二階時滯微分方程解的有界性研究

李文娟

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

二階時滯微分方程解的有界性研究

李文娟

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

本文借助輔助泛函,得到了二階時滯微分方程：x¨(t)+a(t)f(x˙(t))+b(t)g(x(t))+c(t)x(t-τ)+d(t)x(t-h)=0的解有界的判定方法.

有界性；時滯微分方程；輔助泛函；積分不等式

1 引言

文[1]

文[2]

本文的主要結(jié)果是給出二階非齊次非線性時滯微分方程

的一切解均有界的判定準則.

其中a(t),b(t),c(t),d(t),f(u),g(u)均為連續(xù)函數(shù),為常數(shù)f(0)=g (0)=0,τ≥0,h≥0為常數(shù).

定理1

若系統(tǒng)1滿足以下條件:

則系統(tǒng)1的一切解有界.

對后幾項,因

從而x(t)最終有界.

其中a(t),b(t),ci(t),f(u),g(u)均為連續(xù)函數(shù),f(0)=g(0)=0,τi≥0為常數(shù).

系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

推論1

若系統(tǒng)2滿足以下條件:

(3)a(t)≥0,f(y)sgny≥0

則系統(tǒng)2的一切解有界.

其證明過程類似于定理1.

定理2

若系統(tǒng)1滿足以下條件:

則系統(tǒng)1的一切解有界.

證明

對V求導(dǎo)數(shù),有:

從而x(t)最終有界.

推論2

若系統(tǒng)2滿足以下條件:

(1)b(t)>0,存在ei(t)≥0,使得

則系統(tǒng)2的一切解有界.

考慮系統(tǒng):

定理3

若系統(tǒng)(3)滿足以下條件:

則系統(tǒng)(3)的一切解最終有界.

證明

對V求導(dǎo)數(shù),有:

對后幾項,因

若系統(tǒng)(3)變?yōu)?

其中a(t),b(t),ci(t),f(u),g(u),φi(u)均為連續(xù)函數(shù),為常數(shù).

推論3

若系統(tǒng)4滿足以下條件:

則系統(tǒng)(4)的一切解最終有界.

證明 類似定理3的證明.

定理4

若系統(tǒng)(5)滿足以下條件:

則系統(tǒng)(5)的一切解有界.

對V求導(dǎo)數(shù),有:

從而x(t)最終有界.

若系統(tǒng)(5)變?yōu)?

其中a(t),b(t),ci(t),f(u),g(u)均為連續(xù)函數(shù),f(0)=g(0)=0,τi≥0,為常數(shù).

推論5

若系統(tǒng)(6)滿足以下條件:

則系統(tǒng)(6)的一切解有界.

證明 類似定理4的證明

考慮系統(tǒng):

其中a(t),b(t),c(t),d(t),f(u),g(u),φ1(u),φ2(u)均為連續(xù)函數(shù),

定理5

則系統(tǒng)7的一切解有界.

證明

對V求導(dǎo)數(shù),有:

從而x(t)最終有界.

若系統(tǒng)變?yōu)?/p>

其中a(t),b(t),ci(t),f(u),g(u),φi(u)均為連續(xù)函數(shù),為常數(shù).

推論5

則系統(tǒng)8的一切解有界.

證明 類似定理5的證明.

〔1〕孟東沅.一類二階泛函微分方程解的平方可積性和有界性[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2006,36(5):251-257.

〔2〕楊啟貴.二階非齊泛函微分方程解的有界性[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2000,30(2):226-231.

〔3〕Meng Fangwei,Quadratic integrability and boundedness of second order nonhommogenous linear differential equation[J],Sys.Sci.Math,15:1(1995)50-57.

〔4〕Sun Yuangong,Meng Fangwei,Quadratic integrability and boundedness for the solution of second order nonhommogenous linear differential equation[J],Ann. of Diff.Eqs,18:1(2002),58-64.

〔5〕李文娟.二階非齊次泛函微分方程解的有界性[J].赤峰學(xué)院學(xué)報,2009,25(2).

〔6〕李文娟.具有偏差變元的積分微分方程解的有界性[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報,2013,42(5).

O175.1

A

1673-260X（2014）08-0001-04