基于小波和曲線擬合對(duì)瞬變電磁信號(hào)去噪的優(yōu)化

裘偉　李享元　程衍富

摘 要： 瞬變電磁信號(hào)容易受到各種噪聲的干擾，造成數(shù)據(jù)處理時(shí)分辨率較低，導(dǎo)致異常解釋信息，影響后續(xù)工作進(jìn)程。因此，必須選取合適的方法對(duì)其進(jìn)行去噪處理。本文針對(duì)瞬變電磁信號(hào)的特點(diǎn)利用小波去噪法的優(yōu)點(diǎn)在噪聲中提取有效信號(hào)，進(jìn)而利用曲線擬合對(duì)提取的信號(hào)做進(jìn)一步的優(yōu)化以便得出可靠的解釋結(jié)果。

關(guān)鍵詞： 瞬變電磁信號(hào)； 勘探； 去噪； 數(shù)據(jù)解釋

中圖分類號(hào)： TN911.7?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2014）11?0061?04

Abstract： TEM signal is easy to subject to the interference of various noises， which results in lower resolution of data processing， abnormal interpreting information and great effects on the subsequent processes. Therefore， a appropriate method must be selected for its denoising. In this paper， the advantage of wavelet denoising method is adopted to extract the effective signal from noise according to the characteristics of transient electromagnetic signals， and then the curve fitting is used to perform the further optimization for the extracted signal so as to obtain a reliable interpretation.

Keywords： TEM signal； exploration； denoising； data interpretation

0 引 言

瞬變電磁法（Transient Electromagnetic Method，TEM）是近幾年來應(yīng)用較普遍的時(shí)間域電磁探測(cè)方法。它利用階躍波或其他脈沖電流場(chǎng)源的激勵(lì)在大地之中產(chǎn)生一個(gè)過渡過程的場(chǎng)，在斷電瞬間會(huì)在大地中形成一個(gè)渦旋交變電磁場(chǎng)，測(cè)量這種由地下介質(zhì)產(chǎn)生的二次感應(yīng)電磁場(chǎng)隨時(shí)間變化的衰減特性，從測(cè)量得到的異常信號(hào)中可以分析出地下不均勻體的導(dǎo)電性能以及位置，從而推斷地下目標(biāo)體的分布性態(tài)。該技術(shù)具有靈敏度高、分辨率強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)，因而近年來發(fā)展十分迅猛，應(yīng)用前景也及其廣闊。來自于人文電場(chǎng)噪聲和地磁場(chǎng)微動(dòng)噪聲等會(huì)對(duì)瞬變電磁信號(hào)造成不同程度的影響。所以要選擇合適的方法進(jìn)行去噪，從而增強(qiáng)信號(hào)強(qiáng)度，減少解釋誤差和異常。針對(duì)噪聲的多樣性和復(fù)雜性，根據(jù)各種去噪方法的不同應(yīng)用場(chǎng)合，本文采用多種去噪方法相結(jié)合的方案，介紹了小波去噪法和曲線擬合相結(jié)合的方法，理論上來說小波去噪法對(duì)分析非平穩(wěn)信號(hào)處理是非常有效的，而傳統(tǒng)傅里葉變換（包括曲線擬合）具有局限性，不能提供任何局部時(shí)間段的上的頻域信息。因此，利用小波去噪法能夠改變窗口形狀及在時(shí)頻兩域具有表征信號(hào)局部能力的優(yōu)點(diǎn)有效提取瞬變信號(hào)，并再次運(yùn)用曲線擬合對(duì)已經(jīng)去噪的信號(hào)進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化。

1 瞬變電磁信號(hào)的小波變換去噪實(shí)現(xiàn)

瞬變電磁信號(hào)的時(shí)間范圍寬，動(dòng)態(tài)范圍大，其衰減過程呈現(xiàn)一定的規(guī)律：早期的信號(hào)幅值高而且衰變速度很快，宜將采樣時(shí)間間隔及門寬設(shè)定足夠窄，保障衰減信號(hào)分辨的精確性；晚期的信號(hào)很弱，衰變速度慢，宜將采樣時(shí)間間隔及門寬增大以適應(yīng)弱信號(hào)慢衰變特性。此外，瞬便電磁信號(hào)的衰減還與地質(zhì)對(duì)象本身性質(zhì)以及觀測(cè)點(diǎn)有關(guān)。

1.1 小波變換去噪定義

小波變換是一種信號(hào)的時(shí)間?頻率分析方法。它具有多分辨分析的特點(diǎn)，是一種窗口大小固定、形狀以及時(shí)間和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法。小波變換去噪是建立在小波變換多分辨分析基礎(chǔ)上的新興算法，其基本思想是根據(jù)不同頻帶上噪聲與信號(hào)的小波分解系數(shù)具有不同強(qiáng)度分布的特點(diǎn)，去除各頻帶上的噪聲對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)，保留原始信號(hào)的小波分解系數(shù)，然后對(duì)處理后的系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)，得到純凈信號(hào)。它在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，高頻部分則相反，很適合于探測(cè)正常信號(hào)中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象，進(jìn)而展示其成分，這正符合低頻信號(hào)變化緩慢而高頻信號(hào)變化迅速的特點(diǎn)，被譽(yù)為分析信號(hào)的顯微鏡。同時(shí)，適合用小波變換進(jìn)行分析的信號(hào)應(yīng)該具有不穩(wěn)定性。正是基于這個(gè)特點(diǎn)，小波變換在信號(hào)消噪、弱信號(hào)的提取以及信號(hào)奇異性分析方面效果顯著。

小波變換定義：

[CWTf（a，b）==Rx（t）ψ*a，b（t）dt] （1）

[CWTf（a，b）==Rx（t）ψa，b（t）dt=Rx（t）a12ψt-badt] （2）

可見，連續(xù)小波變換的結(jié)果可以表示為平移因子[a]和伸縮因子[b]的函數(shù)。

小波逆變換：

如果小波函數(shù)滿足“容許”條件，那么連續(xù)小波變換的逆變換是存在的：

[x（t）=1Cψ0∞-∞+∞CWTf（a，b）ψa，b（t）1a2dtda=1Cψ0∞-∞+∞CWTf（a，b）a-12ψa，bt-ba1a2dtda] （3）

1.2 小波變換去噪原理

在實(shí)際應(yīng)用中，有效信號(hào)通常表現(xiàn)為低頻信號(hào)或是一些比較平穩(wěn)的信號(hào)，而噪聲信號(hào)則表現(xiàn)為高頻信號(hào)。對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波分解時(shí)，屬于Besov空間的信號(hào)在小波域內(nèi)其能量主要集中在一些大的系數(shù)中，噪聲的能量分布集中在一些小的系數(shù)中。因此，經(jīng)小波分解后，信號(hào)的小波變換系數(shù)要大于噪聲的小波變換系數(shù)。應(yīng)用門限閾值等形式對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行處理，然后對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)即可以達(dá)到消噪的目的。Symlet小波是對(duì)Debauchies小波的修改，提高了對(duì)稱性，保持了近似對(duì)稱的形式，它具有緊支撐正交性，可進(jìn)行正交和雙正交分析，能夠?qū)崿F(xiàn)精確重構(gòu)。信號(hào)的形狀和小波的形態(tài)越相近，去噪的效果越好。結(jié)合瞬變電磁信號(hào)的特點(diǎn)，本文選取Sym8小波作為TEM信號(hào)去噪的基本小波函數(shù)。

1.3 小波去噪方法步驟

小波去噪步驟如下：

（1）對(duì)含噪信號(hào)[f（x）]進(jìn)行幾個(gè)尺度的離散小波變換（DWT），得到各尺度小波系數(shù)[wj，k]；

（2）對(duì)各尺度小波系數(shù)[wj，k]進(jìn)行閾值處理，得出估計(jì)小波系數(shù)[wj，k]，使得[wj，k-uj，k]盡量?。?/p>

（3）利用[wj，k]進(jìn)行小波重構(gòu)，得到信號(hào)[f（x）]的估計(jì)信號(hào)[f（k）][9]。

其中[f（x）]為含噪信號(hào)，[wj，k]為小波系數(shù)，[wj，k]為估計(jì)小波系數(shù)，[f（k）]為估計(jì)信號(hào)。

1.4 野外實(shí)測(cè)瞬變電磁數(shù)據(jù)小波去噪處理

本文實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是由山西某公司YCS600?I型礦用本安型瞬變電磁儀在山西大同采用連續(xù)正負(fù)方波供電方式以及重疊回線裝置，發(fā)射和接收線框?yàn)? m×2 m矩形回線，此裝置既可以在狹窄的巷道空間中方便的進(jìn)行各種角度的旋轉(zhuǎn)、位移，也增加了發(fā)射功率，保證了探測(cè)深度。

在采集的15組正負(fù)向原始數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上作正負(fù)疊加處理，如圖1所示由于人文電場(chǎng)噪聲和地磁場(chǎng)微動(dòng)噪聲等原因造成有效信號(hào)被噪聲所淹沒。

用小波去噪方法分別對(duì)實(shí)測(cè)瞬變電磁原始數(shù)據(jù)進(jìn)行不同分層的消噪處理，如圖2所示。其中圖（a）為3層分解，可以看出去噪后曲線存在很大的噪聲成分，無法有效地提取出正常信號(hào)。圖（b）是5層分解，噪聲成分明顯減少，有效信號(hào)從噪聲中剝離出來，信號(hào)曲線較為平滑，同時(shí)保持了信號(hào)的原始狀態(tài)。圖（c）和圖（d）分別為7層和10層分解，隨著分解層數(shù)的增大，7層分解信號(hào)形狀發(fā)生了微小改變，而10層分解信號(hào)則改變明顯。經(jīng)過分析多尺度小波分解去噪結(jié)果，經(jīng)過多尺度小波5層分解去噪后瞬變信號(hào)信噪比得到了很大提高，不僅能將噪聲從有效信號(hào)中剝離，還能保持有信號(hào)的原始形態(tài)，因而也就保證了解釋的準(zhǔn)確性。可以發(fā)現(xiàn)小波去噪方法雖然有效從噪聲中提取信號(hào)，使得曲線變得較為光滑，然而有效信號(hào)中依然存在有少數(shù)噪聲，因而在小波分析基礎(chǔ)上進(jìn)行曲線擬合。綜合的信號(hào)除噪方法也將是未來進(jìn)行瞬變信號(hào)除噪的一個(gè)重要方向[9]。

2 曲線擬合原理及方法

2.1 曲線擬合原理

所謂曲線擬合就是離散數(shù)據(jù)公式化。即，已知樣本點(diǎn)[xi， yi]（i = 1，2，…，n），求得解析函數(shù)[y≈?x，]使[?x]在原樣本點(diǎn)[xi]上盡可能接近[yi]的值，這一過程就叫曲線擬合。常用的曲線擬合方法是最小二乘法。最小二乘曲線擬合：有一組數(shù)據(jù)[xi，yi，i=1，2，…，N]滿足某一函數(shù)原型[y（x）=f（a，x），]其中[a]為待定系數(shù)向量，則最小二乘曲線擬合的目標(biāo)：

求出這一組待定系數(shù)的值，使得目標(biāo)函數(shù)為最小。

2.2 曲線擬合方法

在實(shí)際工程和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，很難確定參數(shù)之間的關(guān)系，是線性還是非線性，如果是非線性，那是多項(xiàng)式函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及傅里葉函數(shù)等，有時(shí)候甚至是復(fù)合函數(shù)，因此在擬合的過程中，擬合曲線函數(shù)模型的確定是非常困難的。當(dāng)擬合曲線函數(shù)模型很難通過一般的方法確定時(shí)，往往需要通過分析若干可能的函數(shù)模型后，經(jīng)過實(shí)際計(jì)算才能選到較好的模型。一般來說最小誤差平方和越小說明曲線擬合越好，也有通過相關(guān)系數(shù)[R]的值來決斷擬合的優(yōu)劣。

本文在小波去噪后再利用曲線擬合除噪，小波除噪保證了信號(hào)沒有明顯損失的情況下對(duì)信號(hào)與噪聲進(jìn)行有效的區(qū)分，然而去噪信號(hào)中含有少量噪聲，因此需要利用曲線擬合方法，通過確定曲線函數(shù)模型來去除信號(hào)中的殘存噪聲作進(jìn)一步的優(yōu)化。

利用Matlab的曲線擬合工具（ctool）經(jīng)試驗(yàn)和嘗試后發(fā)現(xiàn)大部分的函數(shù)模型在擬合時(shí)對(duì)早期和晚期的信號(hào)有很明顯的改變，因此將信號(hào)的擬合曲線函數(shù)模型鎖定在9階多項(xiàng)式和8階傅里葉函數(shù)之間。兩種函數(shù)模型分別表示為：

多項(xiàng)式模型：

[f（x）=p1*x9 +p2*x8+p3*x7+p4*x6+p5*x5+p6*x4+p7*x3+p8*x2+p9*x+p10] （5）

傅里葉模型：

[f（x）=a0+a1*cos（x*w）+b1*sin（x*w）+a2*cos（2*x*w）+b2*sin（2*x*w）+a3*cos（3*x*w）+b3*sin（3*x*w）+a4*cos（4*x*w）+b4*sin（4*x*w）+a5*cos（5*x*w）+b5*sin（5*x*w）+a6*cos（6*x*w）+b6*sin（6*x*w）+a7*cos（7*x*w）+b7*sin（7*x*w）+a8*cos（8*x*w）+b8*sin（8*x*w）]

2.3 野外實(shí)測(cè)瞬變電磁數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)化處理

利用如上所述的兩個(gè)模型對(duì)經(jīng)過小波去噪處理過的信號(hào)進(jìn)一步擬合優(yōu)化。而判斷擬合結(jié)果的優(yōu)劣主要有兩個(gè)參數(shù)來衡量，和方差（SSE）與確定系數(shù)（R?square），通過綜合比較這兩參數(shù)來選擇擬合模型。SSE公式如下：

[SSE=i=1nwi（yi-yi）2] （7）

其中SSE越小，說明模型選擇和擬合更好，數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)也越成功。

確定系數(shù)（R?square）公式如下：

[R?square=1-i=1nwi（yi-yi）2i=1nwi（yi-yi）2] （8）

R?square是通過數(shù)據(jù)的變化來表征一個(gè)擬合的好壞。由上面的表達(dá)式可以知道R?square（確定系數(shù)）的正常取值范圍為[0 1]，所以越接近1，表明方程的變量對(duì)[y]的解釋能力越強(qiáng)，這個(gè)模型對(duì)數(shù)據(jù)擬合的也較好。

根據(jù)表1的參數(shù)對(duì)兩組信號(hào)之間的不同擬合函數(shù)的對(duì)比，可以看出傅里葉函數(shù)模型和方差小于多項(xiàng)式函數(shù)模型，而確定系數(shù)相對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)模型更接近1。因此說明傅里葉擬合更加有效。也可以從圖3定性對(duì)比看出，圖3（b）是多項(xiàng)式擬合，改變了信號(hào)晚期的曲線形狀，圖3（a）是傅里葉擬合，在去除噪聲的同時(shí)較好的保存了曲線的原始形狀。

3 結(jié) 論

瞬變電磁信號(hào)具有非平穩(wěn)特征，小波變換作為一種時(shí)頻分析方法，非常適合瞬變電磁信號(hào)中通常夾帶瞬變反常干擾信號(hào)的消噪處理。經(jīng)過小波去噪后，信號(hào)依舊帶有尖峰，需要對(duì)信號(hào)做進(jìn)一步處理，以便使信號(hào)更加的光滑。通過小波消噪及曲線擬合處理， 為TEM的解釋工作提供了更加可靠的數(shù)據(jù)資料。在去噪過程中之所以沒有直接使用擬合方法是因?yàn)樵夹盘?hào)中噪聲復(fù)雜，因此直接擬合會(huì)將噪聲納入模型中，引起更大的誤差。所以利用高分辨率的小波去噪方法將有效信號(hào)提取出來反而也能提高擬合的效果。瞬變信號(hào)的除噪，深入研究改善單一去噪法是必要的，將多種去噪方法有效結(jié)合也是行之有效的，其實(shí)際效果也是非常明顯的。

注：本文通訊作者為李享元。

參考文獻(xiàn)

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[9] 時(shí)圣利.瞬變電磁信號(hào)的幾種去噪方法研究[D].長(zhǎng)春：吉林大學(xué)，2008.

1.3 小波去噪方法步驟

小波去噪步驟如下：

（1）對(duì)含噪信號(hào)[f（x）]進(jìn)行幾個(gè)尺度的離散小波變換（DWT），得到各尺度小波系數(shù)[wj，k]；

（2）對(duì)各尺度小波系數(shù)[wj，k]進(jìn)行閾值處理，得出估計(jì)小波系數(shù)[wj，k]，使得[wj，k-uj，k]盡量??；

（3）利用[wj，k]進(jìn)行小波重構(gòu)，得到信號(hào)[f（x）]的估計(jì)信號(hào)[f（k）][9]。

其中[f（x）]為含噪信號(hào)，[wj，k]為小波系數(shù)，[wj，k]為估計(jì)小波系數(shù)，[f（k）]為估計(jì)信號(hào)。

1.4 野外實(shí)測(cè)瞬變電磁數(shù)據(jù)小波去噪處理

本文實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是由山西某公司YCS600?I型礦用本安型瞬變電磁儀在山西大同采用連續(xù)正負(fù)方波供電方式以及重疊回線裝置，發(fā)射和接收線框?yàn)? m×2 m矩形回線，此裝置既可以在狹窄的巷道空間中方便的進(jìn)行各種角度的旋轉(zhuǎn)、位移，也增加了發(fā)射功率，保證了探測(cè)深度。

在采集的15組正負(fù)向原始數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上作正負(fù)疊加處理，如圖1所示由于人文電場(chǎng)噪聲和地磁場(chǎng)微動(dòng)噪聲等原因造成有效信號(hào)被噪聲所淹沒。

用小波去噪方法分別對(duì)實(shí)測(cè)瞬變電磁原始數(shù)據(jù)進(jìn)行不同分層的消噪處理，如圖2所示。其中圖（a）為3層分解，可以看出去噪后曲線存在很大的噪聲成分，無法有效地提取出正常信號(hào)。圖（b）是5層分解，噪聲成分明顯減少，有效信號(hào)從噪聲中剝離出來，信號(hào)曲線較為平滑，同時(shí)保持了信號(hào)的原始狀態(tài)。圖（c）和圖（d）分別為7層和10層分解，隨著分解層數(shù)的增大，7層分解信號(hào)形狀發(fā)生了微小改變，而10層分解信號(hào)則改變明顯。經(jīng)過分析多尺度小波分解去噪結(jié)果，經(jīng)過多尺度小波5層分解去噪后瞬變信號(hào)信噪比得到了很大提高，不僅能將噪聲從有效信號(hào)中剝離，還能保持有信號(hào)的原始形態(tài)，因而也就保證了解釋的準(zhǔn)確性。可以發(fā)現(xiàn)小波去噪方法雖然有效從噪聲中提取信號(hào)，使得曲線變得較為光滑，然而有效信號(hào)中依然存在有少數(shù)噪聲，因而在小波分析基礎(chǔ)上進(jìn)行曲線擬合。綜合的信號(hào)除噪方法也將是未來進(jìn)行瞬變信號(hào)除噪的一個(gè)重要方向[9]。

2 曲線擬合原理及方法

2.1 曲線擬合原理

所謂曲線擬合就是離散數(shù)據(jù)公式化。即，已知樣本點(diǎn)[xi， yi]（i = 1，2，…，n），求得解析函數(shù)[y≈?x，]使[?x]在原樣本點(diǎn)[xi]上盡可能接近[yi]的值，這一過程就叫曲線擬合。常用的曲線擬合方法是最小二乘法。最小二乘曲線擬合：有一組數(shù)據(jù)[xi，yi，i=1，2，…，N]滿足某一函數(shù)原型[y（x）=f（a，x），]其中[a]為待定系數(shù)向量，則最小二乘曲線擬合的目標(biāo)：

求出這一組待定系數(shù)的值，使得目標(biāo)函數(shù)為最小。

2.2 曲線擬合方法

在實(shí)際工程和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，很難確定參數(shù)之間的關(guān)系，是線性還是非線性，如果是非線性，那是多項(xiàng)式函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及傅里葉函數(shù)等，有時(shí)候甚至是復(fù)合函數(shù)，因此在擬合的過程中，擬合曲線函數(shù)模型的確定是非常困難的。當(dāng)擬合曲線函數(shù)模型很難通過一般的方法確定時(shí)，往往需要通過分析若干可能的函數(shù)模型后，經(jīng)過實(shí)際計(jì)算才能選到較好的模型。一般來說最小誤差平方和越小說明曲線擬合越好，也有通過相關(guān)系數(shù)[R]的值來決斷擬合的優(yōu)劣。

本文在小波去噪后再利用曲線擬合除噪，小波除噪保證了信號(hào)沒有明顯損失的情況下對(duì)信號(hào)與噪聲進(jìn)行有效的區(qū)分，然而去噪信號(hào)中含有少量噪聲，因此需要利用曲線擬合方法，通過確定曲線函數(shù)模型來去除信號(hào)中的殘存噪聲作進(jìn)一步的優(yōu)化。

利用Matlab的曲線擬合工具（ctool）經(jīng)試驗(yàn)和嘗試后發(fā)現(xiàn)大部分的函數(shù)模型在擬合時(shí)對(duì)早期和晚期的信號(hào)有很明顯的改變，因此將信號(hào)的擬合曲線函數(shù)模型鎖定在9階多項(xiàng)式和8階傅里葉函數(shù)之間。兩種函數(shù)模型分別表示為：

多項(xiàng)式模型：

[f（x）=p1*x9 +p2*x8+p3*x7+p4*x6+p5*x5+p6*x4+p7*x3+p8*x2+p9*x+p10] （5）

傅里葉模型：

[f（x）=a0+a1*cos（x*w）+b1*sin（x*w）+a2*cos（2*x*w）+b2*sin（2*x*w）+a3*cos（3*x*w）+b3*sin（3*x*w）+a4*cos（4*x*w）+b4*sin（4*x*w）+a5*cos（5*x*w）+b5*sin（5*x*w）+a6*cos（6*x*w）+b6*sin（6*x*w）+a7*cos（7*x*w）+b7*sin（7*x*w）+a8*cos（8*x*w）+b8*sin（8*x*w）]

2.3 野外實(shí)測(cè)瞬變電磁數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)化處理

利用如上所述的兩個(gè)模型對(duì)經(jīng)過小波去噪處理過的信號(hào)進(jìn)一步擬合優(yōu)化。而判斷擬合結(jié)果的優(yōu)劣主要有兩個(gè)參數(shù)來衡量，和方差（SSE）與確定系數(shù)（R?square），通過綜合比較這兩參數(shù)來選擇擬合模型。SSE公式如下：

[SSE=i=1nwi（yi-yi）2] （7）

其中SSE越小，說明模型選擇和擬合更好，數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)也越成功。

確定系數(shù)（R?square）公式如下：

[R?square=1-i=1nwi（yi-yi）2i=1nwi（yi-yi）2] （8）

R?square是通過數(shù)據(jù)的變化來表征一個(gè)擬合的好壞。由上面的表達(dá)式可以知道R?square（確定系數(shù)）的正常取值范圍為[0 1]，所以越接近1，表明方程的變量對(duì)[y]的解釋能力越強(qiáng)，這個(gè)模型對(duì)數(shù)據(jù)擬合的也較好。

根據(jù)表1的參數(shù)對(duì)兩組信號(hào)之間的不同擬合函數(shù)的對(duì)比，可以看出傅里葉函數(shù)模型和方差小于多項(xiàng)式函數(shù)模型，而確定系數(shù)相對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)模型更接近1。因此說明傅里葉擬合更加有效。也可以從圖3定性對(duì)比看出，圖3（b）是多項(xiàng)式擬合，改變了信號(hào)晚期的曲線形狀，圖3（a）是傅里葉擬合，在去除噪聲的同時(shí)較好的保存了曲線的原始形狀。

3 結(jié) 論

瞬變電磁信號(hào)具有非平穩(wěn)特征，小波變換作為一種時(shí)頻分析方法，非常適合瞬變電磁信號(hào)中通常夾帶瞬變反常干擾信號(hào)的消噪處理。經(jīng)過小波去噪后，信號(hào)依舊帶有尖峰，需要對(duì)信號(hào)做進(jìn)一步處理，以便使信號(hào)更加的光滑。通過小波消噪及曲線擬合處理， 為TEM的解釋工作提供了更加可靠的數(shù)據(jù)資料。在去噪過程中之所以沒有直接使用擬合方法是因?yàn)樵夹盘?hào)中噪聲復(fù)雜，因此直接擬合會(huì)將噪聲納入模型中，引起更大的誤差。所以利用高分辨率的小波去噪方法將有效信號(hào)提取出來反而也能提高擬合的效果。瞬變信號(hào)的除噪，深入研究改善單一去噪法是必要的，將多種去噪方法有效結(jié)合也是行之有效的，其實(shí)際效果也是非常明顯的。

注：本文通訊作者為李享元。

參考文獻(xiàn)

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[4] 薛國(guó)強(qiáng)，李貅，底青云.瞬變電磁法理論與應(yīng)用研究進(jìn)展[J].地球物理學(xué)進(jìn)展，2007，22（4）：1195?1200.

[5] 王華軍.時(shí)間域瞬變電磁法全區(qū)視電阻率的平移算法[J].地球物理學(xué)報(bào)，2008，51（6）：1936?1942.

[6] 王華軍，羅延鐘.中心回線瞬變電磁法2.5維有限單元算法[J].地球物理學(xué)報(bào)，2003，46（6）：855?862.

[7] 蘇朱劉，胡文寶.中心回線方式瞬變電磁測(cè)深虛擬全區(qū)視電阻率和一維反演方法[J].石油物探，2002，41（2）：216?220.

[8] 張翠芳.小波閾值降噪效果影響因素的研究[J].西安郵電學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，13（5）：13?15.

[9] 時(shí)圣利.瞬變電磁信號(hào)的幾種去噪方法研究[D].長(zhǎng)春：吉林大學(xué)，2008.

1.3 小波去噪方法步驟

小波去噪步驟如下：

（1）對(duì)含噪信號(hào)[f（x）]進(jìn)行幾個(gè)尺度的離散小波變換（DWT），得到各尺度小波系數(shù)[wj，k]；

（2）對(duì)各尺度小波系數(shù)[wj，k]進(jìn)行閾值處理，得出估計(jì)小波系數(shù)[wj，k]，使得[wj，k-uj，k]盡量??；

（3）利用[wj，k]進(jìn)行小波重構(gòu)，得到信號(hào)[f（x）]的估計(jì)信號(hào)[f（k）][9]。

其中[f（x）]為含噪信號(hào)，[wj，k]為小波系數(shù)，[wj，k]為估計(jì)小波系數(shù)，[f（k）]為估計(jì)信號(hào)。

1.4 野外實(shí)測(cè)瞬變電磁數(shù)據(jù)小波去噪處理

本文實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是由山西某公司YCS600?I型礦用本安型瞬變電磁儀在山西大同采用連續(xù)正負(fù)方波供電方式以及重疊回線裝置，發(fā)射和接收線框?yàn)? m×2 m矩形回線，此裝置既可以在狹窄的巷道空間中方便的進(jìn)行各種角度的旋轉(zhuǎn)、位移，也增加了發(fā)射功率，保證了探測(cè)深度。

在采集的15組正負(fù)向原始數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上作正負(fù)疊加處理，如圖1所示由于人文電場(chǎng)噪聲和地磁場(chǎng)微動(dòng)噪聲等原因造成有效信號(hào)被噪聲所淹沒。

用小波去噪方法分別對(duì)實(shí)測(cè)瞬變電磁原始數(shù)據(jù)進(jìn)行不同分層的消噪處理，如圖2所示。其中圖（a）為3層分解，可以看出去噪后曲線存在很大的噪聲成分，無法有效地提取出正常信號(hào)。圖（b）是5層分解，噪聲成分明顯減少，有效信號(hào)從噪聲中剝離出來，信號(hào)曲線較為平滑，同時(shí)保持了信號(hào)的原始狀態(tài)。圖（c）和圖（d）分別為7層和10層分解，隨著分解層數(shù)的增大，7層分解信號(hào)形狀發(fā)生了微小改變，而10層分解信號(hào)則改變明顯。經(jīng)過分析多尺度小波分解去噪結(jié)果，經(jīng)過多尺度小波5層分解去噪后瞬變信號(hào)信噪比得到了很大提高，不僅能將噪聲從有效信號(hào)中剝離，還能保持有信號(hào)的原始形態(tài)，因而也就保證了解釋的準(zhǔn)確性。可以發(fā)現(xiàn)小波去噪方法雖然有效從噪聲中提取信號(hào)，使得曲線變得較為光滑，然而有效信號(hào)中依然存在有少數(shù)噪聲，因而在小波分析基礎(chǔ)上進(jìn)行曲線擬合。綜合的信號(hào)除噪方法也將是未來進(jìn)行瞬變信號(hào)除噪的一個(gè)重要方向[9]。

2 曲線擬合原理及方法

2.1 曲線擬合原理

所謂曲線擬合就是離散數(shù)據(jù)公式化。即，已知樣本點(diǎn)[xi， yi]（i = 1，2，…，n），求得解析函數(shù)[y≈?x，]使[?x]在原樣本點(diǎn)[xi]上盡可能接近[yi]的值，這一過程就叫曲線擬合。常用的曲線擬合方法是最小二乘法。最小二乘曲線擬合：有一組數(shù)據(jù)[xi，yi，i=1，2，…，N]滿足某一函數(shù)原型[y（x）=f（a，x），]其中[a]為待定系數(shù)向量，則最小二乘曲線擬合的目標(biāo)：

求出這一組待定系數(shù)的值，使得目標(biāo)函數(shù)為最小。

2.2 曲線擬合方法

在實(shí)際工程和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，很難確定參數(shù)之間的關(guān)系，是線性還是非線性，如果是非線性，那是多項(xiàng)式函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及傅里葉函數(shù)等，有時(shí)候甚至是復(fù)合函數(shù)，因此在擬合的過程中，擬合曲線函數(shù)模型的確定是非常困難的。當(dāng)擬合曲線函數(shù)模型很難通過一般的方法確定時(shí)，往往需要通過分析若干可能的函數(shù)模型后，經(jīng)過實(shí)際計(jì)算才能選到較好的模型。一般來說最小誤差平方和越小說明曲線擬合越好，也有通過相關(guān)系數(shù)[R]的值來決斷擬合的優(yōu)劣。

本文在小波去噪后再利用曲線擬合除噪，小波除噪保證了信號(hào)沒有明顯損失的情況下對(duì)信號(hào)與噪聲進(jìn)行有效的區(qū)分，然而去噪信號(hào)中含有少量噪聲，因此需要利用曲線擬合方法，通過確定曲線函數(shù)模型來去除信號(hào)中的殘存噪聲作進(jìn)一步的優(yōu)化。

利用Matlab的曲線擬合工具（ctool）經(jīng)試驗(yàn)和嘗試后發(fā)現(xiàn)大部分的函數(shù)模型在擬合時(shí)對(duì)早期和晚期的信號(hào)有很明顯的改變，因此將信號(hào)的擬合曲線函數(shù)模型鎖定在9階多項(xiàng)式和8階傅里葉函數(shù)之間。兩種函數(shù)模型分別表示為：

多項(xiàng)式模型：

[f（x）=p1*x9 +p2*x8+p3*x7+p4*x6+p5*x5+p6*x4+p7*x3+p8*x2+p9*x+p10] （5）

傅里葉模型：

[f（x）=a0+a1*cos（x*w）+b1*sin（x*w）+a2*cos（2*x*w）+b2*sin（2*x*w）+a3*cos（3*x*w）+b3*sin（3*x*w）+a4*cos（4*x*w）+b4*sin（4*x*w）+a5*cos（5*x*w）+b5*sin（5*x*w）+a6*cos（6*x*w）+b6*sin（6*x*w）+a7*cos（7*x*w）+b7*sin（7*x*w）+a8*cos（8*x*w）+b8*sin（8*x*w）]

2.3 野外實(shí)測(cè)瞬變電磁數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)化處理

利用如上所述的兩個(gè)模型對(duì)經(jīng)過小波去噪處理過的信號(hào)進(jìn)一步擬合優(yōu)化。而判斷擬合結(jié)果的優(yōu)劣主要有兩個(gè)參數(shù)來衡量，和方差（SSE）與確定系數(shù)（R?square），通過綜合比較這兩參數(shù)來選擇擬合模型。SSE公式如下：

[SSE=i=1nwi（yi-yi）2] （7）

其中SSE越小，說明模型選擇和擬合更好，數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)也越成功。

確定系數(shù)（R?square）公式如下：

[R?square=1-i=1nwi（yi-yi）2i=1nwi（yi-yi）2] （8）

R?square是通過數(shù)據(jù)的變化來表征一個(gè)擬合的好壞。由上面的表達(dá)式可以知道R?square（確定系數(shù)）的正常取值范圍為[0 1]，所以越接近1，表明方程的變量對(duì)[y]的解釋能力越強(qiáng)，這個(gè)模型對(duì)數(shù)據(jù)擬合的也較好。

根據(jù)表1的參數(shù)對(duì)兩組信號(hào)之間的不同擬合函數(shù)的對(duì)比，可以看出傅里葉函數(shù)模型和方差小于多項(xiàng)式函數(shù)模型，而確定系數(shù)相對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)模型更接近1。因此說明傅里葉擬合更加有效。也可以從圖3定性對(duì)比看出，圖3（b）是多項(xiàng)式擬合，改變了信號(hào)晚期的曲線形狀，圖3（a）是傅里葉擬合，在去除噪聲的同時(shí)較好的保存了曲線的原始形狀。

3 結(jié) 論

瞬變電磁信號(hào)具有非平穩(wěn)特征，小波變換作為一種時(shí)頻分析方法，非常適合瞬變電磁信號(hào)中通常夾帶瞬變反常干擾信號(hào)的消噪處理。經(jīng)過小波去噪后，信號(hào)依舊帶有尖峰，需要對(duì)信號(hào)做進(jìn)一步處理，以便使信號(hào)更加的光滑。通過小波消噪及曲線擬合處理， 為TEM的解釋工作提供了更加可靠的數(shù)據(jù)資料。在去噪過程中之所以沒有直接使用擬合方法是因?yàn)樵夹盘?hào)中噪聲復(fù)雜，因此直接擬合會(huì)將噪聲納入模型中，引起更大的誤差。所以利用高分辨率的小波去噪方法將有效信號(hào)提取出來反而也能提高擬合的效果。瞬變信號(hào)的除噪，深入研究改善單一去噪法是必要的，將多種去噪方法有效結(jié)合也是行之有效的，其實(shí)際效果也是非常明顯的。

注：本文通訊作者為李享元。

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