概率學(xué)習(xí)中值得注意的幾個(gè)問(wèn)題

劉靜宇

概率是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，涉及到的知識(shí)點(diǎn)主要包括：古典概型與幾何概型、頻率與概率、互斥事件與對(duì)立事件及相互獨(dú)立事件、離散型隨機(jī)變量分布列及期望方差。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)一些概率知識(shí)容易混淆。下面結(jié)合實(shí)例，談一談在概率的學(xué)習(xí)中應(yīng)該注意的幾個(gè)問(wèn)題。

一、正確理解“頻率”與“概率”的區(qū)別

例：“拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上的可能性是■”，這個(gè)■是不以人們的意志為轉(zhuǎn)移的，它就是概率。“拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，連續(xù)拋1000次，發(fā)現(xiàn)有500次正面向上，正面向上的比例為■”，這個(gè)■是通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到的比值，它就是頻率。

點(diǎn)評(píng)：隨機(jī)事件的頻率是指該隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)m與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值。在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，把這個(gè)常數(shù)叫該事件的概率。

二、正確理解“古典概型”概率公式

如果一次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，每一個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性都是均等的，這樣的試驗(yàn)稱為古典概型。在古典概型中，基本事件總數(shù)為n，事件A包括其中m個(gè)基本事件，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=■,要想計(jì)算出事件A的概率,必須確定m和n的值。

例：口袋中有2個(gè)紅球，8個(gè)白球，每次摸1個(gè)球，記下顏色后不再放回。一共摸了四次，求其中恰好有兩次摸紅球的概率。

解法一:把10個(gè)球全部取出并排成一排,則基本事件總數(shù)n=A1010.

“恰好兩次摸紅球”這一事件所含的基本事件數(shù)m=A24A88，∴P=■=■.

解法二：本題相當(dāng)于從2個(gè)紅球8個(gè)白球中取出4個(gè)球，求其中恰好有2個(gè)紅球的概率。n=C410，m=C22C28∴P=■=■.

點(diǎn)評(píng)：究竟是用排列知識(shí)還是用組合知識(shí)求m、n的值，關(guān)鍵在于如何理解題意，從哪個(gè)角度去看。無(wú)論用排列還是組合知識(shí)都有可能達(dá)到目的。

三、正確理解“古典概型”與“互斥事件”的關(guān)系

例：有20個(gè)球，其中紅球15個(gè)，黃球5個(gè)，從中任取3個(gè)， 求“至少有1個(gè)黃球”的概率。

解法一:“至少有一個(gè)黃球”這一事件由互斥的三個(gè)基本事件組成:A=“1黃2紅”,B=“2黃1紅”,C=“3黃”,P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=■+■+■=■+■+■=■.

解法二:令D=“至少有一個(gè)黃球”,“都是紅球”為其對(duì)立事件,

P（D）=1-P（D）=1-■=■.

點(diǎn)評(píng):互斥事件概率公式，是解決古典概型問(wèn)題的一個(gè)工具，它與古典概型并不是并列的關(guān)系。求概率時(shí),如果要分類(lèi)討論,則類(lèi)與類(lèi)間就是互斥的;如果運(yùn)用排除法求概率,就可以看作是利用對(duì)立事件求概率。

四、正確理解“古典概型”與“相互獨(dú)立事件”的區(qū)別

事件A（或B）是否發(fā)生對(duì)B（或A）發(fā)生的概率沒(méi)有影響,這樣的兩個(gè)事件稱為相互獨(dú)立事件。若A、B同時(shí)發(fā)生，則P(A·B)=P(A)P(B)；在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為p，則n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，該事件發(fā)生k次的概率

p=CknPk(1-P)n-k

例：（1）有100件產(chǎn)品,次品率為5﹪，從中任取3件，求恰好有1件次品的概率。

（2）有一大批產(chǎn)品,次品率為5％，從中任取3件，求恰好有1件次品的概率。

解：（1）100件產(chǎn)品中有95件正品，5件次品.記“恰好有一件次品”為事件A,則P（A）=■=■.

（2）每次取到次品的概率都是5％，記“恰好有一件次品”為事件A，則P(A)=C13(■)(■)2=■.

點(diǎn)評(píng)：同樣是次品率為5％，前一問(wèn)題屬于“古典概型問(wèn)題”,后一問(wèn)題由于產(chǎn)品數(shù)量很大,取出一件以后對(duì)下回取次品的概率沒(méi)有影響，所以屬于“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”問(wèn)題。

上面幾點(diǎn)，是學(xué)生在概率學(xué)習(xí)過(guò)程中容易混淆的幾個(gè)地方。通過(guò)本文的分析、闡述，希望能對(duì)教師的概率教學(xué)和學(xué)生的概率學(xué)習(xí)有所幫助。