談解圓錐曲線的兩種方法

劉亞艷

借助坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法叫做坐標(biāo)法.解析幾何就是用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識(shí)，因此說(shuō)，解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.

平面解析幾何研究的主要問(wèn)題是：

（1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；

（2）通過(guò)方程，研究平面曲線的性質(zhì).

對(duì)解析幾何問(wèn)題，要把“形”等價(jià)“翻譯”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，幾何問(wèn)題代數(shù)化（也就是方程化），數(shù)形結(jié)合，這是解析幾何的靈魂.

一、曲線和方程

1.概念

在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C和二元方程f（x，y）=0有如下關(guān)系：

（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；

（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上.

那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.

曲線的方程是曲線的代數(shù)刻畫(huà)；方程的曲線是方程的幾何表示.“數(shù)”與“形”角度不同，但二者是“等價(jià)”的.

2.求曲線的方程

求曲線的方程，就是把曲線上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律用代數(shù)方程表示出來(lái)，也就是求動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)x，y之間的關(guān)系式，即方程，而不是求x，y.要知道，x，y不是要被消滅的，而恰是我們要保留的.這點(diǎn)尤要注意。求曲線方程的一般步驟如下：

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；（例如設(shè)M（x，y））

（2）寫(xiě)出適合條件p的M的集合P={M│p（M）}；

（3）用坐標(biāo)表示p（M），列出方程f（x，y）=0；

（4）整理化簡(jiǎn)方程f（x，y）=0為最簡(jiǎn)形式；

（5）證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上.

一般情況下，化簡(jiǎn)前后的方程解集相同，步驟（5）可以省略，特殊情況，可適當(dāng)予以說(shuō)明.

二、求曲線方程的基本方法

主要有兩類基本方法：待定系數(shù)法和代入法.

1.待定系數(shù)法：根據(jù)已知條件，可以確定曲線類型和方程形式，只需確定方程中幾個(gè)參量（系數(shù)），便可求出曲線的方程，這類問(wèn)題一般用待定系數(shù)法。設(shè)出曲線的方程，列出關(guān)于參量的方程組，求出參量，代入所設(shè)方程，整理即可.

這類問(wèn)題，求方程變成了求參量，因?yàn)榉匠獭笆裁礃印币呀?jīng)知道.

想一想，求直線的方程基本上都是待定系數(shù)法.

2.代入法：根據(jù)已知條件，無(wú)法判斷曲線類型和方程形式，這類問(wèn)題一般用代入法.常用的代入法有：（1）直接代入；（2）相關(guān)點(diǎn)代入；（3）消參代入.

這說(shuō)明Q點(diǎn)的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8、短軸長(zhǎng)為4的橢圓，且除去短軸端點(diǎn).

（作者單位 吉林省松原市長(zhǎng)嶺縣第三中學(xué)）