近Kaehler流形S3×S3上的殆切觸拉格朗日子流形

楊標桂,朱晴晴

(福建師范大學數(shù)學與計算機科學學院,福建福州350108)

近Kaehler流形S3×S3上的殆切觸拉格朗日子流形

楊標桂,朱晴晴

(福建師范大學數(shù)學與計算機科學學院,福建福州350108)

對于近Kaehler流形S3×S3上的一個拉格朗日子流形M,給出由M上的一個單位向量場典范引出的殆切觸度量結構是α-Sasakian的充要條件.當這個殆切觸度量結構為切觸度量結構時,給出了這個切觸度量結構是Sasakian結構的充分必要條件.關鍵詞：近Kaehler流形;拉格朗日子流形;(殆)切觸度量結構;Sasakian結構

1 引言

1970年,文獻[1]系統(tǒng)地研究了近Kaehler流形,這些近Kaehler流形是帶有復結構J的殆Hermitian流形,這里張量場ˉ?J是反對稱的.近Kaehler 6維球面S6的子流形已被許多人研究過(參見文獻[2-4]).近年來,文獻[5]中闡述了齊性6維近Kaehler流形只包括近Kaehler流形S3×S3,射影空間CP3和旗流形SU(3)/U(1)×U(1),這些空間都是緊致的3維對稱空間.眾所周知,一般情況下近Kaehler流形的子流形分為殆復子流形和全實子流形,而拉格朗日子流形為全實子流形的一種.文獻[6]系統(tǒng)地介紹了近Kaehler流形S3×S3的殆復曲面,本文將初步研究S3×S3的殆切觸拉格朗日子流形.旨在找出由S3×S3的拉格朗日子流形上的一個單位向量場典范引出的殆切觸度量結構是α-Sasakian的充要條件,并且討論這個殆切觸子流形為切觸子流形時的情形.

2 預備知識

其中X,Y∈TM,ξ∈T⊥M.第二基本形式σ和形狀算子Aξ之間有如下關系式:

回顧殆切觸度量流形的相關知識[7-8].一個(2n+1)維光滑流形M稱為殆切觸度量流形,若?X,Y∈TM,M上存在一個整體1形式η,一個單位向量場ξ,一個(1,1)-型張量場φ和黎曼度量g滿足下列方程:

顯然

若滿足dη(X,Y)=g(X,φY),則M上的殆切觸度量結構(M,η,,g)稱為切觸度量結構.

當h=0時,稱為K-切觸度量流形.殆切觸度量流形若滿足(?Xφ)Y=α(g(X,Y)ξ?η(Y)X),則稱為α-Sasakian流形,其中?是關于g的黎曼聯(lián)絡.特別地,若α=1,這個切觸度量流形就是Sasakian流形.切觸度量流形是K-切觸度量流形當且僅當Ric(X,ξ)=2nη(X).在維數(shù)為3的情況下,K-切觸條件等價于Sasakian條件.

3 主要結果

首先,給出如下引理.

引理3.1設M為S3×S3的一個拉格朗日子流形,?X,Y∈TM,有G(X,Y)∈T⊥M.

證明由(7)式和(8)式可得:

其中X,Y,Z∈TM.(1)式和(3)式表明上式右邊互相相等.因此有g(G(X,Y),Z)=0,這表明G(X,Y)正交于M.

其次,有如下結果.

引理3.2設M為S3×S3的一個拉格朗日子流形,?X,Y,Z∈TM,有

證明由(1)式和(2)式知,?X,Y,Z∈TM,有

結合(5)式,得到

即

因此

或者等價于

再次,令ξ是M上的一個單位向量場,遵從M上的度量g,定義一個1形式η滿足η(X)=g(X,.由(2)式可知,?X∈TM,向量場G(X,J)=?JG(X,),由引理3.1可知,G(X,J)∈TM.因此給出如下引理:

引理3.3的拉格朗日子流形(M,g)上的一個單位向量場ξ,引出一個典范殆切觸度量結構(φ,g,),其中結構張量φ定義為

證明由定義知φ(ξ)=0,從(1)式和(2)式可以得到,對?X,Y∈TM,有

另外

結合引理3.2,可得

又由(6)式得到,

給出如下定義:

定義3.1(φ,,η,g)稱為M上的典范殆切觸度量結構,其中單位向量場由上述引理定義.

定理3.1令M為的一個拉格朗日子流形,帶有近Kaehler結構(g,J),是M上的一個單位向量場,帶有典范引出的M上的殆切觸度量結構(φ,g,),則這個結構是的當且僅當F=0.

證明由引理3.3,計算出φ的共變導數(shù)

將(5)式和(8)式代入上式,得

通過比較上述等式左右兩端的切向分量,有

可知,若F=0,則

即

用ξ代替Y,可得φFX=0.等式兩邊用φ作用便得F=0.

此外，還可以得到如下結果:

定理3.2令M為的一個拉格朗日子流形,帶有近Kaehler結構(g,J),是M上的一個單位向量場.假設由典范引出的M 上的殆切觸度量結構(φ,g,)是切觸度量結構,

證明由(7)式-(8)式和引理3.3可得,

成立.因此就有

又由文獻[8]知:div(hφ)(X)=Ric(ξ,X)?2η(X).得

[1] Gray A.Nearly Kaehler manifolds[J].J.Di ff.Geom.,1970,4:283-309.

[2] Deshmukh S,EI Hadi K.A Sasakian structure on a 3-dimensional totally real submanifold of the nearly Kaehler 6-sphere[J].Panamer Math.J.,1992,3:43-52.

[3] Dillen F,Opozda B,Verstraelen L,et al.On totally real 3-dimensional submanifold of the nearly Kaehler 6-sphere[J].Proc.Am.Math.Soc.,1987,99:741-749.

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[5] Butruille J.B.Homogeneous nearly Kaehler manifolds.Handbook of Pseudo-Riemannian Geometry and Supersymmetry[M].IRMA Lect.Math.Theor.Phys.,16,Eur.Math.Soc.,Zu¨rich,2010.

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[7] Blair D.E.Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds[M].Sec.edi.Progress in Mathematics,203.,Boston,MA:Birkh¨auser Boston,Inc,2010.

[8] Blair D.E,Sharma R.Generalization of Myers′theorem on a contact manifold[J].Illinois Journal of Mathematics,1990,34:837-844.

Almost contact Lagrangian submanifolds of nearly Kaehler

Yang Biaogui,Zhu Qingqing
(School of Mathematics and Computer Science,Fujian Normal University,Fuzhou350108,China)

For a Lagrangian submanifold of the nearly Kaehler S3×S3,we provide a necessary and sufficient condition for a canonically induced almost contact metric structure by a unit vector fi eld,to be α-Sasakian. Furthermore,assuming the almost contact metric structure is contact metric structure,we give a necessary and sufficient condition in which the contact metric structure is Sasakian.

nearly Kaehler manifold,Lagrangian submanifold,(almost)contact metric structure, Sasakian structure

O186

A

1008-5513(2014)05-0454-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.05.003

2014-07-26.

國家自然科學基金(11171139,11326045,11401099);福建省自然科學基金(2011J05001);福建省教育廳A類項目(JA11052).

楊標桂(1976-),博士,副教授,研究方向:微分幾何.

2010 MSC:53D15