巧用等時圓模型 速解運動學問題

王輝

一、模型

運動模型：如圖所示，豎直放置的半徑為R的圓環(huán)，PQ為該圓環(huán)豎直直徑。

試證明：物體從P點沿任意光滑直桿自由滑到圓環(huán)上各點的時間相等，且等于沿豎直直徑自由下滑的時間為2·■.

證明：如圖所示，PA、PB、PC、PD為豎直圓環(huán)上過P點的任意弦，設任意弦PA與直徑PQ夾角為θ，則物體沿光滑直桿PA下滑的加速度a=gcosθ，PA長為2Rcosθ，物體沿PA做初速度為零的勻加速直線運動，到達A點的時間為t，則有：

2R·cosθ=■g·cosθ·t2

故有：t=2·■（與θ角無關）

由上述分析可知，前面的結論成立。

二、應用距離

1.巧做選擇題

例1.如圖1-1所示，AC、BC為位于豎直平面內的兩根光滑細桿，A、B、C三點恰位于同一個圓周上,C為該圓周的最低點,a、b為套在細桿上的兩個小環(huán)上，當兩環(huán)同時從A、B點自靜止開始下滑，則:

A.環(huán)a將先到達點C

B.環(huán)b將先到達點C

C.環(huán)a，b將同時到達點C

D.由于兩桿的傾角不知道，無法判斷

分析與解：如圖1-2所示，過豎直直徑的上端點C′分別作AC，BC的平行線C′A′，C′B′。

■

由上述模型可知：tC′A′=tC′B′

由對稱性可知，tC′A′=tAC，tC′B′=tBC

故有：tAC=tBC，答案為C.

例2.如圖2-1所示，通過空間任意一點A，可作無限多個斜面，如果將若干個小球在A點分別從靜止沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時滑下，那么在同一時刻，這些小物體所在位置所構成的面是（）

A.球面 B.拋物面 C.水平面 D.無法確定

分析與解：如圖2-2所示，從A點沿斜面下滑的物體均做初速度為零的勻加速直線運動，依據上述模型，過A點作豎直線，取該直線上某點為球心，作過A點的球面，它與各斜面上物體運動軌跡有交點。由上述模型可知，物體從A點出發(fā)沿各斜面自由滑到各交點的時間相等，反之可說明各物體分別從靜止沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時滑下，在同一時刻，這些小物體所在位置所構成的面應是球面，答案應為A.

■

2.巧解實際問題

例3.一間新房即將建成要封頂時，考慮到下雨時落至房頂的雨滴能盡快淌離房頂，要設計好房頂的坡度。設雨滴沿房頂下淌時做無初速度無摩擦的運動，那么，下圖中所示的四種情況中符合要求的是（ ）

■

分析與解：由題意知，房頂跨度一定，設為d，房頂坡度不同。設房檐邊界點為P點，過P點作豎直線，取P點上方相距為d/2的點O，以O點圓心，以d/2為半徑，作過P點的圓周，過房頂作豎直線EQ，與圓相切于C點，如圖3示，A、B、C、D分別為坡度不同的房頂，根據上述模型可知，雨滴從坡度為45°的房頂滑下的時間最短。故應選答案C.

■

3.巧算運動時間

例4.在離坡底P15m的山坡上豎直地固定一根長15m的直桿QO，Q端與坡底P之間連有一鋼繩，一穿心于鋼繩上的小球從Q點由靜止開始沿鋼繩無摩擦地滑下，如圖4-1所示，求其在鋼繩上滑行的時間t。

分析與解：由題意知，OP=OQ=l=15m，且OQ豎直，以O為圓心，以為半徑作圓周，則QP為該圓的一條弦，如圖4-2所示，由上述模型有：小環(huán)從靜止開始沿QP下滑的時間，等于小環(huán)從Q點沿豎直直徑自由下落到E點的時間。

則有：2l=■g·t2 故：t=2·■=2·■=2.45（s）

■

4.巧求最快路徑

例5.如圖5-1為某制藥廠自動生產流水線的一部分裝置示意圖。傳送帶與水平面的夾角為α，O為漏斗，要使藥片從漏斗中出來經光滑滑槽送到傳送帶上，設滑槽的擺放方向與豎直方向的夾角為φ，則φ為多大時可使藥片滑到傳送帶上的時間最短？

A.φ=α B.φ=2αC.φ=α/2 D.■α

■

分析與解：如圖5-2所示，OF為豎直線，過O點作傳送帶的垂線OQ，則∠QOF=α，再作∠QOF的角平線OP交傳送帶于P點，OP位置即為藥片沿滑槽滑行時間最短的位置，故=α/2。答案應選C。

理由：再過P點作傳送帶的垂線PE交OF于E點，則PE=EO，以E點為圓心，以EO為半徑作圓周，圓E與傳送帶恰好相切于P點。由圖可知，圓E是所有圓心在豎直線OF上的與傳送帶相切或相交的圓中半徑最小的圓，根據上述運動模型可知，滑槽沿OP方位放置，藥片沿滑槽滑到傳送帶上的時間最短。

一、模型

運動模型：如圖所示，豎直放置的半徑為R的圓環(huán)，PQ為該圓環(huán)豎直直徑。

試證明：物體從P點沿任意光滑直桿自由滑到圓環(huán)上各點的時間相等，且等于沿豎直直徑自由下滑的時間為2·■.

證明：如圖所示，PA、PB、PC、PD為豎直圓環(huán)上過P點的任意弦，設任意弦PA與直徑PQ夾角為θ，則物體沿光滑直桿PA下滑的加速度a=gcosθ，PA長為2Rcosθ，物體沿PA做初速度為零的勻加速直線運動，到達A點的時間為t，則有：

2R·cosθ=■g·cosθ·t2

故有：t=2·■（與θ角無關）

由上述分析可知，前面的結論成立。

二、應用距離

1.巧做選擇題

例1.如圖1-1所示，AC、BC為位于豎直平面內的兩根光滑細桿，A、B、C三點恰位于同一個圓周上,C為該圓周的最低點,a、b為套在細桿上的兩個小環(huán)上，當兩環(huán)同時從A、B點自靜止開始下滑，則:

A.環(huán)a將先到達點C

B.環(huán)b將先到達點C

C.環(huán)a，b將同時到達點C

D.由于兩桿的傾角不知道，無法判斷

分析與解：如圖1-2所示，過豎直直徑的上端點C′分別作AC，BC的平行線C′A′，C′B′。

■

由上述模型可知：tC′A′=tC′B′

由對稱性可知，tC′A′=tAC，tC′B′=tBC

故有：tAC=tBC，答案為C.

例2.如圖2-1所示，通過空間任意一點A，可作無限多個斜面，如果將若干個小球在A點分別從靜止沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時滑下，那么在同一時刻，這些小物體所在位置所構成的面是（）

A.球面 B.拋物面 C.水平面 D.無法確定

分析與解：如圖2-2所示，從A點沿斜面下滑的物體均做初速度為零的勻加速直線運動，依據上述模型，過A點作豎直線，取該直線上某點為球心，作過A點的球面，它與各斜面上物體運動軌跡有交點。由上述模型可知，物體從A點出發(fā)沿各斜面自由滑到各交點的時間相等，反之可說明各物體分別從靜止沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時滑下，在同一時刻，這些小物體所在位置所構成的面應是球面，答案應為A.

■

2.巧解實際問題

例3.一間新房即將建成要封頂時，考慮到下雨時落至房頂的雨滴能盡快淌離房頂，要設計好房頂的坡度。設雨滴沿房頂下淌時做無初速度無摩擦的運動，那么，下圖中所示的四種情況中符合要求的是（ ）

■

分析與解：由題意知，房頂跨度一定，設為d，房頂坡度不同。設房檐邊界點為P點，過P點作豎直線，取P點上方相距為d/2的點O，以O點圓心，以d/2為半徑，作過P點的圓周，過房頂作豎直線EQ，與圓相切于C點，如圖3示，A、B、C、D分別為坡度不同的房頂，根據上述模型可知，雨滴從坡度為45°的房頂滑下的時間最短。故應選答案C.

■

3.巧算運動時間

例4.在離坡底P15m的山坡上豎直地固定一根長15m的直桿QO，Q端與坡底P之間連有一鋼繩，一穿心于鋼繩上的小球從Q點由靜止開始沿鋼繩無摩擦地滑下，如圖4-1所示，求其在鋼繩上滑行的時間t。

分析與解：由題意知，OP=OQ=l=15m，且OQ豎直，以O為圓心，以為半徑作圓周，則QP為該圓的一條弦，如圖4-2所示，由上述模型有：小環(huán)從靜止開始沿QP下滑的時間，等于小環(huán)從Q點沿豎直直徑自由下落到E點的時間。

則有：2l=■g·t2 故：t=2·■=2·■=2.45（s）

■

4.巧求最快路徑

例5.如圖5-1為某制藥廠自動生產流水線的一部分裝置示意圖。傳送帶與水平面的夾角為α，O為漏斗，要使藥片從漏斗中出來經光滑滑槽送到傳送帶上，設滑槽的擺放方向與豎直方向的夾角為φ，則φ為多大時可使藥片滑到傳送帶上的時間最短？

A.φ=α B.φ=2αC.φ=α/2 D.■α

■

分析與解：如圖5-2所示，OF為豎直線，過O點作傳送帶的垂線OQ，則∠QOF=α，再作∠QOF的角平線OP交傳送帶于P點，OP位置即為藥片沿滑槽滑行時間最短的位置，故=α/2。答案應選C。

理由：再過P點作傳送帶的垂線PE交OF于E點，則PE=EO，以E點為圓心，以EO為半徑作圓周，圓E與傳送帶恰好相切于P點。由圖可知，圓E是所有圓心在豎直線OF上的與傳送帶相切或相交的圓中半徑最小的圓，根據上述運動模型可知，滑槽沿OP方位放置，藥片沿滑槽滑到傳送帶上的時間最短。

一、模型

運動模型：如圖所示，豎直放置的半徑為R的圓環(huán)，PQ為該圓環(huán)豎直直徑。

試證明：物體從P點沿任意光滑直桿自由滑到圓環(huán)上各點的時間相等，且等于沿豎直直徑自由下滑的時間為2·■.

證明：如圖所示，PA、PB、PC、PD為豎直圓環(huán)上過P點的任意弦，設任意弦PA與直徑PQ夾角為θ，則物體沿光滑直桿PA下滑的加速度a=gcosθ，PA長為2Rcosθ，物體沿PA做初速度為零的勻加速直線運動，到達A點的時間為t，則有：

2R·cosθ=■g·cosθ·t2

故有：t=2·■（與θ角無關）

由上述分析可知，前面的結論成立。

二、應用距離

1.巧做選擇題

例1.如圖1-1所示，AC、BC為位于豎直平面內的兩根光滑細桿，A、B、C三點恰位于同一個圓周上,C為該圓周的最低點,a、b為套在細桿上的兩個小環(huán)上，當兩環(huán)同時從A、B點自靜止開始下滑，則:

A.環(huán)a將先到達點C

B.環(huán)b將先到達點C

C.環(huán)a，b將同時到達點C

D.由于兩桿的傾角不知道，無法判斷

分析與解：如圖1-2所示，過豎直直徑的上端點C′分別作AC，BC的平行線C′A′，C′B′。

■

由上述模型可知：tC′A′=tC′B′

由對稱性可知，tC′A′=tAC，tC′B′=tBC

故有：tAC=tBC，答案為C.

例2.如圖2-1所示，通過空間任意一點A，可作無限多個斜面，如果將若干個小球在A點分別從靜止沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時滑下，那么在同一時刻，這些小物體所在位置所構成的面是（）

A.球面 B.拋物面 C.水平面 D.無法確定

分析與解：如圖2-2所示，從A點沿斜面下滑的物體均做初速度為零的勻加速直線運動，依據上述模型，過A點作豎直線，取該直線上某點為球心，作過A點的球面，它與各斜面上物體運動軌跡有交點。由上述模型可知，物體從A點出發(fā)沿各斜面自由滑到各交點的時間相等，反之可說明各物體分別從靜止沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時滑下，在同一時刻，這些小物體所在位置所構成的面應是球面，答案應為A.

■

2.巧解實際問題

例3.一間新房即將建成要封頂時，考慮到下雨時落至房頂的雨滴能盡快淌離房頂，要設計好房頂的坡度。設雨滴沿房頂下淌時做無初速度無摩擦的運動，那么，下圖中所示的四種情況中符合要求的是（ ）

■

分析與解：由題意知，房頂跨度一定，設為d，房頂坡度不同。設房檐邊界點為P點，過P點作豎直線，取P點上方相距為d/2的點O，以O點圓心，以d/2為半徑，作過P點的圓周，過房頂作豎直線EQ，與圓相切于C點，如圖3示，A、B、C、D分別為坡度不同的房頂，根據上述模型可知，雨滴從坡度為45°的房頂滑下的時間最短。故應選答案C.

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3.巧算運動時間

例4.在離坡底P15m的山坡上豎直地固定一根長15m的直桿QO，Q端與坡底P之間連有一鋼繩，一穿心于鋼繩上的小球從Q點由靜止開始沿鋼繩無摩擦地滑下，如圖4-1所示，求其在鋼繩上滑行的時間t。

分析與解：由題意知，OP=OQ=l=15m，且OQ豎直，以O為圓心，以為半徑作圓周，則QP為該圓的一條弦，如圖4-2所示，由上述模型有：小環(huán)從靜止開始沿QP下滑的時間，等于小環(huán)從Q點沿豎直直徑自由下落到E點的時間。

則有：2l=■g·t2 故：t=2·■=2·■=2.45（s）

■

4.巧求最快路徑

例5.如圖5-1為某制藥廠自動生產流水線的一部分裝置示意圖。傳送帶與水平面的夾角為α，O為漏斗，要使藥片從漏斗中出來經光滑滑槽送到傳送帶上，設滑槽的擺放方向與豎直方向的夾角為φ，則φ為多大時可使藥片滑到傳送帶上的時間最短？

A.φ=α B.φ=2αC.φ=α/2 D.■α

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分析與解：如圖5-2所示，OF為豎直線，過O點作傳送帶的垂線OQ，則∠QOF=α，再作∠QOF的角平線OP交傳送帶于P點，OP位置即為藥片沿滑槽滑行時間最短的位置，故=α/2。答案應選C。

理由：再過P點作傳送帶的垂線PE交OF于E點，則PE=EO，以E點為圓心，以EO為半徑作圓周，圓E與傳送帶恰好相切于P點。由圖可知，圓E是所有圓心在豎直線OF上的與傳送帶相切或相交的圓中半徑最小的圓，根據上述運動模型可知，滑槽沿OP方位放置，藥片沿滑槽滑到傳送帶上的時間最短。