對(duì)數(shù)解題所帶來的困難。

解：原方程兩邊平方，得[（2+3

+2-3）2]x=62，即6x=62，所以x=2。

2.將已知的條件變形以利于解題

在有些題目中，給定的條件不便于直接應(yīng)用，而當(dāng)留意到結(jié)論時(shí)將已知條件做某種變形后，就會(huì)使問題迎刃而解。

例2：設(shè)x2+x+1=0，求x14+x-14的值。

分析：方程x2+x+1=0無實(shí)根，估計(jì)求出x后再計(jì)算x14也不容易。但容易看出

（x-1）（x2+x+1）=x3-1=0，即x3=1，應(yīng)用這一條件去計(jì)算或者容易一些。

解：x14+x-14=（x3）4x2+（x3）-5+x=x2+x=-1.

3.將結(jié)論或欲求解的對(duì)象變形以便于解題

有些題目從表面上看來，似乎難以一下子用上已知條件，而當(dāng)把結(jié)論或欲求解的對(duì)象做適當(dāng)變形后，就可以明顯看到結(jié)論或欲求的對(duì)象與已知條件之間的關(guān)系，從而使問題獲解。分析法就屬于此類。

例3：如果A、B都是銳角且（1+tan A）（1+tan B）=2，全角求證：A+B=

π4。

分析：聯(lián)系到已知條件，發(fā)現(xiàn)需將結(jié)論變形，證明tan（A+B）=1即可。

證明：tan（A+B）=tan A+tan B1-tan Atan B，

由（1+tan A）（1+tan B）=2，求得tan A=

1-tan B1+tan B，代入上式即得tan（A+B）=

1。證畢。

4.把已知條件和結(jié)論或欲求解的對(duì)象都進(jìn)行變形

有些題目既不容易從已知條件推證到結(jié)論，也不容易從結(jié)論倒推至已知條件。但卻可以把兩者都進(jìn)行變形，變至一個(gè)共同相關(guān)的形勢(shì)，使之發(fā)生聯(lián)系，促成問題解決。

例4：已知x≠0，x+1x=1，證明：x4+1x4=-1。

分析：由x+1x=1中解出再去證明，估計(jì)比較繁瑣。已知條件相當(dāng)于x2-x+1=0，而所求證者可變?yōu)閤8+x4+1=0。然后加以證明。

證明：通過已知條件得x2-x+1=0，欲證x4+1x4=-1，只需證x8+x4+1=0。

而x8+x4+1=（x8+2x4+1）-x4=（x4+1）2-x4=（x4+x2+1）（x4-x2+1）=

[（x4+2x2+1）-x2]（x4-x2+1）=（x2-x+1）（x2+x+1）（x4-x2+1）=0。證畢。

5.用“一般”指導(dǎo)“特殊”

按理來說，當(dāng)問題在一般情形下的解答已經(jīng)掌握，那么，特殊情形下的解答就應(yīng)該是很容易的了。然而有時(shí)一個(gè)問題擺在面前，若不注意觀察和思考，并不容易發(fā)現(xiàn)它是什么定理或公式的特殊情形，致使頭緒茫然，無從下筆。如果經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)是某一般原理的特殊情形，問題就迎刃而解了。

例5：求（x+3y）（3x+y）（x+y）2展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和。

分析：實(shí)際將式子展開后再把各項(xiàng)系數(shù)相加，計(jì)算量較大。如果相乘的因式再多一些，這一方法將會(huì)遇到很大的困難。設(shè)想已將原式展開，系數(shù)是A、B、…E，而A+B+…+E只不過是當(dāng)取值為1時(shí)原式的一個(gè)特殊值。

解：所求系數(shù)之和是（1+3）（3+1）（1+1）2=64。

6.從“特殊”中發(fā)現(xiàn)“一般”

當(dāng)一個(gè)問題無從下手時(shí)，我們不妨先考察一下這個(gè)問題的特殊情況。當(dāng)特殊情況獲得了解決辦法時(shí)，往往會(huì)對(duì)一般情況下的解決有所啟示。一般屬于特殊之中，這種做法是符合認(rèn)識(shí)過程的。

例6：七人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人要相鄰，該有多少種排法？

分析：甲、乙、丙三人要相鄰，不妨先把甲、乙、丙作為一個(gè)人來考慮，就是先不考慮他們?nèi)说恼疚豁樞?，把這種特殊情況解決后再考慮一般情況。

解：若不計(jì)甲、乙、丙三人的站位順序，即相當(dāng)于五人照相共有5！=120種排法。而甲、乙、丙三人又有3！=6種排法，所以共有120×6=720種排法。

一個(gè)問題擺在面前，不一定非要把它認(rèn)定為代數(shù)問題、幾何問題或三角問題，這里沒有嚴(yán)格的界限，有時(shí)也是分不清的。幾何問題不必限定用純幾何的辦法去解決，代數(shù)問題不必非要用代數(shù)方法解決不可。要從實(shí)際出發(fā)采用簡(jiǎn)便可行的解法，把所學(xué)過的知識(shí)作為一個(gè)大的系統(tǒng)，各部分之間的配合就可以產(chǎn)生新的功能。endprint

數(shù)學(xué)習(xí)題類型繁多、技巧靈活，不可能總結(jié)出一套普遍適用的解題法則，可它畢竟還是存在著某些規(guī)律，現(xiàn)就中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的解題方法做一歸納。

1.用觀察法解題

解任何數(shù)學(xué)題的第一步都是審題。而有些題目經(jīng)全面觀察之后，就可發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)，一旦抓住了這些特點(diǎn)，就可以使問題大大簡(jiǎn)化或納入一種熟悉的模式，再不必去做繁雜的計(jì)算或論證。

例1：解方程（2+3+2-3）x=

6。

分析：我們注意到（2+3+

2-3）2=6，所以就想到了兩邊同時(shí)

平方的解法。這樣就避免了采用兩邊取對(duì)數(shù)解題所帶來的困難。

解：原方程兩邊平方，得[（2+3

+2-3）2]x=62，即6x=62，所以x=2。

2.將已知的條件變形以利于解題

在有些題目中，給定的條件不便于直接應(yīng)用，而當(dāng)留意到結(jié)論時(shí)將已知條件做某種變形后，就會(huì)使問題迎刃而解。

例2：設(shè)x2+x+1=0，求x14+x-14的值。

分析：方程x2+x+1=0無實(shí)根，估計(jì)求出x后再計(jì)算x14也不容易。但容易看出

（x-1）（x2+x+1）=x3-1=0，即x3=1，應(yīng)用這一條件去計(jì)算或者容易一些。

解：x14+x-14=（x3）4x2+（x3）-5+x=x2+x=-1.

3.將結(jié)論或欲求解的對(duì)象變形以便于解題

有些題目從表面上看來，似乎難以一下子用上已知條件，而當(dāng)把結(jié)論或欲求解的對(duì)象做適當(dāng)變形后，就可以明顯看到結(jié)論或欲求的對(duì)象與已知條件之間的關(guān)系，從而使問題獲解。分析法就屬于此類。

例3：如果A、B都是銳角且（1+tan A）（1+tan B）=2，全角求證：A+B=

π4。

分析：聯(lián)系到已知條件，發(fā)現(xiàn)需將結(jié)論變形，證明tan（A+B）=1即可。

證明：tan（A+B）=tan A+tan B1-tan Atan B，

由（1+tan A）（1+tan B）=2，求得tan A=

1-tan B1+tan B，代入上式即得tan（A+B）=

1。證畢。

4.把已知條件和結(jié)論或欲求解的對(duì)象都進(jìn)行變形

有些題目既不容易從已知條件推證到結(jié)論，也不容易從結(jié)論倒推至已知條件。但卻可以把兩者都進(jìn)行變形，變至一個(gè)共同相關(guān)的形勢(shì)，使之發(fā)生聯(lián)系，促成問題解決。

例4：已知x≠0，x+1x=1，證明：x4+1x4=-1。

分析：由x+1x=1中解出再去證明，估計(jì)比較繁瑣。已知條件相當(dāng)于x2-x+1=0，而所求證者可變?yōu)閤8+x4+1=0。然后加以證明。

證明：通過已知條件得x2-x+1=0，欲證x4+1x4=-1，只需證x8+x4+1=0。

而x8+x4+1=（x8+2x4+1）-x4=（x4+1）2-x4=（x4+x2+1）（x4-x2+1）=

[（x4+2x2+1）-x2]（x4-x2+1）=（x2-x+1）（x2+x+1）（x4-x2+1）=0。證畢。

5.用“一般”指導(dǎo)“特殊”

按理來說，當(dāng)問題在一般情形下的解答已經(jīng)掌握，那么，特殊情形下的解答就應(yīng)該是很容易的了。然而有時(shí)一個(gè)問題擺在面前，若不注意觀察和思考，并不容易發(fā)現(xiàn)它是什么定理或公式的特殊情形，致使頭緒茫然，無從下筆。如果經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)是某一般原理的特殊情形，問題就迎刃而解了。

例5：求（x+3y）（3x+y）（x+y）2展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和。

分析：實(shí)際將式子展開后再把各項(xiàng)系數(shù)相加，計(jì)算量較大。如果相乘的因式再多一些，這一方法將會(huì)遇到很大的困難。設(shè)想已將原式展開，系數(shù)是A、B、…E，而A+B+…+E只不過是當(dāng)取值為1時(shí)原式的一個(gè)特殊值。

解：所求系數(shù)之和是（1+3）（3+1）（1+1）2=64。

6.從“特殊”中發(fā)現(xiàn)“一般”

當(dāng)一個(gè)問題無從下手時(shí)，我們不妨先考察一下這個(gè)問題的特殊情況。當(dāng)特殊情況獲得了解決辦法時(shí)，往往會(huì)對(duì)一般情況下的解決有所啟示。一般屬于特殊之中，這種做法是符合認(rèn)識(shí)過程的。

例6：七人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人要相鄰，該有多少種排法？

分析：甲、乙、丙三人要相鄰，不妨先把甲、乙、丙作為一個(gè)人來考慮，就是先不考慮他們?nèi)说恼疚豁樞?，把這種特殊情況解決后再考慮一般情況。

解：若不計(jì)甲、乙、丙三人的站位順序，即相當(dāng)于五人照相共有5！=120種排法。而甲、乙、丙三人又有3！=6種排法，所以共有120×6=720種排法。

一個(gè)問題擺在面前，不一定非要把它認(rèn)定為代數(shù)問題、幾何問題或三角問題，這里沒有嚴(yán)格的界限，有時(shí)也是分不清的。幾何問題不必限定用純幾何的辦法去解決，代數(shù)問題不必非要用代數(shù)方法解決不可。要從實(shí)際出發(fā)采用簡(jiǎn)便可行的解法，把所學(xué)過的知識(shí)作為一個(gè)大的系統(tǒng)，各部分之間的配合就可以產(chǎn)生新的功能。endprint