康普頓效應(yīng)問(wèn)題中“度”的把握

丁德生

（江蘇省興化中學(xué)，江蘇 興化 225700）

“度”是處理量變、質(zhì)變規(guī)律問(wèn)題的關(guān)鍵.很多的物理問(wèn)題涉及多方面的因素哪一個(gè)才是主要的？條件又如何？光的本性就是這類(lèi)一個(gè)典型問(wèn)題.光的本性從17世紀(jì)初光的波動(dòng)說(shuō)與微粒說(shuō)之爭(zhēng)開(kāi)始，至20世紀(jì)初以光的波粒二象性告終，前后共300多年的時(shí)間.一方面光在空間傳播時(shí)是一份一份的，表現(xiàn)為粒子性；另一方面光子分布的概率呈現(xiàn)波的特點(diǎn)，所以光又具有波動(dòng)性（概率波）.光子能量與動(dòng)量的關(guān)系式也顯示波動(dòng)和粒子二象性是一個(gè)有機(jī)的整體.光的波動(dòng)性與粒子性的表現(xiàn)是不平衡的，這種表現(xiàn)的不平衡與光的波長(zhǎng)（或頻率）有關(guān)，波長(zhǎng)越長(zhǎng)（或頻率越低）波動(dòng)性越明顯，波長(zhǎng)越短（或頻率越高）粒子性越顯著.然而這樣的描述仍太模糊，如電磁輻射與物質(zhì)相互作用時(shí)，可能會(huì)發(fā)生若干種不同的效應(yīng)，這些效應(yīng)是不同能量的光子與物質(zhì)中的分子、原子、電子、原子核相互作用的結(jié)果，且這些效應(yīng)發(fā)生的概率與入射光子的能量有密切關(guān)系.這類(lèi)問(wèn)題的處理要求對(duì)具體發(fā)生的各種效應(yīng)的波長(zhǎng)（或頻率）有一個(gè)定量的判據(jù)，倘若不能把握這個(gè)“度”，定量的處理光的波動(dòng)性與粒子性問(wèn)題就無(wú)從談起.光的波動(dòng)性與粒子性的問(wèn)題很多，本文僅用光子與電子相互作用的康普頓效應(yīng)這一現(xiàn)象來(lái)淺析幾個(gè)“度”的把握問(wèn)題.

1922～1923年康普頓研究了X射線被較輕物質(zhì)（石墨、石蠟等）散射后光的成分，發(fā)現(xiàn)散射譜線中除了有波長(zhǎng)與原波長(zhǎng)相同的成分外，還有波長(zhǎng)較長(zhǎng)的成份.這種散射現(xiàn)象稱(chēng)為康普頓散射或康普頓效應(yīng).圖1為康普頓效應(yīng)實(shí)驗(yàn)裝置示意圖，康普頓將0.71?的X光投射到石墨上，然后在不同的角度測(cè)量被石墨分子散射的X光強(qiáng)度.當(dāng)θ＝0時(shí)，只有等于入射頻率的單一頻率光.當(dāng)θ≠0（如45°、90°、135°）時(shí)，發(fā)現(xiàn)存在兩種頻率的散射光.一種頻率與入射光相同，另一種則頻率比入射光低.后者隨角度增加偏離增大.而根據(jù)經(jīng)典電磁理論，散射光波長(zhǎng)應(yīng)是不會(huì)改變的，為了解釋這一現(xiàn)象，康普頓大膽地用光子與靜止電子的彈性碰撞的模型（如圖2）來(lái)解釋散射光波長(zhǎng)（或頻率）的改變，得出了波長(zhǎng)（或頻率）移動(dòng)的公式，理論上計(jì)算出X射線在石墨中散射后波長(zhǎng)（或頻率）的改變量與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值完全吻合，成功地解釋了這一現(xiàn)象，為此人門(mén)就把這一散射現(xiàn)象稱(chēng)為康普頓散射或康普頓效應(yīng).康普頓效應(yīng)與光電效應(yīng)一起成為光的量子論的重要實(shí)驗(yàn)依據(jù).

圖1

圖2

康普頓效應(yīng)是高中物理選修3－4模塊中說(shuō)明光具有粒子性的重要內(nèi)容.各種考試（如高考）頻頻涉及，更有些高端的考試（如名牌大學(xué)自主招生等）要求學(xué)生能從定量、半定量的層面上處理康普頓效應(yīng)問(wèn)題，學(xué)生更是覺(jué)得所學(xué)內(nèi)容的不足.為此本文準(zhǔn)備從定量層面通俗、簡(jiǎn)便地講解康普頓效應(yīng)問(wèn)題，以期學(xué)生在通俗但更加深入地把握其中“度”的過(guò)程中起到拋磚引玉的作用.

1 多長(zhǎng)的光子波長(zhǎng)才能發(fā)生明顯的康普頓效應(yīng)呢？

康普頓用光子與靜止電子的彈性碰撞模型來(lái)解釋散射光波長(zhǎng)的改變，過(guò)程推導(dǎo)如下.

如圖3光子的能量為hν0、動(dòng)量為光子與靜止電子碰撞后，把一部分能量傳給電子，散射光子能量為hν、動(dòng)量為而電子發(fā)生了反沖，電子反沖速度為u，考慮相對(duì)論效應(yīng)電子動(dòng)量為是電子的靜止質(zhì)量.

圖3

碰撞過(guò)程動(dòng)量的變化如圖3，由動(dòng)量守恒定律可得

由能量守恒定律可得

由（1）、（2）式可得

（康普頓效應(yīng)波長(zhǎng)移動(dòng)關(guān)系）

結(jié)論1：式（3）表明，散射光波長(zhǎng)與散射角θ有關(guān)，而且散射光的波長(zhǎng)總是大于入射光波長(zhǎng).

小小飛機(jī)達(dá)到一定高度后，便儼然如降落傘盤(pán)旋而下，依然落在場(chǎng)中一角，可以重新拾起，且重新派它向上高升。或當(dāng)發(fā)放時(shí)稍偏斜一點(diǎn)，它的歸宿處便改了地方，有時(shí)隨風(fēng)揚(yáng)起掛在柳梢上，有時(shí)落在各種小攤白色幕頂上，有時(shí)又湊巧停頓在或一路人草帽上。它是那么輕，什么人草帽上有了這小東西時(shí)，先是一點(diǎn)兒不明白，仍然揚(yáng)長(zhǎng)向在人叢中走去，于是一群頑皮小孩子，小狗般跟在身后嚷著笑著，直到這游人把事弄明白，抓了頭上小東西摔去，小孩子方才爭(zhēng)著搶奪，忘了這或一游人，不再理會(huì)。

結(jié)論3：λc＝2.42631×10－12m與入射光的波長(zhǎng)無(wú)關(guān)，且波長(zhǎng)的移動(dòng)是10－12m量級(jí)，而要觀察到這種效應(yīng)散射光波長(zhǎng)有明顯的改變（相對(duì)入射波長(zhǎng)）才有意義，由此（3）式中入射光的波長(zhǎng)應(yīng)與λc數(shù)量級(jí)相當(dāng)，即當(dāng)光子的能量hν～106eV（約1MeV），才能觀察到明顯康普頓效應(yīng)的“頻移”.

實(shí)驗(yàn)表明光子能量較低時(shí) （hν＜0.5MeV），以光電效應(yīng)為主；高能γ光子 （hν＞1.02MeV）可以與原子核發(fā)生作用，產(chǎn)生正負(fù)電子對(duì)；當(dāng)入射光子具有中等能量（0.5MeV＜hν＜1.02MeV）時(shí)，產(chǎn)生康普頓效應(yīng)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與前面的理論推導(dǎo)的3個(gè)結(jié)論完全吻合.當(dāng)然這也就是當(dāng)初康普頓用與λc相當(dāng)?shù)腦射線來(lái)做實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛴^察到明顯“頻移”效應(yīng)的原因.

例1.在康普頓效應(yīng)中，求：（1）反沖電子獲得的最大動(dòng)能Ekmax與入射光子能量hν0的關(guān)系式；（2）入射光子的能量在什么范圍內(nèi)，康普頓效應(yīng)才能顯著？

解析：（1）由上面結(jié)論可知

當(dāng)θ＝180°時(shí)散射光子能量與原光子的能量差最大，此時(shí)反沖電子獲得的最大動(dòng)能（Ekmax），由能量守恒定律得

顯然上述比值越大康普頓效應(yīng)越顯著，所以hν0～m0c2＝0.51MeV，才 是 明 顯 康 普 頓 效 應(yīng) 的 “度”.例 如，hν0＝m0c2＝0.51MeV時(shí)相當(dāng)明顯了.

點(diǎn)評(píng)：本題從電子被碰撞獲得的最大動(dòng)能Ekmax與hν0的關(guān)系出發(fā)得出明顯康普頓效應(yīng)的條件，hν0～m0c2＝0.51MeV與實(shí)驗(yàn)結(jié)果是一致的.過(guò)程推導(dǎo)簡(jiǎn)潔，結(jié)論明確，說(shuō)服力強(qiáng).

2 要考慮相對(duì)論效應(yīng)嗎？

上面的推導(dǎo)過(guò)程考慮了相對(duì)論效應(yīng)，結(jié)果更一般、適用范圍更廣，但表達(dá)式也更復(fù)雜，難度也大.相對(duì)論效應(yīng)對(duì)結(jié)果影響究竟有多大，能否略去相對(duì)論效應(yīng)簡(jiǎn)化處理呢？下面筆者用一道有趣的考題來(lái)說(shuō)明.此例為2013年南京大學(xué)強(qiáng)化班自主招生的一道考題，不少學(xué)生在這道考題上出了問(wèn)題，兩種解法結(jié)果不同，誰(shuí)對(duì)呢？

例2.一初始能量為Ei的光子射向一靜止的質(zhì)量為m0的電子（此過(guò)程可看成質(zhì)點(diǎn)碰撞模型），碰后光子能量變?yōu)镋f，以與原入射方向成θ角射出，試導(dǎo)出Ei，Ef，θ，m0，光速c之間的關(guān)系式.

解法1.（考慮相對(duì)論效應(yīng)）利用上面的結(jié)論得

由能量守恒定律得

由以上兩式得

反思1：兩種解法結(jié)果是不一樣的，表面來(lái)看很難確定哪一種解法正確.它們都運(yùn)用了動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律，不同之處就在于是否考慮相對(duì)論效應(yīng)的問(wèn)題，解法1中應(yīng)用的相對(duì)論效應(yīng)，而解法2沒(méi)有考慮，兩種不同的表達(dá)式計(jì)算結(jié)果是否接近呢？其實(shí)要不要考慮相對(duì)論效應(yīng)關(guān)鍵在于反沖的電子速度是否可與光速比擬，而這種能否比擬必須建立在定量計(jì)算的基礎(chǔ)之上.

以下用實(shí)際發(fā)生明顯康普頓效應(yīng)的條件進(jìn)行分析.

應(yīng)用例1的結(jié)果光子電子碰撞后，反沖電子的最大動(dòng)能為

若Ekmax＝0.5MeV，

從上面無(wú)論（1）、（2）得到的u都是跟光速可比擬的，必須要考慮相對(duì)論效應(yīng)，所以解法2是錯(cuò)誤的.

反思2：康普頓效應(yīng)說(shuō)明了光的粒子性，康普頓散射的理論和實(shí)驗(yàn)完全一致，在更加廣闊的頻率范圍內(nèi)更加充分地證明了光子理論的正確性；而在公式推導(dǎo)中引用了動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律，再次證明了微觀粒子相互作用過(guò)程也遵循這兩條基本定律.

總之，本文通過(guò)定量的推導(dǎo)、計(jì)算，給出處理相關(guān)問(wèn)題“度”的定量數(shù)值，講解通俗、簡(jiǎn)便，定位準(zhǔn)確，印象深刻，收到了較好的效果，同時(shí)也充分展示了數(shù)字的力量.

1 盧德罄.大學(xué)物理學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2003：379－380.