淺談數(shù)學(xué)史與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的融合

吳春蓮

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)史與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的融合，不但是培養(yǎng)學(xué)生智力和創(chuàng)新精神的基礎(chǔ)，而且是提高小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要手段。數(shù)學(xué)史與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)融合的類型多種多樣，我認(rèn)為以下幾種類型較好。

一、以數(shù)學(xué)史來創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課堂

目前，小學(xué)課程改革中，對“創(chuàng)設(shè)情境”有了更新、更高的要求。數(shù)學(xué)史能為“創(chuàng)設(shè)情境”提供豐富的史料，以數(shù)學(xué)史知識(shí)進(jìn)行新課引入，既讓學(xué)生獲得知識(shí)的來龍去脈，還能創(chuàng)造出引人入勝的課堂。如學(xué)習(xí)“時(shí)分秒”時(shí)，先呈現(xiàn)古代的計(jì)時(shí)工具“刻漏”，然后對學(xué)生講述“刻漏”的由來，以及它在古代社會(huì)中的作用。讓學(xué)生了解先人經(jīng)歷了漫長的探索過程，才有我們今天學(xué)習(xí)的計(jì)時(shí)工具“鐘表”。

二、將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課，開拓學(xué)生的文化視野

結(jié)合教材內(nèi)容，將數(shù)學(xué)史融進(jìn)綜合實(shí)踐課中，讓學(xué)生去領(lǐng)略古今中外的數(shù)學(xué)史料。同時(shí)，把數(shù)學(xué)的豐富和神奇，交給學(xué)生去研究和探索，不但培養(yǎng)學(xué)生探究問題、獨(dú)立解決問題的能力，而且還能開拓學(xué)生的文化視野。如四年級下冊的一道題：埃及金字塔的塔基是一個(gè)正方形，其中包含了一個(gè)“節(jié)約”的數(shù)學(xué)原理，這是為什么呢？老師不斷啟發(fā)學(xué)生，提出疑問：正四邊形消耗材料最少，為什么？我把問題交給學(xué)生，讓學(xué)生通過請教親人朋友、上網(wǎng)查詢等方式，積極尋找答案，不但解決了問題，而且還匯聚了許多數(shù)學(xué)史知識(shí)，豐富學(xué)生的文化知識(shí)，得到意想不到的收獲。

三、比較古今算法，訓(xùn)練思維，激發(fā)興趣

一些數(shù)學(xué)問題的古代算法，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，現(xiàn)在已出現(xiàn)更簡單的算法，但是，古代算法中所蘊(yùn)含的“數(shù)學(xué)思想方法”很值得學(xué)生學(xué)習(xí)。而且在古代算法的知識(shí)中，很多是小學(xué)生能理解的，這有利于訓(xùn)練學(xué)生思維，提高學(xué)習(xí)興趣。如四年級下冊的密鋪知識(shí)，為啟發(fā)學(xué)生提出問題：為什么正六邊形消耗材料最少？在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，學(xué)生通過小組交流，體會(huì)到“小小蜂房的學(xué)問”，拉馬爾、馬克勞林等數(shù)學(xué)家研究過這個(gè)問題，老師可向?qū)W生講述一些符合小學(xué)生知識(shí)層次的古代方法，還可以介紹我國數(shù)學(xué)家華羅庚用小學(xué)知識(shí)研究“蜂房”的方法。通過古今算法的比較，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維，激發(fā)興趣。

四、古法新用，注重創(chuàng)新和應(yīng)用能力的培養(yǎng)

提煉、改造數(shù)學(xué)的一些古代算法，并進(jìn)行升華，重現(xiàn)古人對這些數(shù)學(xué)知識(shí)的探索歷程，也可以讓學(xué)生用古代的方法去解決一些數(shù)學(xué)的新問題，重視創(chuàng)新意識(shí)的養(yǎng)成，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

如在教“圓柱體積”的時(shí)候，引入阿基米德的圓柱容球定理，這是阿基米德在他眾多的科學(xué)發(fā)現(xiàn)中最為得意的一個(gè)，因此在他的墓碑上銘刻了“圓柱容球”這一圖案。由于學(xué)生還沒有學(xué)過球的體積，借此可以將題目適當(dāng)?shù)刈儞Q一下：圓和正方形的面積之比是否為一個(gè)定值呢？（如右上圖所示）從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)他們的面積之比為π/4。這樣通過對數(shù)學(xué)史的改造和升華，重演古人對這些內(nèi)容的探索過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新精神。

五、將數(shù)學(xué)史融入復(fù)習(xí)課，實(shí)現(xiàn)愛國主義教育

在小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，數(shù)學(xué)史的內(nèi)容安排較少，一般都是在教完某個(gè)小節(jié)的內(nèi)容后出現(xiàn)的，很多老師在上課的時(shí)候，都沒有把這些內(nèi)容當(dāng)做數(shù)學(xué)知識(shí)來教。有的老師根本完全忽略，從沒有真正帶領(lǐng)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史，從而沒能激起學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望。其實(shí)，在小學(xué)數(shù)學(xué)的小節(jié)復(fù)習(xí)課中，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)史，既可以完善學(xué)生的人格，又可以對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育。

例如，祖沖之的“圓周率”古代計(jì)數(shù)法、古代除法的試商方法、《九章算術(shù)》中的雞兔同籠、古代圓柱等，當(dāng)老師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這部分的內(nèi)容時(shí)，可以向?qū)W生介紹我國數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，介紹我國這些古代的科學(xué)家們杰出的成就，使學(xué)生獲得學(xué)科知識(shí)的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的民族感和愛國熱情。

六、利用數(shù)學(xué)史進(jìn)行課后拓展，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值

把古典數(shù)學(xué)問題融入數(shù)學(xué)課后拓展作業(yè)，恰當(dāng)?shù)乩脭?shù)學(xué)史知識(shí)進(jìn)行結(jié)尾，更是能產(chǎn)生“余音繞梁，三日不絕”的效果，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，有利于教師的教，更有利于學(xué)生的學(xué)。

如講到圓周率時(shí)，布置的課后作業(yè)為“了解π的產(chǎn)生歷程”。學(xué)生從中獲知：我國南北朝有位數(shù)學(xué)家祖沖之，“圓周率的精密計(jì)算”是他的重要成果。過去“圓周率”一直算得不精確，祖沖之下決心攻破它，那時(shí)，沒有計(jì)算機(jī)，只是用算籌（小竹棍）計(jì)算。祖沖之不管白天黑夜，不斷地?cái)[這些算籌（小竹棍），最終算出“圓周率”介于3.1415926和3.1415927之間，是世界上第一個(gè)把π的值算到小數(shù)點(diǎn)后七位的人。一千多年后，歐洲數(shù)學(xué)家奧托才算出這個(gè)數(shù)值。因此，我們有時(shí)把“圓周率”叫為“祖率”，以此紀(jì)念我國數(shù)學(xué)家祖沖之。用計(jì)算機(jī)計(jì)算π的值首次突破了千位數(shù)是1949年，后來巨型計(jì)算機(jī)計(jì)算π的值突破了10億位數(shù)大關(guān)，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，π值的精密計(jì)算記錄不斷地創(chuàng)新。

（責(zé)編 羅 艷）endprint

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)史與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的融合，不但是培養(yǎng)學(xué)生智力和創(chuàng)新精神的基礎(chǔ)，而且是提高小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要手段。數(shù)學(xué)史與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)融合的類型多種多樣，我認(rèn)為以下幾種類型較好。

一、以數(shù)學(xué)史來創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課堂

目前，小學(xué)課程改革中，對“創(chuàng)設(shè)情境”有了更新、更高的要求。數(shù)學(xué)史能為“創(chuàng)設(shè)情境”提供豐富的史料，以數(shù)學(xué)史知識(shí)進(jìn)行新課引入，既讓學(xué)生獲得知識(shí)的來龍去脈，還能創(chuàng)造出引人入勝的課堂。如學(xué)習(xí)“時(shí)分秒”時(shí)，先呈現(xiàn)古代的計(jì)時(shí)工具“刻漏”，然后對學(xué)生講述“刻漏”的由來，以及它在古代社會(huì)中的作用。讓學(xué)生了解先人經(jīng)歷了漫長的探索過程，才有我們今天學(xué)習(xí)的計(jì)時(shí)工具“鐘表”。

二、將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課，開拓學(xué)生的文化視野

結(jié)合教材內(nèi)容，將數(shù)學(xué)史融進(jìn)綜合實(shí)踐課中，讓學(xué)生去領(lǐng)略古今中外的數(shù)學(xué)史料。同時(shí)，把數(shù)學(xué)的豐富和神奇，交給學(xué)生去研究和探索，不但培養(yǎng)學(xué)生探究問題、獨(dú)立解決問題的能力，而且還能開拓學(xué)生的文化視野。如四年級下冊的一道題：埃及金字塔的塔基是一個(gè)正方形，其中包含了一個(gè)“節(jié)約”的數(shù)學(xué)原理，這是為什么呢？老師不斷啟發(fā)學(xué)生，提出疑問：正四邊形消耗材料最少，為什么？我把問題交給學(xué)生，讓學(xué)生通過請教親人朋友、上網(wǎng)查詢等方式，積極尋找答案，不但解決了問題，而且還匯聚了許多數(shù)學(xué)史知識(shí)，豐富學(xué)生的文化知識(shí)，得到意想不到的收獲。

三、比較古今算法，訓(xùn)練思維，激發(fā)興趣

一些數(shù)學(xué)問題的古代算法，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，現(xiàn)在已出現(xiàn)更簡單的算法，但是，古代算法中所蘊(yùn)含的“數(shù)學(xué)思想方法”很值得學(xué)生學(xué)習(xí)。而且在古代算法的知識(shí)中，很多是小學(xué)生能理解的，這有利于訓(xùn)練學(xué)生思維，提高學(xué)習(xí)興趣。如四年級下冊的密鋪知識(shí)，為啟發(fā)學(xué)生提出問題：為什么正六邊形消耗材料最少？在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，學(xué)生通過小組交流，體會(huì)到“小小蜂房的學(xué)問”，拉馬爾、馬克勞林等數(shù)學(xué)家研究過這個(gè)問題，老師可向?qū)W生講述一些符合小學(xué)生知識(shí)層次的古代方法，還可以介紹我國數(shù)學(xué)家華羅庚用小學(xué)知識(shí)研究“蜂房”的方法。通過古今算法的比較，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維，激發(fā)興趣。

四、古法新用，注重創(chuàng)新和應(yīng)用能力的培養(yǎng)

提煉、改造數(shù)學(xué)的一些古代算法，并進(jìn)行升華，重現(xiàn)古人對這些數(shù)學(xué)知識(shí)的探索歷程，也可以讓學(xué)生用古代的方法去解決一些數(shù)學(xué)的新問題，重視創(chuàng)新意識(shí)的養(yǎng)成，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

如在教“圓柱體積”的時(shí)候，引入阿基米德的圓柱容球定理，這是阿基米德在他眾多的科學(xué)發(fā)現(xiàn)中最為得意的一個(gè)，因此在他的墓碑上銘刻了“圓柱容球”這一圖案。由于學(xué)生還沒有學(xué)過球的體積，借此可以將題目適當(dāng)?shù)刈儞Q一下：圓和正方形的面積之比是否為一個(gè)定值呢？（如右上圖所示）從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)他們的面積之比為π/4。這樣通過對數(shù)學(xué)史的改造和升華，重演古人對這些內(nèi)容的探索過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新精神。

五、將數(shù)學(xué)史融入復(fù)習(xí)課，實(shí)現(xiàn)愛國主義教育

在小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，數(shù)學(xué)史的內(nèi)容安排較少，一般都是在教完某個(gè)小節(jié)的內(nèi)容后出現(xiàn)的，很多老師在上課的時(shí)候，都沒有把這些內(nèi)容當(dāng)做數(shù)學(xué)知識(shí)來教。有的老師根本完全忽略，從沒有真正帶領(lǐng)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史，從而沒能激起學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望。其實(shí)，在小學(xué)數(shù)學(xué)的小節(jié)復(fù)習(xí)課中，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)史，既可以完善學(xué)生的人格，又可以對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育。

例如，祖沖之的“圓周率”古代計(jì)數(shù)法、古代除法的試商方法、《九章算術(shù)》中的雞兔同籠、古代圓柱等，當(dāng)老師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這部分的內(nèi)容時(shí)，可以向?qū)W生介紹我國數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，介紹我國這些古代的科學(xué)家們杰出的成就，使學(xué)生獲得學(xué)科知識(shí)的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的民族感和愛國熱情。

六、利用數(shù)學(xué)史進(jìn)行課后拓展，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值

把古典數(shù)學(xué)問題融入數(shù)學(xué)課后拓展作業(yè)，恰當(dāng)?shù)乩脭?shù)學(xué)史知識(shí)進(jìn)行結(jié)尾，更是能產(chǎn)生“余音繞梁，三日不絕”的效果，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，有利于教師的教，更有利于學(xué)生的學(xué)。

如講到圓周率時(shí)，布置的課后作業(yè)為“了解π的產(chǎn)生歷程”。學(xué)生從中獲知：我國南北朝有位數(shù)學(xué)家祖沖之，“圓周率的精密計(jì)算”是他的重要成果。過去“圓周率”一直算得不精確，祖沖之下決心攻破它，那時(shí)，沒有計(jì)算機(jī)，只是用算籌（小竹棍）計(jì)算。祖沖之不管白天黑夜，不斷地?cái)[這些算籌（小竹棍），最終算出“圓周率”介于3.1415926和3.1415927之間，是世界上第一個(gè)把π的值算到小數(shù)點(diǎn)后七位的人。一千多年后，歐洲數(shù)學(xué)家奧托才算出這個(gè)數(shù)值。因此，我們有時(shí)把“圓周率”叫為“祖率”，以此紀(jì)念我國數(shù)學(xué)家祖沖之。用計(jì)算機(jī)計(jì)算π的值首次突破了千位數(shù)是1949年，后來巨型計(jì)算機(jī)計(jì)算π的值突破了10億位數(shù)大關(guān)，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，π值的精密計(jì)算記錄不斷地創(chuàng)新。

（責(zé)編 羅 艷）endprint

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)史與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的融合，不但是培養(yǎng)學(xué)生智力和創(chuàng)新精神的基礎(chǔ)，而且是提高小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要手段。數(shù)學(xué)史與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)融合的類型多種多樣，我認(rèn)為以下幾種類型較好。

一、以數(shù)學(xué)史來創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課堂

目前，小學(xué)課程改革中，對“創(chuàng)設(shè)情境”有了更新、更高的要求。數(shù)學(xué)史能為“創(chuàng)設(shè)情境”提供豐富的史料，以數(shù)學(xué)史知識(shí)進(jìn)行新課引入，既讓學(xué)生獲得知識(shí)的來龍去脈，還能創(chuàng)造出引人入勝的課堂。如學(xué)習(xí)“時(shí)分秒”時(shí)，先呈現(xiàn)古代的計(jì)時(shí)工具“刻漏”，然后對學(xué)生講述“刻漏”的由來，以及它在古代社會(huì)中的作用。讓學(xué)生了解先人經(jīng)歷了漫長的探索過程，才有我們今天學(xué)習(xí)的計(jì)時(shí)工具“鐘表”。

二、將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課，開拓學(xué)生的文化視野

結(jié)合教材內(nèi)容，將數(shù)學(xué)史融進(jìn)綜合實(shí)踐課中，讓學(xué)生去領(lǐng)略古今中外的數(shù)學(xué)史料。同時(shí)，把數(shù)學(xué)的豐富和神奇，交給學(xué)生去研究和探索，不但培養(yǎng)學(xué)生探究問題、獨(dú)立解決問題的能力，而且還能開拓學(xué)生的文化視野。如四年級下冊的一道題：埃及金字塔的塔基是一個(gè)正方形，其中包含了一個(gè)“節(jié)約”的數(shù)學(xué)原理，這是為什么呢？老師不斷啟發(fā)學(xué)生，提出疑問：正四邊形消耗材料最少，為什么？我把問題交給學(xué)生，讓學(xué)生通過請教親人朋友、上網(wǎng)查詢等方式，積極尋找答案，不但解決了問題，而且還匯聚了許多數(shù)學(xué)史知識(shí)，豐富學(xué)生的文化知識(shí)，得到意想不到的收獲。

三、比較古今算法，訓(xùn)練思維，激發(fā)興趣

一些數(shù)學(xué)問題的古代算法，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，現(xiàn)在已出現(xiàn)更簡單的算法，但是，古代算法中所蘊(yùn)含的“數(shù)學(xué)思想方法”很值得學(xué)生學(xué)習(xí)。而且在古代算法的知識(shí)中，很多是小學(xué)生能理解的，這有利于訓(xùn)練學(xué)生思維，提高學(xué)習(xí)興趣。如四年級下冊的密鋪知識(shí)，為啟發(fā)學(xué)生提出問題：為什么正六邊形消耗材料最少？在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，學(xué)生通過小組交流，體會(huì)到“小小蜂房的學(xué)問”，拉馬爾、馬克勞林等數(shù)學(xué)家研究過這個(gè)問題，老師可向?qū)W生講述一些符合小學(xué)生知識(shí)層次的古代方法，還可以介紹我國數(shù)學(xué)家華羅庚用小學(xué)知識(shí)研究“蜂房”的方法。通過古今算法的比較，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維，激發(fā)興趣。

四、古法新用，注重創(chuàng)新和應(yīng)用能力的培養(yǎng)

提煉、改造數(shù)學(xué)的一些古代算法，并進(jìn)行升華，重現(xiàn)古人對這些數(shù)學(xué)知識(shí)的探索歷程，也可以讓學(xué)生用古代的方法去解決一些數(shù)學(xué)的新問題，重視創(chuàng)新意識(shí)的養(yǎng)成，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

如在教“圓柱體積”的時(shí)候，引入阿基米德的圓柱容球定理，這是阿基米德在他眾多的科學(xué)發(fā)現(xiàn)中最為得意的一個(gè)，因此在他的墓碑上銘刻了“圓柱容球”這一圖案。由于學(xué)生還沒有學(xué)過球的體積，借此可以將題目適當(dāng)?shù)刈儞Q一下：圓和正方形的面積之比是否為一個(gè)定值呢？（如右上圖所示）從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)他們的面積之比為π/4。這樣通過對數(shù)學(xué)史的改造和升華，重演古人對這些內(nèi)容的探索過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新精神。

五、將數(shù)學(xué)史融入復(fù)習(xí)課，實(shí)現(xiàn)愛國主義教育

在小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，數(shù)學(xué)史的內(nèi)容安排較少，一般都是在教完某個(gè)小節(jié)的內(nèi)容后出現(xiàn)的，很多老師在上課的時(shí)候，都沒有把這些內(nèi)容當(dāng)做數(shù)學(xué)知識(shí)來教。有的老師根本完全忽略，從沒有真正帶領(lǐng)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史，從而沒能激起學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望。其實(shí)，在小學(xué)數(shù)學(xué)的小節(jié)復(fù)習(xí)課中，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)史，既可以完善學(xué)生的人格，又可以對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育。

例如，祖沖之的“圓周率”古代計(jì)數(shù)法、古代除法的試商方法、《九章算術(shù)》中的雞兔同籠、古代圓柱等，當(dāng)老師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這部分的內(nèi)容時(shí)，可以向?qū)W生介紹我國數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，介紹我國這些古代的科學(xué)家們杰出的成就，使學(xué)生獲得學(xué)科知識(shí)的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的民族感和愛國熱情。

六、利用數(shù)學(xué)史進(jìn)行課后拓展，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值

把古典數(shù)學(xué)問題融入數(shù)學(xué)課后拓展作業(yè)，恰當(dāng)?shù)乩脭?shù)學(xué)史知識(shí)進(jìn)行結(jié)尾，更是能產(chǎn)生“余音繞梁，三日不絕”的效果，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，有利于教師的教，更有利于學(xué)生的學(xué)。

如講到圓周率時(shí)，布置的課后作業(yè)為“了解π的產(chǎn)生歷程”。學(xué)生從中獲知：我國南北朝有位數(shù)學(xué)家祖沖之，“圓周率的精密計(jì)算”是他的重要成果。過去“圓周率”一直算得不精確，祖沖之下決心攻破它，那時(shí)，沒有計(jì)算機(jī)，只是用算籌（小竹棍）計(jì)算。祖沖之不管白天黑夜，不斷地?cái)[這些算籌（小竹棍），最終算出“圓周率”介于3.1415926和3.1415927之間，是世界上第一個(gè)把π的值算到小數(shù)點(diǎn)后七位的人。一千多年后，歐洲數(shù)學(xué)家奧托才算出這個(gè)數(shù)值。因此，我們有時(shí)把“圓周率”叫為“祖率”，以此紀(jì)念我國數(shù)學(xué)家祖沖之。用計(jì)算機(jī)計(jì)算π的值首次突破了千位數(shù)是1949年，后來巨型計(jì)算機(jī)計(jì)算π的值突破了10億位數(shù)大關(guān)，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，π值的精密計(jì)算記錄不斷地創(chuàng)新。

（責(zé)編 羅 艷）endprint