一類最小方差無(wú)失真響應(yīng)波束的形成方法

邵 朝, 趙 妮, 石超雄

(1.西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院, 陜西 西安 710121; 2.西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院, 陜西 西安 710072)

一類最小方差無(wú)失真響應(yīng)波束的形成方法

邵 朝1, 趙 妮1, 石超雄2

(1.西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院, 陜西 西安 710121; 2.西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院, 陜西 西安 710072)

最優(yōu)廣義線性最小方差無(wú)失真響應(yīng)波束形成往往要求陣列導(dǎo)向矢量和信號(hào)非圓度必須為已知，為了突破此限制，基于最小方差無(wú)失真響應(yīng)方法的約束條件提出兩種波束形成方法：其一是先將陣列導(dǎo)向矢量和非圓度的不確定性轉(zhuǎn)化為整體擴(kuò)展導(dǎo)向矢量的不確定性，再規(guī)劃波束形成；其二是利用信號(hào)結(jié)構(gòu)信息來(lái)規(guī)劃波束形成。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，新方法在突破此限制方面具有可行性。

陣列信號(hào)處理；最小方差無(wú)失真響應(yīng)；穩(wěn)健的波束形成

在陣列信號(hào)處理中，波束形成是一種被廣泛應(yīng)用于在空間干擾信號(hào)和加性噪聲的存在下增強(qiáng)空間傳播的感興趣的信號(hào)(Signal Of Interest, SOI)的技術(shù)[1]。傳統(tǒng)的波束形成方法是基于二階(Second order, SO)平穩(wěn)統(tǒng)計(jì)快拍數(shù)據(jù)的，主要關(guān)注平穩(wěn)快拍數(shù)據(jù)，由此產(chǎn)生了線性時(shí)不變(Time Invariant, TI)波束形成。Capon提出的最小方差無(wú)失真響應(yīng)(Minimum Variance Distortionless Response, MVDR)波束形成是一個(gè)著名的線性最優(yōu)波束形成方法[2]。然而，當(dāng)遇到二階非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)，傳統(tǒng)的線性時(shí)不變方法(例如MVDR波束形成)將不是最優(yōu)的。

在許多實(shí)際情況下，二階非平穩(wěn)信號(hào)也是非圓信號(hào)。為了利用快拍數(shù)據(jù)的非圓度，文獻(xiàn)[3-4]提出基于廣義線性(Widely Linear, WL)波束形成的方法并改進(jìn)了性能。WL-MVDR波束形成方法[3]能夠處理接收的未知信號(hào)被二階非圓信號(hào)干擾，在平穩(wěn)狀態(tài)下的性能比傳統(tǒng)的MVDR波束形成的穩(wěn)定性有了較大改善。為了進(jìn)一步利用SOI的非圓度而被提出的最優(yōu)WL-MVDR波束形成方法[4]，利用了導(dǎo)向矢量的共軛部分，與傳統(tǒng)的MVDR算法相比，在干擾為非圓信號(hào)時(shí)性能有了更大提高，輸出的信干噪比(Signal Interference Noise Ratio, SINR)得到進(jìn)一步改善。

根據(jù)最優(yōu)WL-MVDR波束形成方法，SOI的陣列導(dǎo)向矢量(Array Steering Vector, ASV)的先驗(yàn)知識(shí)和其非圓度被假定為是可用或可預(yù)測(cè)的。然而，在許多實(shí)際情況下，精確確定SOI的ASV和實(shí)際非圓度是很困難的，這將會(huì)引起波束形成的不確定性。ASV的不確定性可能是由于接收信號(hào)時(shí)陣列響應(yīng)或SOI的波達(dá)方向(Direction Of Arrical, DOA)估計(jì)誤差等因素導(dǎo)致。非圓度的不確定性可能是由于SOI波形、相位偏移、頻率偏移導(dǎo)致的不確定性。這些不確定性會(huì)嚴(yán)重降低WL-MVDR波束形成的性能，甚至比傳統(tǒng)的MVDR波束形成性能更差。

為了解決WL-MVDR波束形成的不確定性，本文擬給出兩種穩(wěn)健的最優(yōu)WL-MVDR波束形成的方法，它是基于傳統(tǒng)二階平穩(wěn)快拍數(shù)據(jù)的波束形成方法，并基于MVDR方法的約束條件,分別對(duì)輸入陣列導(dǎo)向矢量和非圓度存在不確定性的情況進(jìn)行分析，推導(dǎo)出波束形成的加權(quán)向量表達(dá)式，最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。

1 最優(yōu)廣義線性 MVDR波束形成

1.1 信號(hào)模型

假設(shè)一個(gè)N階陣用來(lái)接收窄帶信號(hào)，并且陣列輸出為一個(gè)復(fù)矢量x(t)，它由SOI加上一個(gè)干擾噪聲信號(hào)構(gòu)成，即

x(t)=a·s(t)+v(t),

(1)

其中s(t)是SOI的復(fù)包絡(luò)(零均值二階非圓信號(hào))，v(t)是干擾和噪聲部分，a為SOI導(dǎo)向矢量。假設(shè)干擾信號(hào)為零均值、二階非圓且與s(t)不相關(guān)。

自適應(yīng)波束形成設(shè)計(jì)一般是基于信號(hào)的二階統(tǒng)計(jì)量，非圓快拍數(shù)據(jù)x(t)的二階統(tǒng)計(jì)量定義為

Rx=E[x(t)x(t)H]=πsaaH+Rv,

Cx=E[x(t)x(t)T]=πsγsaaT+Cv,

(2)

其中

Rv=E[v(t)v(t)H],

Cv=E[v(t)v(t)T],

而πs和γs分別是SOI的平均功率和非圓度系數(shù)，且

πs=E[|s(t)|2],

γs=E[s2(t)]/πs。

當(dāng)γs=0時(shí)，隨機(jī)變量為圓信號(hào)，當(dāng)|γs|>0時(shí)，隨機(jī)變量為弱非圓性。由Cauchy-Schwartz不等式，任何復(fù)隨機(jī)變量的非圓度系數(shù)均滿足|γs|≤1。特別當(dāng)|γs|=1時(shí)稱信號(hào)具有嚴(yán)非圓性[5],如二進(jìn)制相移鍵控(Binary Phase Shift Key, BPSK)信號(hào)。

(3)

其中

將擴(kuò)展接收矩陣的擴(kuò)展協(xié)方差函數(shù)定義為

(4)

其中

(5)

1.2 最優(yōu)WL-MVDR波束形成

基于上述信號(hào)模型的建立，文獻(xiàn)[7]通過(guò)將MVDR概念應(yīng)用到擴(kuò)展快拍數(shù)據(jù)中，提出了WL-MVDR波束形成。在數(shù)學(xué)上，權(quán)重矢量可以通過(guò)下面的凸規(guī)劃(非線性規(guī)劃)求得,即

(6)

這種規(guī)劃的結(jié)果可用Lagrange算子求得，結(jié)果為

(7)

(8)

其中s′(t)是s(t)的正交信號(hào)。因此式(3)中的信號(hào)模型可以寫作

(9)

其中

這種最優(yōu)WL-MVDR可以由

(10)

設(shè)計(jì)，通過(guò)定義

得到

(11)

2 穩(wěn)健的最優(yōu)WL-MVDR波束形成

由于實(shí)際和假設(shè)參數(shù)(a，γs)之間的錯(cuò)配容易導(dǎo)致最優(yōu)WL-MVDR波束形成的性能降低，而訓(xùn)練序列不可獲得和在實(shí)際條件限制下產(chǎn)生的估計(jì)誤差都可能導(dǎo)致這種錯(cuò)配，因此保證波束形成設(shè)計(jì)的穩(wěn)定性很重要。

(12)

下面給出兩種穩(wěn)健方法用來(lái)處理導(dǎo)向矢量和非圓度的不確定性。

2.1 降低整體擴(kuò)展導(dǎo)向矢量的不確定性

轉(zhuǎn)移式(12)中約束條件的不確定性到整個(gè)增擴(kuò)展向矢量的不確定性。用

分別表示感興趣信號(hào)導(dǎo)向矢量和非圓度的錯(cuò)配產(chǎn)生的誤差,則有

(13)

(14)

根據(jù)穩(wěn)健的波束形成(Robust Capon Beamforming, RCB)公式，通過(guò)規(guī)劃

(15)

設(shè)計(jì)WL-RCB波束形成。

(16)

這是RCB的一種標(biāo)準(zhǔn)形式，所以可以根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)形式的波束形成方法求得。

(17)

2.2 利用導(dǎo)向矢量結(jié)構(gòu)信息提高穩(wěn)健性

陣列導(dǎo)向矢量存在另一種結(jié)構(gòu)，即

(18)

計(jì)算擴(kuò)展導(dǎo)向矢量整體錯(cuò)配形式的不確定性不能利用這種結(jié)構(gòu)信息，它是通過(guò)適當(dāng)提高約束范圍來(lái)估計(jì)的，會(huì)導(dǎo)致不確定性的過(guò)估計(jì)，最終會(huì)在波束形成設(shè)計(jì)時(shí)由于干擾抑制能力下降而導(dǎo)致SINR性能變差。

現(xiàn)基于穩(wěn)健波束形成輔助結(jié)構(gòu)的不確定性，在保持導(dǎo)向矢量和非圓度間結(jié)構(gòu)關(guān)系的同時(shí)，分別用它們表示不確定性約束。改寫式(16)，得出穩(wěn)健最優(yōu)WL-MVDR波束形成設(shè)計(jì)輔助結(jié)構(gòu)的約束公式

(19)

它的目標(biāo)函數(shù)

(20)

其中Re(x)表示x的實(shí)部。運(yùn)用

(21)

定義求得目標(biāo)函數(shù)的簡(jiǎn)化表達(dá)式,將會(huì)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)是三階的，并不能保證凸面性，凸規(guī)劃方法不能直接運(yùn)用。

(22)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析

通過(guò)50次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)分析兩種穩(wěn)健WL-MVDR方法的性能。

實(shí)驗(yàn)中，兩個(gè)窄帶BPSK信號(hào)傳播到陣列間距為半波長(zhǎng)的二元陣上，入射角為0°～30°，0°為目標(biāo)信號(hào)。信噪比(Signal Noise Ratio, SNR)為10～20 dB，SOI的初始相位為60°，所以

γs=-0.5 + j 0.866,

干擾信號(hào)初始相位為0。假設(shè)導(dǎo)向矢量錯(cuò)配，導(dǎo)向矢量的不確定性是由DOA誤差引起的，設(shè)誤差為3°，εγ=0.001。由于實(shí)驗(yàn)中不知道a和γs精確的誤差，用1.2代替a和γs綜合誤差的平方范數(shù)ε1，這個(gè)參數(shù)值用來(lái)驗(yàn)證所給算法。在導(dǎo)向矢量錯(cuò)配的情況下，比較各算法的性能，結(jié)果如圖1所示。可見(jiàn)，在不確定情況下最優(yōu)WL-MVDR不再比Capon好，而兩種穩(wěn)健的最優(yōu)WL-MVDR波束形成方法則要比Capon好。

圖1 信干噪比性能比較

進(jìn)一步就目標(biāo)信號(hào)在不同SNR輸入下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，以了解各算法的性能。取100組快拍數(shù)據(jù)，將波束形成的輸出SINR作為比較標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)果如圖2所示，從中可見(jiàn)，在錯(cuò)配的情況下，降低整體擴(kuò)展導(dǎo)向矢量不確定性的方法總是強(qiáng)于RCB和最優(yōu)WL-MVDR，而利用導(dǎo)向矢量結(jié)構(gòu)信息提高穩(wěn)健性的方法在大多數(shù)的情形下比降低整體擴(kuò)展導(dǎo)向矢量不確定性的方法好。

圖2 輸出信干噪比性能比較

4 結(jié) 語(yǔ)

給出了在非圓度和ASV都不確定的情況下，穩(wěn)健的最優(yōu)WL-MVDR波束形成算法。分別通過(guò)建立整體擴(kuò)展導(dǎo)向矢量的不確定性和利用導(dǎo)向矢量的結(jié)構(gòu)信息,在一定程度上解決了不確定性問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)表明不確定性對(duì)最優(yōu)WL-MVDR和由此改進(jìn)的方法性能的影響，并驗(yàn)證了所給新方法比傳統(tǒng)的Capon波束形成方法有更好的性能和實(shí)用性。

[1] 董延坤,葛臨東,張輝.自適應(yīng)波束形成算法的現(xiàn)狀與發(fā)展動(dòng)態(tài)[J].微計(jì)算機(jī)信息,2005,21(3):64-67.

[2] 孫心宇，周建江.一種基于非圓相干信號(hào)的波束成形算法[J].宇航學(xué)報(bào),2012,33(4):32-35.

[3] 鄢社鋒,馬遠(yuǎn)良.二階錐規(guī)劃方法對(duì)于時(shí)空域?yàn)V波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)與驗(yàn)證[J].中國(guó)科學(xué) E輯信息科學(xué),2006,36(2): 153-171.

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[6] 何忠勇,周圍.基于遺傳算法的智能天線的研究[J].西安郵電學(xué)院學(xué)報(bào),2009,14(1):29-33.

[7] Chevalier P, Delmas J P. Optimal widely linear MVDR beamforming for noncircular signals[J]. Acoustics,Speech and Signal Processing, 2009, 37(26): 3573-3576.

[8] Chevalier P, Delmas J P. Performance analysis of the optimal widely linear MVDR beamformer[J]. IEEE Signal processing, 2009, 5(17):587-591.

[責(zé)任編輯:王輝]

A class method of minimum variance distortion response beamforming

SHAO Chao1, ZHAO Ni1, SHI Chaoxiong2

(1.School of Communication and Information Engineering, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China; 2.School of Marine Science and Technolog, Northwestern Polytechnical Universety, Xi’an 710072, China)

Optimal widely linear minimum variance distortionless response beamforming normally requires available values of the array steering vector (ASV) and the signal non-circularity. To solve this strict limitation on the implementation of this beamforming, two approaches are proposed based on the limitation conditions of the minimum variance distortionless response beamforming. The first one translates the uncertainty constraints into the uncertainty for the whole extended steering vector. The second one uses the structure information of signal. Simulation results show that the two approaches can effectively implement beamforming without those limitations.

array signal processing, minimum variance distortionless response, robust beamforming

10.13682/j.issn.2095-6533.2014.03.005

2013-12-30

陜西省科技廳工業(yè)攻關(guān)計(jì)劃基金資助項(xiàng)目(2012K06-27)

邵朝(1955-)，男，博士，教授，從事雷達(dá)陣列信號(hào)處理研究。E-mail: shaochao@xupt.edu.cn 趙妮(1989-)，女，碩士研究生，研究方向?yàn)閷拵o(wú)線通信。E-mail:zhaoni123@126.com

TN911.7

A

2095-6533(2014)03-0022-04