有效促進(jìn)學(xué)生理解掌握數(shù)學(xué)思想方法例談

黃美建

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂。日本著名數(shù)學(xué)家米山國藏曾經(jīng)說過：在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終生受益。這說明數(shù)學(xué)思想方法對人的發(fā)展起奠基作用。課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出：“要使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)?！蹦敲?，如何有效促進(jìn)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)思想和方法呢？

一、在教學(xué)設(shè)計時，有意識地挖掘數(shù)學(xué)思想方法

老師在使用教材時，要認(rèn)真分析教材。不但要分析知識之間的邏輯關(guān)系、教材的編排體系，還要理清教材中隱性的數(shù)學(xué)思想方法，明確每一章節(jié)中隱含的數(shù)學(xué)思想方法，每一種數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的分布情況。這樣，教師在教學(xué)設(shè)計時就能高屋建瓴，有效地挖掘數(shù)學(xué)思想方法。如教學(xué)《園的面積》，在備課時，教師要有意識地挖掘圓的面積公式中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想——整體思想。在S=πr2中，知道了哪一個條件就能求出圓的面積？大部分學(xué)生自然而然地會想到知道r就能求出面積，成績較好的學(xué)生會想到知道直徑、周長就能求出半徑，然后可以求出面積。很少有學(xué)生會想到知道半徑的平方也可以求出圓的面積。如果教學(xué)到此為止，就會失去滲透數(shù)學(xué)思想、有效落實(shí)數(shù)學(xué)思想的契機(jī)。在圓的面積公式S=πr2中，π是一個固定不變的常數(shù)，如果知道r2，也能求出圓的面積，這實(shí)際上是數(shù)學(xué)上的整體思想。整體思想并非在圓的面積公式中第一次出現(xiàn)，在三角形的面積公式中已經(jīng)出現(xiàn)過。S=ah÷2中，知道ah的積也可以求出三角形的面積。如，在面積是10平方分米的平行四邊形中畫一個最大的三角形，三角形的面積是（ ）平方分米。因此在教學(xué)設(shè)計時要深刻領(lǐng)悟每一種數(shù)學(xué)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的分布情況，做到心中有數(shù)，才能落實(shí)有效。

二、在探究新知時，有意識地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法

在學(xué)習(xí)過程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生積極主動地經(jīng)歷知識的形成過程，結(jié)合具體的情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，探究解決問題的策略，讓學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、歸納、抽象、概括的過程中，發(fā)現(xiàn)潛藏其中的思想方法，自覺地理清解題思路。同時，教師要有意識地加以指導(dǎo)，提煉蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)知識的正遷移。如對應(yīng)思想在“找規(guī)律”（植樹問題）中的運(yùn)用，教師先出示嘗試題：有9棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都不放花，一共可以放幾盆花？（1）操作——先讓學(xué)生自主探索，學(xué)生通過畫圖和數(shù)數(shù)得出“8盆”，滲透數(shù)形結(jié)合思想。（2）探索——如果有500棵樹排成一行，還這樣擺，一共要放幾盆花？設(shè)置懸念，尋找規(guī)律。學(xué)生可能會用以下方法解答：A.化歸法。數(shù)字較大時從簡單的數(shù)字想起，用不完全歸納法得出：兩頭都不放花，花的盆數(shù)比樹的棵數(shù)少1棵，所以有499盆花。B.對應(yīng)法。 ■

一棵樹對應(yīng)一盆花，最后一棵樹沒有花對應(yīng)，所以花的盆數(shù)比樹的棵數(shù)少1，花的盆數(shù)算式是500-1=499。這時學(xué)生得到的是個體的探索經(jīng)驗(yàn)，是零散的經(jīng)驗(yàn)，沒有上升到基本的數(shù)學(xué)思想。（3）領(lǐng)悟提升——剛才我們是怎么解決500棵樹中擺了幾盆花的？A.采用復(fù)雜問題簡單化，也就是化歸法解決的。B.對應(yīng)法?？赡軐W(xué)生說不出具體的方法名稱，這時教師要明示，適當(dāng)強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想。（4）應(yīng)用提高——有500棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都放花，一共要放幾盆花？變式深化：有500棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，最前面放花，最后面不放花，一共要放幾盆花？教師不斷地進(jìn)行變式訓(xùn)練，但萬變不離其宗——對應(yīng)思想。學(xué)生依據(jù)表象，靈活地運(yùn)用這一思想方法，舉一反三，體驗(yàn)它的價值。在不斷的運(yùn)用中，“對應(yīng)”思想逐步“植入”學(xué)生的頭腦，最終內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這樣建立的對應(yīng)思想真實(shí)、扎實(shí)，學(xué)生感受真切，印象深刻。

三、在解決問題時，有意識地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法

要將已學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法轉(zhuǎn)化為自己頭腦中穩(wěn)定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，應(yīng)用是實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的有效途徑。只有在循環(huán)反復(fù)中應(yīng)用，數(shù)學(xué)思想才能在不斷的歸屬同化中深化，思維能力才能得以發(fā)展。所以，教師在教學(xué)中要鼓勵學(xué)生運(yùn)用已學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法去發(fā)現(xiàn)、分析和解決生活中的實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生加以抽象、概括，建立數(shù)學(xué)模型，探求解決問題的一般方法。如化歸思想的應(yīng)用：化歸思想是把一個實(shí)際問題通過某種轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一個數(shù)學(xué)問題，把一個較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個較簡單的問題或者把一個新問題轉(zhuǎn)化為一個舊問題。例如：一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊合作要60天完成，現(xiàn)在由甲隊先單獨(dú)做80天，乙隊接著再做20天，正好完成任務(wù)。甲隊單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要幾天？如果用常規(guī)思路，就會覺得此題很難，不知從何下手。如果通過化歸，把條件“甲隊先單獨(dú)做80天，乙隊接著再做20天”轉(zhuǎn)化成“甲、乙兩隊再合作20天，甲隊再單獨(dú)做60天正好完成任務(wù)”，很容易求出合作20天的工作量是■，把總的工作量減去合作20天的工作量，就得到甲隊60天的工作量是1-■=■。甲隊一天完成■÷60=■，甲單獨(dú)做的時間是1÷■=90天。通過這樣的轉(zhuǎn)化達(dá)到化難為易、化繁為簡的效果。又如類比思想的應(yīng)用：類比思想方法就是通過對條件和問題的相同點(diǎn)、不同點(diǎn)的對比，全面而深刻地認(rèn)識問題的本質(zhì)。小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題中，可以對題中的條件或問題進(jìn)行比較，找出它們之間存在的差異，分析存在差異的原因，從而找到解決問題的方法。下圖中BC=1.5AB，乙的面積是30平方厘米，甲的面積是（ ）平方厘米。

如果用常規(guī)思路，就會覺得此題缺少條件，無法解答。仔細(xì)分析比較，甲三角形和乙三角形有共同之處——它們的高相等，不同之處是底不同。運(yùn)用類比思想，高相同的兩個三角形，乙的底是甲的1.5倍，那么乙的面積就是甲的1.5倍，由此可求出甲的面積是30÷1.5=20平方厘米。當(dāng)學(xué)生解決了這道題目后，教師不能到此為止，要及時引導(dǎo)學(xué)生反思：這道題我們是用什么方法解決的？——比較法。適時明示并強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想，讓隱形的數(shù)學(xué)思想顯性化，促使數(shù)學(xué)思想植根于學(xué)生的大腦中。

四、在總結(jié)反思時，有意識地引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法

在總結(jié)反思某一思想方法的時候，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生自覺地反思自己的思維過程，使獲得的數(shù)學(xué)思想方法更明晰、更深刻，讓學(xué)生反思自己是怎樣發(fā)現(xiàn)問題、分析解決問題的。在這一思維過程中，又是怎樣應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，用了哪些基本的思考方法和技巧，積累了哪些有益的成功經(jīng)驗(yàn)，怎樣去拓展和延伸的。只有這樣的反思，才能使學(xué)生的思維得到良好的培養(yǎng)與發(fā)展，才能使學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的高度把握知識的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律，逐步體會數(shù)學(xué)思想方法的精神實(shí)質(zhì)，提高學(xué)生自覺的應(yīng)用意識。

要有效促進(jìn)小學(xué)生理解掌握數(shù)學(xué)思想方法，先要滲透感悟，當(dāng)學(xué)生積累了一定量的數(shù)學(xué)思想方法后，教師要有意識地明示，經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生事后反思：“我是通過什么方法、手段解決這個問題的？”通過滲透、感悟、明示、反思，學(xué)生頭腦中建立的數(shù)學(xué)思想方法是現(xiàn)實(shí)的、真實(shí)的，印象是深刻的。數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)生頭腦中的建立要經(jīng)歷一個循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過程，有時往往是幾種思想方法交織在一起，教師在教學(xué)過程中要依據(jù)具體情況，有主有次，在某一段時間內(nèi)重點(diǎn)滲透一兩種數(shù)學(xué)思想方法，這樣效果會好得多。

（責(zé)編 羅 艷）endprint

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂。日本著名數(shù)學(xué)家米山國藏曾經(jīng)說過：在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終生受益。這說明數(shù)學(xué)思想方法對人的發(fā)展起奠基作用。課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出：“要使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)?！蹦敲?，如何有效促進(jìn)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)思想和方法呢？

一、在教學(xué)設(shè)計時，有意識地挖掘數(shù)學(xué)思想方法

老師在使用教材時，要認(rèn)真分析教材。不但要分析知識之間的邏輯關(guān)系、教材的編排體系，還要理清教材中隱性的數(shù)學(xué)思想方法，明確每一章節(jié)中隱含的數(shù)學(xué)思想方法，每一種數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的分布情況。這樣，教師在教學(xué)設(shè)計時就能高屋建瓴，有效地挖掘數(shù)學(xué)思想方法。如教學(xué)《園的面積》，在備課時，教師要有意識地挖掘圓的面積公式中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想——整體思想。在S=πr2中，知道了哪一個條件就能求出圓的面積？大部分學(xué)生自然而然地會想到知道r就能求出面積，成績較好的學(xué)生會想到知道直徑、周長就能求出半徑，然后可以求出面積。很少有學(xué)生會想到知道半徑的平方也可以求出圓的面積。如果教學(xué)到此為止，就會失去滲透數(shù)學(xué)思想、有效落實(shí)數(shù)學(xué)思想的契機(jī)。在圓的面積公式S=πr2中，π是一個固定不變的常數(shù)，如果知道r2，也能求出圓的面積，這實(shí)際上是數(shù)學(xué)上的整體思想。整體思想并非在圓的面積公式中第一次出現(xiàn)，在三角形的面積公式中已經(jīng)出現(xiàn)過。S=ah÷2中，知道ah的積也可以求出三角形的面積。如，在面積是10平方分米的平行四邊形中畫一個最大的三角形，三角形的面積是（ ）平方分米。因此在教學(xué)設(shè)計時要深刻領(lǐng)悟每一種數(shù)學(xué)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的分布情況，做到心中有數(shù)，才能落實(shí)有效。

二、在探究新知時，有意識地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法

在學(xué)習(xí)過程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生積極主動地經(jīng)歷知識的形成過程，結(jié)合具體的情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，探究解決問題的策略，讓學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、歸納、抽象、概括的過程中，發(fā)現(xiàn)潛藏其中的思想方法，自覺地理清解題思路。同時，教師要有意識地加以指導(dǎo)，提煉蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)知識的正遷移。如對應(yīng)思想在“找規(guī)律”（植樹問題）中的運(yùn)用，教師先出示嘗試題：有9棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都不放花，一共可以放幾盆花？（1）操作——先讓學(xué)生自主探索，學(xué)生通過畫圖和數(shù)數(shù)得出“8盆”，滲透數(shù)形結(jié)合思想。（2）探索——如果有500棵樹排成一行，還這樣擺，一共要放幾盆花？設(shè)置懸念，尋找規(guī)律。學(xué)生可能會用以下方法解答：A.化歸法。數(shù)字較大時從簡單的數(shù)字想起，用不完全歸納法得出：兩頭都不放花，花的盆數(shù)比樹的棵數(shù)少1棵，所以有499盆花。B.對應(yīng)法。 ■

一棵樹對應(yīng)一盆花，最后一棵樹沒有花對應(yīng)，所以花的盆數(shù)比樹的棵數(shù)少1，花的盆數(shù)算式是500-1=499。這時學(xué)生得到的是個體的探索經(jīng)驗(yàn)，是零散的經(jīng)驗(yàn)，沒有上升到基本的數(shù)學(xué)思想。（3）領(lǐng)悟提升——剛才我們是怎么解決500棵樹中擺了幾盆花的？A.采用復(fù)雜問題簡單化，也就是化歸法解決的。B.對應(yīng)法?？赡軐W(xué)生說不出具體的方法名稱，這時教師要明示，適當(dāng)強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想。（4）應(yīng)用提高——有500棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都放花，一共要放幾盆花？變式深化：有500棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，最前面放花，最后面不放花，一共要放幾盆花？教師不斷地進(jìn)行變式訓(xùn)練，但萬變不離其宗——對應(yīng)思想。學(xué)生依據(jù)表象，靈活地運(yùn)用這一思想方法，舉一反三，體驗(yàn)它的價值。在不斷的運(yùn)用中，“對應(yīng)”思想逐步“植入”學(xué)生的頭腦，最終內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這樣建立的對應(yīng)思想真實(shí)、扎實(shí)，學(xué)生感受真切，印象深刻。

三、在解決問題時，有意識地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法

要將已學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法轉(zhuǎn)化為自己頭腦中穩(wěn)定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，應(yīng)用是實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的有效途徑。只有在循環(huán)反復(fù)中應(yīng)用，數(shù)學(xué)思想才能在不斷的歸屬同化中深化，思維能力才能得以發(fā)展。所以，教師在教學(xué)中要鼓勵學(xué)生運(yùn)用已學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法去發(fā)現(xiàn)、分析和解決生活中的實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生加以抽象、概括，建立數(shù)學(xué)模型，探求解決問題的一般方法。如化歸思想的應(yīng)用：化歸思想是把一個實(shí)際問題通過某種轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一個數(shù)學(xué)問題，把一個較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個較簡單的問題或者把一個新問題轉(zhuǎn)化為一個舊問題。例如：一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊合作要60天完成，現(xiàn)在由甲隊先單獨(dú)做80天，乙隊接著再做20天，正好完成任務(wù)。甲隊單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要幾天？如果用常規(guī)思路，就會覺得此題很難，不知從何下手。如果通過化歸，把條件“甲隊先單獨(dú)做80天，乙隊接著再做20天”轉(zhuǎn)化成“甲、乙兩隊再合作20天，甲隊再單獨(dú)做60天正好完成任務(wù)”，很容易求出合作20天的工作量是■，把總的工作量減去合作20天的工作量，就得到甲隊60天的工作量是1-■=■。甲隊一天完成■÷60=■，甲單獨(dú)做的時間是1÷■=90天。通過這樣的轉(zhuǎn)化達(dá)到化難為易、化繁為簡的效果。又如類比思想的應(yīng)用：類比思想方法就是通過對條件和問題的相同點(diǎn)、不同點(diǎn)的對比，全面而深刻地認(rèn)識問題的本質(zhì)。小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題中，可以對題中的條件或問題進(jìn)行比較，找出它們之間存在的差異，分析存在差異的原因，從而找到解決問題的方法。下圖中BC=1.5AB，乙的面積是30平方厘米，甲的面積是（ ）平方厘米。

如果用常規(guī)思路，就會覺得此題缺少條件，無法解答。仔細(xì)分析比較，甲三角形和乙三角形有共同之處——它們的高相等，不同之處是底不同。運(yùn)用類比思想，高相同的兩個三角形，乙的底是甲的1.5倍，那么乙的面積就是甲的1.5倍，由此可求出甲的面積是30÷1.5=20平方厘米。當(dāng)學(xué)生解決了這道題目后，教師不能到此為止，要及時引導(dǎo)學(xué)生反思：這道題我們是用什么方法解決的？——比較法。適時明示并強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想，讓隱形的數(shù)學(xué)思想顯性化，促使數(shù)學(xué)思想植根于學(xué)生的大腦中。

四、在總結(jié)反思時，有意識地引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法

在總結(jié)反思某一思想方法的時候，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生自覺地反思自己的思維過程，使獲得的數(shù)學(xué)思想方法更明晰、更深刻，讓學(xué)生反思自己是怎樣發(fā)現(xiàn)問題、分析解決問題的。在這一思維過程中，又是怎樣應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，用了哪些基本的思考方法和技巧，積累了哪些有益的成功經(jīng)驗(yàn)，怎樣去拓展和延伸的。只有這樣的反思，才能使學(xué)生的思維得到良好的培養(yǎng)與發(fā)展，才能使學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的高度把握知識的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律，逐步體會數(shù)學(xué)思想方法的精神實(shí)質(zhì)，提高學(xué)生自覺的應(yīng)用意識。

要有效促進(jìn)小學(xué)生理解掌握數(shù)學(xué)思想方法，先要滲透感悟，當(dāng)學(xué)生積累了一定量的數(shù)學(xué)思想方法后，教師要有意識地明示，經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生事后反思：“我是通過什么方法、手段解決這個問題的？”通過滲透、感悟、明示、反思，學(xué)生頭腦中建立的數(shù)學(xué)思想方法是現(xiàn)實(shí)的、真實(shí)的，印象是深刻的。數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)生頭腦中的建立要經(jīng)歷一個循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過程，有時往往是幾種思想方法交織在一起，教師在教學(xué)過程中要依據(jù)具體情況，有主有次，在某一段時間內(nèi)重點(diǎn)滲透一兩種數(shù)學(xué)思想方法，這樣效果會好得多。

（責(zé)編 羅 艷）endprint

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂。日本著名數(shù)學(xué)家米山國藏曾經(jīng)說過：在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終生受益。這說明數(shù)學(xué)思想方法對人的發(fā)展起奠基作用。課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出：“要使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。”那么，如何有效促進(jìn)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)思想和方法呢？

一、在教學(xué)設(shè)計時，有意識地挖掘數(shù)學(xué)思想方法

老師在使用教材時，要認(rèn)真分析教材。不但要分析知識之間的邏輯關(guān)系、教材的編排體系，還要理清教材中隱性的數(shù)學(xué)思想方法，明確每一章節(jié)中隱含的數(shù)學(xué)思想方法，每一種數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的分布情況。這樣，教師在教學(xué)設(shè)計時就能高屋建瓴，有效地挖掘數(shù)學(xué)思想方法。如教學(xué)《園的面積》，在備課時，教師要有意識地挖掘圓的面積公式中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想——整體思想。在S=πr2中，知道了哪一個條件就能求出圓的面積？大部分學(xué)生自然而然地會想到知道r就能求出面積，成績較好的學(xué)生會想到知道直徑、周長就能求出半徑，然后可以求出面積。很少有學(xué)生會想到知道半徑的平方也可以求出圓的面積。如果教學(xué)到此為止，就會失去滲透數(shù)學(xué)思想、有效落實(shí)數(shù)學(xué)思想的契機(jī)。在圓的面積公式S=πr2中，π是一個固定不變的常數(shù)，如果知道r2，也能求出圓的面積，這實(shí)際上是數(shù)學(xué)上的整體思想。整體思想并非在圓的面積公式中第一次出現(xiàn)，在三角形的面積公式中已經(jīng)出現(xiàn)過。S=ah÷2中，知道ah的積也可以求出三角形的面積。如，在面積是10平方分米的平行四邊形中畫一個最大的三角形，三角形的面積是（ ）平方分米。因此在教學(xué)設(shè)計時要深刻領(lǐng)悟每一種數(shù)學(xué)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的分布情況，做到心中有數(shù)，才能落實(shí)有效。

二、在探究新知時，有意識地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法

在學(xué)習(xí)過程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生積極主動地經(jīng)歷知識的形成過程，結(jié)合具體的情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，探究解決問題的策略，讓學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、歸納、抽象、概括的過程中，發(fā)現(xiàn)潛藏其中的思想方法，自覺地理清解題思路。同時，教師要有意識地加以指導(dǎo)，提煉蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)知識的正遷移。如對應(yīng)思想在“找規(guī)律”（植樹問題）中的運(yùn)用，教師先出示嘗試題：有9棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都不放花，一共可以放幾盆花？（1）操作——先讓學(xué)生自主探索，學(xué)生通過畫圖和數(shù)數(shù)得出“8盆”，滲透數(shù)形結(jié)合思想。（2）探索——如果有500棵樹排成一行，還這樣擺，一共要放幾盆花？設(shè)置懸念，尋找規(guī)律。學(xué)生可能會用以下方法解答：A.化歸法。數(shù)字較大時從簡單的數(shù)字想起，用不完全歸納法得出：兩頭都不放花，花的盆數(shù)比樹的棵數(shù)少1棵，所以有499盆花。B.對應(yīng)法。 ■

一棵樹對應(yīng)一盆花，最后一棵樹沒有花對應(yīng)，所以花的盆數(shù)比樹的棵數(shù)少1，花的盆數(shù)算式是500-1=499。這時學(xué)生得到的是個體的探索經(jīng)驗(yàn)，是零散的經(jīng)驗(yàn)，沒有上升到基本的數(shù)學(xué)思想。（3）領(lǐng)悟提升——剛才我們是怎么解決500棵樹中擺了幾盆花的？A.采用復(fù)雜問題簡單化，也就是化歸法解決的。B.對應(yīng)法?？赡軐W(xué)生說不出具體的方法名稱，這時教師要明示，適當(dāng)強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想。（4）應(yīng)用提高——有500棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都放花，一共要放幾盆花？變式深化：有500棵樹排成一行，每相鄰的兩棵樹之間放一盆花，最前面放花，最后面不放花，一共要放幾盆花？教師不斷地進(jìn)行變式訓(xùn)練，但萬變不離其宗——對應(yīng)思想。學(xué)生依據(jù)表象，靈活地運(yùn)用這一思想方法，舉一反三，體驗(yàn)它的價值。在不斷的運(yùn)用中，“對應(yīng)”思想逐步“植入”學(xué)生的頭腦，最終內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這樣建立的對應(yīng)思想真實(shí)、扎實(shí)，學(xué)生感受真切，印象深刻。

三、在解決問題時，有意識地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法

要將已學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法轉(zhuǎn)化為自己頭腦中穩(wěn)定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，應(yīng)用是實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的有效途徑。只有在循環(huán)反復(fù)中應(yīng)用，數(shù)學(xué)思想才能在不斷的歸屬同化中深化，思維能力才能得以發(fā)展。所以，教師在教學(xué)中要鼓勵學(xué)生運(yùn)用已學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法去發(fā)現(xiàn)、分析和解決生活中的實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生加以抽象、概括，建立數(shù)學(xué)模型，探求解決問題的一般方法。如化歸思想的應(yīng)用：化歸思想是把一個實(shí)際問題通過某種轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一個數(shù)學(xué)問題，把一個較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個較簡單的問題或者把一個新問題轉(zhuǎn)化為一個舊問題。例如：一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊合作要60天完成，現(xiàn)在由甲隊先單獨(dú)做80天，乙隊接著再做20天，正好完成任務(wù)。甲隊單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要幾天？如果用常規(guī)思路，就會覺得此題很難，不知從何下手。如果通過化歸，把條件“甲隊先單獨(dú)做80天，乙隊接著再做20天”轉(zhuǎn)化成“甲、乙兩隊再合作20天，甲隊再單獨(dú)做60天正好完成任務(wù)”，很容易求出合作20天的工作量是■，把總的工作量減去合作20天的工作量，就得到甲隊60天的工作量是1-■=■。甲隊一天完成■÷60=■，甲單獨(dú)做的時間是1÷■=90天。通過這樣的轉(zhuǎn)化達(dá)到化難為易、化繁為簡的效果。又如類比思想的應(yīng)用：類比思想方法就是通過對條件和問題的相同點(diǎn)、不同點(diǎn)的對比，全面而深刻地認(rèn)識問題的本質(zhì)。小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題中，可以對題中的條件或問題進(jìn)行比較，找出它們之間存在的差異，分析存在差異的原因，從而找到解決問題的方法。下圖中BC=1.5AB，乙的面積是30平方厘米，甲的面積是（ ）平方厘米。

如果用常規(guī)思路，就會覺得此題缺少條件，無法解答。仔細(xì)分析比較，甲三角形和乙三角形有共同之處——它們的高相等，不同之處是底不同。運(yùn)用類比思想，高相同的兩個三角形，乙的底是甲的1.5倍，那么乙的面積就是甲的1.5倍，由此可求出甲的面積是30÷1.5=20平方厘米。當(dāng)學(xué)生解決了這道題目后，教師不能到此為止，要及時引導(dǎo)學(xué)生反思：這道題我們是用什么方法解決的？——比較法。適時明示并強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想，讓隱形的數(shù)學(xué)思想顯性化，促使數(shù)學(xué)思想植根于學(xué)生的大腦中。

四、在總結(jié)反思時，有意識地引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法

在總結(jié)反思某一思想方法的時候，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生自覺地反思自己的思維過程，使獲得的數(shù)學(xué)思想方法更明晰、更深刻，讓學(xué)生反思自己是怎樣發(fā)現(xiàn)問題、分析解決問題的。在這一思維過程中，又是怎樣應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，用了哪些基本的思考方法和技巧，積累了哪些有益的成功經(jīng)驗(yàn)，怎樣去拓展和延伸的。只有這樣的反思，才能使學(xué)生的思維得到良好的培養(yǎng)與發(fā)展，才能使學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的高度把握知識的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律，逐步體會數(shù)學(xué)思想方法的精神實(shí)質(zhì)，提高學(xué)生自覺的應(yīng)用意識。

要有效促進(jìn)小學(xué)生理解掌握數(shù)學(xué)思想方法，先要滲透感悟，當(dāng)學(xué)生積累了一定量的數(shù)學(xué)思想方法后，教師要有意識地明示，經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生事后反思：“我是通過什么方法、手段解決這個問題的？”通過滲透、感悟、明示、反思，學(xué)生頭腦中建立的數(shù)學(xué)思想方法是現(xiàn)實(shí)的、真實(shí)的，印象是深刻的。數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)生頭腦中的建立要經(jīng)歷一個循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過程，有時往往是幾種思想方法交織在一起，教師在教學(xué)過程中要依據(jù)具體情況，有主有次，在某一段時間內(nèi)重點(diǎn)滲透一兩種數(shù)學(xué)思想方法，這樣效果會好得多。

（責(zé)編 羅 艷）endprint