基于最大工作空間的DELTA機(jī)器人尺寸綜合與優(yōu)化*

南文虎，宋 寶，唐小琦

(華中科技大學(xué) 國(guó)家數(shù)控工程中心，武漢 430074)

基于最大工作空間的DELTA機(jī)器人尺寸綜合與優(yōu)化*

南文虎，宋 寶，唐小琦

(華中科技大學(xué) 國(guó)家數(shù)控工程中心，武漢 430074)

在DELTA機(jī)器人的工程設(shè)計(jì)中，需要選取適當(dāng)?shù)臋C(jī)構(gòu)參數(shù)，其中機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)是一個(gè)很重要的參數(shù)。解決機(jī)構(gòu)的尺度綜合問(wèn)題是非常必要的。文章利用DELTA機(jī)器人的物理模型，運(yùn)用代數(shù)法和幾何法，在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)空間內(nèi)，對(duì)特征桿長(zhǎng)進(jìn)行無(wú)量綱分析，找到關(guān)鍵機(jī)構(gòu)尺寸，進(jìn)行歸一化處理；對(duì)其工作空間進(jìn)行拓?fù)浞诸?lèi)和體積計(jì)算，找到最佳桿長(zhǎng)向量(依據(jù)工作空間體積最大)；在工程應(yīng)用中，為此類(lèi)機(jī)器人的設(shè)計(jì)和制造提供一定的理論指導(dǎo)。

DELTA機(jī)器人；尺寸綜合；無(wú)量綱 ；桿長(zhǎng)向量

0 引言

DELTA機(jī)構(gòu)最早是由瑞士的Reymond clavel教授與1985年提出的，由于它只有三個(gè)平移自由度，設(shè)計(jì)、制造、控制都比較簡(jiǎn)便，在工業(yè)生產(chǎn)有廣泛的應(yīng)用[1-3]。但是，它的工作空間相對(duì)串聯(lián)機(jī)器人來(lái)說(shuō)，相對(duì)要小很多，所以在設(shè)計(jì)此類(lèi)機(jī)器人時(shí)，如何規(guī)劃出最優(yōu)的機(jī)構(gòu)普適參數(shù)，在機(jī)構(gòu)特征尺寸確定的情況下，使得機(jī)器人的相對(duì)工作空間最大，是一件很必要的工作。針對(duì)機(jī)構(gòu)空間物理參數(shù)，用無(wú)量綱的方法對(duì)DELTA機(jī)器人的工作空間進(jìn)行全域分析，找到桿長(zhǎng)向量與工作空間體積的映射圖[4]，但沒(méi)有求出桿長(zhǎng)向量的極值。利用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)，在給定的工作空間，規(guī)劃出最優(yōu)的機(jī)構(gòu)尺寸[5-6]，但是這種方法只適合特定的設(shè)計(jì)，不適合系統(tǒng)化的設(shè)計(jì)。

本文在理論上，采用無(wú)量綱的分析方法，運(yùn)用幾何法和代數(shù)法，分析了機(jī)器人的奇異性，尺寸綜合是在保證并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)預(yù)定工作空間的前提下,以操作性能最優(yōu)為目標(biāo)確定機(jī)構(gòu)的尺度參數(shù)，進(jìn)行無(wú)量綱的尺寸歸納分析，不僅對(duì)此類(lèi)機(jī)構(gòu)有總體的空間認(rèn)識(shí)，而且容易在桿長(zhǎng)向量空間中，找到最佳桿長(zhǎng)向量的分布規(guī)律，這樣對(duì)于機(jī)構(gòu)尺度綜合和此類(lèi)機(jī)器人結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，具有更加普遍性的意義。

1 DELTA機(jī)器人的物理尺寸分析

如圖1所示，為DELTA機(jī)器人的機(jī)構(gòu)示意圖，總體結(jié)構(gòu)上由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)、三組平行四邊形機(jī)構(gòu)、三個(gè)轉(zhuǎn)臂構(gòu)成，三組平行四邊形機(jī)構(gòu)消除了動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，只剩下三個(gè)平移自由度，機(jī)械結(jié)構(gòu)整體上、緊湊、簡(jiǎn)潔、驅(qū)動(dòng)部分布置在靜平臺(tái)上，這些特點(diǎn)，使它具有良好的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)特性，因此，在工業(yè)機(jī)器人中，DELTA機(jī)器人占有重要的一席之地。

L+R+r=100

(1)

圖1 DELTA機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意圖

2 機(jī)構(gòu)的位置反解分析

如圖1、圖2所示，建立定坐標(biāo)系o-xyz、o-xiyizi、Bi-xiyizi，動(dòng)坐標(biāo)系o-x′y′z′，作為計(jì)算的仿射坐標(biāo)系，在定坐標(biāo)系o-xyz中，根據(jù)矢量運(yùn)算法則，得：

OO′=OBi+BiEi+EiPi+PiO′

(2)

EiPi=oo′-(oBi+BiEi+Pio′)

(3)

(4)

將坐標(biāo)值代入上式，得：

圖2 DELTA機(jī)器人歸一化桿長(zhǎng)分布與坐標(biāo)架示意圖

[(L1-L2+Rsinθi)cosηi-x]2+ [(L1-L2+Rsinθi)sinηi-y]2+[Rcosθi-z]2=r2

(5)

將特征尺寸L=L1-L2，代入上式，即有：

[(L+Rsinθi)cosηi-x]2+

[(L+Rsinθi)sinηi-y]2+[Rcosθi-z]2=r2

(6)

當(dāng)i=1～3，(x、y、z)已知時(shí)，由上式(6)可列出一個(gè)三元三次方程方程組，從而可以求出機(jī)器人的位姿反解(θ1、θ2、θ3)。

3 工作空間解析

3.1 (100>R≥r>0時(shí))工作空間解析

在設(shè)計(jì)空間內(nèi)，分析工作空間的解析形式，在定坐標(biāo)系o-xyz中，對(duì)每一條支鏈,式(6)表示球心位于(((L+Rsinθi)cosηi,(L+Rsinθi)sinηi,Rcosθi),半徑為R的球面。當(dāng)θi從0°變化到360°時(shí),工作空間則是由此球面所形成的包絡(luò)體,如圖3所示，其外邊界為以yi軸為軸線的圓環(huán)面,在Bi-xiyizi坐標(biāo)系中，此實(shí)體圓環(huán)的邊界曲面方程為：

(7)

將上式利用下面坐標(biāo)變換公式：

(8)

轉(zhuǎn)化在o-xyz坐標(biāo)系中，當(dāng)i=1、2、3時(shí)，由式(8)可以組合成三元三次方程組，當(dāng)r∈(0,const)時(shí)，離散r值，解此方程組，則其解集構(gòu)成全域工作空間。

圖3 單開(kāi)鏈子空間邊界圓環(huán)面成形截面示意圖

3.2 (0

當(dāng)0

圖4 單開(kāi)鏈子空間邊界鏤空鼓形成形截面示意圖

(9)

其內(nèi)邊界曲面方程如下式(10)所示，

(10)

將以上兩個(gè)方程轉(zhuǎn)化在o-xyz坐標(biāo)系中，當(dāng)i=1、2、3時(shí)，可以組合成三元三次方程組，當(dāng)r∈(0,const)時(shí)，離散r值，解此方程組，其解集構(gòu)成全域工作空間。

3.3 工作空間為非空集時(shí)的桿長(zhǎng)分析

桿長(zhǎng)在設(shè)計(jì)空間中，滿(mǎn)足一定的條件下，上式方程組才有解，根據(jù)以上解析分析，可知當(dāng)：

r+R≥L

(11)

時(shí)，上述三元三次方程組的解空間有解，且當(dāng)：

r+R=L

(12)

方程只有一解，此時(shí)機(jī)構(gòu)退化為構(gòu)件狀態(tài)。

所以機(jī)構(gòu)有解集存在的條件是 ：

r+R>L

(13)

將以上(12)式代入(13)式，化簡(jiǎn)，得：

L<50

(14)

由式(11)、(12)與(14)，結(jié)合桿長(zhǎng)必須滿(mǎn)足的幾何條件,得：

0≤L<50、0

(15)

在無(wú)量綱的歸一化的設(shè)計(jì)空間里，圖5展示了的桿長(zhǎng)向量分布圖，圖中梯形ABCD為設(shè)計(jì)空間區(qū)域，其中包含邊界CD線，對(duì)應(yīng)L=0。

圖5 DELTA機(jī)器人歸一化桿長(zhǎng)分布示意圖

3.4 單開(kāi)鏈子工作空間體積解析

當(dāng)桿長(zhǎng)向量位于設(shè)計(jì)空間的BEFC時(shí)，r≤R，如圖3所示，此時(shí)形成一實(shí)心圓環(huán)包絡(luò)體，此實(shí)心圓環(huán)體的體積：

V=2πR(πr2)=2π2*(100-r)*r2

(16)

當(dāng)桿長(zhǎng)向量位于設(shè)計(jì)空間的AEFD時(shí)，r>R,如圖4所示，此時(shí)形成鏤空鼓形包絡(luò)體，此包絡(luò)體的體積:

V=

(17)

即,

V=2π2*(100-r)*r2

(18)

畫(huà)出r-V函數(shù)關(guān)系圖，如圖6所示：

圖6 單開(kāi)鏈子空間r-V函數(shù)關(guān)系圖

從圖6可以看出：①當(dāng)V取最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的r≈66.7,V=2.924×106，此時(shí)R=33.33, 單支鏈桿長(zhǎng)比例：R/r=2；②在r≈66.7的兩側(cè)，單支鏈工作空間體積值呈減小趨勢(shì)，但在r≈66.7的右側(cè)(r>66.7)，隨著r值的增大，工作空間體積減小的更快。

4 工作空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分類(lèi)

如上圖5所示，在設(shè)計(jì)空間中，平面ABCD為機(jī)器人桿長(zhǎng)向量的分布空間，根據(jù)桿長(zhǎng)比例與所對(duì)應(yīng)工作空間拓?fù)湫螤畹南嗨菩?，采用定性分析的方法，歸納為如圖7所示的21種不同類(lèi)形的工作空間，進(jìn)一步總結(jié)分析，可以發(fā)現(xiàn)有以下特點(diǎn)：

最后，要保證政策法規(guī)的有效落實(shí)。改革不僅要落實(shí)到政策上，更要落實(shí)到行動(dòng)上，不能光是“喊喊口號(hào)，開(kāi)開(kāi)大會(huì)”，而是要針對(duì)地方實(shí)際和以往改革的具體實(shí)踐，把上級(jí)的政策指示摸清吃透，堅(jiān)決杜絕以文件落實(shí)文件、以口號(hào)回應(yīng)口號(hào)的狀況出現(xiàn)。必須始終保持對(duì)黨的事業(yè)忠誠(chéng)、對(duì)黨賦予的任務(wù)踏實(shí)干好的心態(tài)，把改革事業(yè)扎扎實(shí)實(shí)地悟透、干好。

(1)當(dāng)R為最大值時(shí)，區(qū)域BGK,EG、KB線上，形成實(shí)心曲面實(shí)體，結(jié)構(gòu)上有很大的相似性；

(2)區(qū)域BEG、BFC形成實(shí)心曲面實(shí)體，結(jié)構(gòu)上相似；

(3)區(qū)域AFG、DPF、GKF形成有鏤空的曲面實(shí)體，結(jié)構(gòu)上相似；

(4)區(qū)域AEG(包含G點(diǎn))形成實(shí)心三葉形曲面實(shí)體；

(5)P點(diǎn)和K點(diǎn)分別形成凹起尖點(diǎn)和凸起尖點(diǎn)，形成反對(duì)稱(chēng)性；

(6)區(qū)域ADP內(nèi)，工作空間位置相對(duì)呈現(xiàn)分離態(tài)，距設(shè)計(jì)基準(zhǔn)有一定距離。

圖7 工作空間相似形狀分類(lèi)圖

5 CAD工作空間體積數(shù)值計(jì)算與尺寸綜合

利用本文第3部分中的解析表達(dá)式，可以求出工作空間體積，但是相對(duì)計(jì)算量大，本文利用三維軟件SOLIDWORKS畫(huà)出在特定桿長(zhǎng)向量時(shí)，所對(duì)應(yīng)的工作空間，然后利用軟件自帶的測(cè)量工具，測(cè)出它的幾何體積，如表1所示，最后利用插值的方法，畫(huà)出桿長(zhǎng)向量與工作空間的映射關(guān)系圖，進(jìn)一步進(jìn)行尺寸綜合。

表1 桿長(zhǎng)向量與工作空間體積的數(shù)據(jù)表(單位為1)

采集上表1中的數(shù)據(jù)，用matlab中的griddata差值函數(shù)進(jìn)行差值繪圖，繪制如圖8所示的機(jī)器人工作空間體積V與特征桿長(zhǎng)向量(L，R，r)之間的函數(shù)關(guān)系圖，利用此圖，對(duì)機(jī)器人桿長(zhǎng)進(jìn)行尺寸綜合，得出以下結(jié)論：

(1)工作空間體積V與特征桿長(zhǎng)L成反比，L越大，V越小；

(2)當(dāng)L一定時(shí)，工作空間體積V，在R=33.33處，V呈現(xiàn)最大值，在R=33.33的兩側(cè)，V值減??；

(3)特征桿長(zhǎng)向量的值為(0，33,33,66.67)時(shí)，工作空間體積V取最大值。

圖8 歸一化工作空間體積與設(shè)計(jì)空間桿長(zhǎng)向量之間 的函數(shù)關(guān)系圖

6 結(jié)論

本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于：①系統(tǒng)性的從無(wú)量綱歸一化的設(shè)計(jì)空間與相應(yīng)機(jī)構(gòu)工作空間的聯(lián)系性出發(fā)，定量的分析了機(jī)器人的工作空間體積；②從機(jī)器人的工作空間體積入手，進(jìn)行機(jī)構(gòu)尺寸綜合，找到工作空間體積與設(shè)計(jì)空間桿長(zhǎng)向量之間的函數(shù)關(guān)系圖，找到工作空間體積最大時(shí)，所對(duì)應(yīng)的桿長(zhǎng)向量最優(yōu)值。以上工作，為此類(lèi)機(jī)器人的桿長(zhǎng)選取提供一定的理論指導(dǎo)。

根據(jù)以上研究，研制出了一款DELTA機(jī)器人，投入某企業(yè)生產(chǎn)線中，取得了不錯(cuò)的經(jīng)濟(jì)效益。本文的研究不僅為后續(xù)動(dòng)態(tài)優(yōu)化提供基礎(chǔ)[7-9]，而且對(duì)于DELTA機(jī)器人的實(shí)際工程應(yīng)用，有廣泛的指導(dǎo)意義。

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[3] 顏兵兵，劉秀民，解明強(qiáng)，等. 3-UPS并聯(lián)機(jī)器人工作空間研究[J].組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù), 2012(6)：38-41.

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(編輯 李秀敏)

Optimization and Dimension Synthesis of the DELTA Robot Based on the Maximum Size of Working Space

NAN Wen-hu,SONG Bao,TANG Xiao-qi

(The National NC System Engineering Technology Research Centre，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China)

The rod length is a very important parameter in the DELTA robot engineering design, so how to select the proper parameters of the mechanism is a necessary thing. Solving the problem of scale synthesis of mechanism is very significant. Based on the physical model of DELTA robot, using the algebraic method and geometric method, Eigen rod length is analyzed by Non-dimensional method and is normalized with according to the key rod length size in the design of spatial mechanism; Topological classification and calculation of the volume of the work space are proposed to find the best length vector (according to the maximum workspace volume ); It provides some theoretical guidance for the design and manufacture of this kind of robot in engineering application.

DELTA robot；scale synthesis；non-dimensional method；length vector

1001-2265(2014)07-0038-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.07.011

2013-11-28；

2013-11-02

高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研基金(新教師基金課題)(20090142120035)

南文虎(1985—), 男, 華中科技大學(xué)博士研究生，主要從事工業(yè)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與控制,(E-mail)nanwenhu@163.com。

TH112;TG65

A