基于一元線性回歸分析的大壩預測模型的建立及其引用建模樣本數(shù)量對預測效果的影響

楊顏江+楊雷

【摘 要】 本文主要介紹一元線性回歸分析的基本原理和方法，并結合實例分析。在建模過程中采用不同數(shù)量的檢測數(shù)據(jù)進行建模，得出用該模型預測變形的合理性，引入變量多的模型的預測的效果較好。

【關鍵詞】 回歸分析 沉降預測 模型

0 引言

隨著國內(nèi)外病險壩的逐漸增多，要求實時或及時了解大壩的安全狀況，掌握變形規(guī)律。而預測大壩沉降的方法有多種，本文主要介紹了檢測統(tǒng)計模型中的一元線性回析歸分析方法，并且將其運用在大壩變形預測分析中。

1 一元線性回歸分析的基本原理和方法

我們可以用一條直線來表示x和y的關系，并借助最小二乘法，可得到一元線性回歸的回歸方程[5]：

=a+bx （1.1）

a，b又叫做回歸方程的回歸系數(shù)。

下面根據(jù)最小二乘法原則來確定a，b的取值。

對于每一個，由方程（1.1）可以確定一個回歸值=a+b。這個回歸值與實際觀測值之差-=-a-b，刻劃了與回歸直線=a+bx的偏離程度。對于所有的，若與的偏離程度越小，則直線和所有的試驗點擬合得：

（1.2）

由最小二乘法可知要使達到極小值，只要對上式分別對a，b求偏導，并令它們等于零，于是可以推導出a，b的值：

（1.3）

（1.4）

上式中和分別表示、的算術平均值，則式（1.3-1.4）可變?yōu)槿缦潞唵蔚男问剑?/p>

（1.5）

2 預報原理

如果回歸方程通過了統(tǒng)計檢驗，而且其擬合得比較好，那么就可以利用所求得的回歸方程對有關測量數(shù)據(jù)進行預報和控制。下面先討論預報問題。

對任一給定的，由回歸方程可得回歸值：

， （2.1）

是處的觀測值：

（2.2）

所謂預報，就是在一定的顯著水平下，尋找一個正數(shù)，使得實際觀測值以的概率落在區(qū)間（）內(nèi)，即：

， （2.3）

其中

（2.4）

上式表明，利用回歸方程預報實際觀測值的偏差不僅與顯著水平有關，與N有關，而且與觀測點有關。

在沒有重復試驗的情況下，剩余平方和可以提供的無偏估計。

（2.5）

（2.6）

給出了的無偏估計。

在重復試驗的情況下，誤差平方和可以提供的無偏估計。

3 回歸模型的建立過程

一元線性回歸模型雖然簡單，但它的統(tǒng)計思想非常重要，所以我們有必要對一元線性回歸模型及應用方面作一些討論。

第一步，提出因變量與自變量。

第二步，搜集數(shù)據(jù)。

第三步，根據(jù)數(shù)據(jù)畫散點圖。

第四步，設定理論模型。

第五步，計算。

第六步，回歸診斷，分析計算結果。

第七步，模型的應用。當所建模型通過所有檢驗之后，就可結合實際問題進行應用。

4 應用實例分析

某拱壩，為雙曲薄拱壩，最大壩高68.7m，壩頂最小厚度2.5m，壩底厚度5m，壩頂長150m，河谷寬約90m，半徑28.2～59.65m，該壩與1952年開始觀測，1955年底前水庫一直未蓄水，僅有氣溫作用。其中位移為拱冠位移，氣溫是由距壩3km的某縣的氣象站所得。一共選取15期數(shù)據(jù)來進行分析。

1）用數(shù)據(jù)2～10期進行建模分析，圖1為1～10期數(shù)據(jù)散點圖，從位移的散點圖可以看出，位移與溫度呈線性關系，所以可以建立一元線性回歸模型進行分析，位移量為因變量，氣溫為自變量。

由以上理論分析計算得以下結果見表1。

從計算得結果表1可以看出，=-0.522，=1.8833，有效樣本容量n=9。y的標準差=2.70123。

從表2中可知，相關系數(shù)r=-0.993，單側檢驗顯著性sig≈0.000，說明y與x有顯著的線性相關，這與散點圖的直觀分析是一致的。

從表3中看到，決定系數(shù)r2=0.986，從相對水平上看，回歸方程能夠減少因變量y的98.6%的方差波動。回歸標準差=0.34651，從絕對水平上看，y的標準差從回歸前的2.70123減少到回歸后的0.34651。

從表4中看到，F(xiàn)=479.153，顯著性sig≈0.000，說明y對x的線性回歸高度顯著，這與相關系數(shù)的檢驗結果是一致的。

從表5中得到回歸方程為，回歸系數(shù)檢驗的t值=-21.890，顯著性sig≈0.000，與F檢驗和相關系數(shù)r的檢驗結果一直。另外常數(shù)項的置信度95%的區(qū)間估計為（1.437，1.984），系數(shù)的置信度95%的區(qū)間估計為（-0.367，-0.295）。

2）利用數(shù)據(jù)1-10進行回歸建模分析，同樣可得與模型1模的方式相同，計算得出結果相關系數(shù)r=-0.995，說明y與x有顯著的線性相關，與散點圖的直觀分析是一致的。在統(tǒng)計檢驗方面，決定系數(shù)r2=0.990，從相對水平上看，回歸方程能夠減少因變量y的99.0%的方差波動?；貧w標準差=0.33265，從絕對水平上看，y的標準差從回歸前的3.11219減少到回歸后的0.33265。在方差分析方面，F(xiàn)=779.791，顯著性sig≈0.000，說明y對x的線性回歸高度顯著，這與相關系數(shù)的檢驗結果也是一致的。表8為模型系數(shù)計算表。

從表8中得到回歸方程為，回歸系數(shù)檢驗的t值=-27.925，顯著性sig≈0.000，與F檢驗和相關系數(shù)r的檢驗結果一直。另外常數(shù)項的置信度95%的區(qū)間估計為（1.476，1.976），系數(shù)的置信度95%的區(qū)間估計為（-0.364，-0.308）。用此模型對11～15期數(shù)據(jù)預測結果如下。

結果分析：在增加一個自變量的情況下所作出的預測更加穩(wěn)定，精度也更高，從圖3中可以看出。另外，從兩模型的殘差比較圖4上看，模型2的殘差大部分要比模型1更小，從對兩個模型的回歸診斷上可以發(fā)現(xiàn)模型2的R為0.995大于模型1的0.993，模型2決定系數(shù)0.990也大于模型10.986，且模型2y的回歸后的標準差0.33265要小于模型1的0.34651，由此可見：模型2在增加了一個觀測數(shù)據(jù)的情況下所建立的回歸模型要比模型1更顯著，更優(yōu)，這點從殘差比較圖中可以明顯看出。比較兩個模型的擬合圖如圖2，好像并不能看出哪個模型更優(yōu)，甚至由兩個模型中實測值與模型對2～9期數(shù)據(jù)的擬合相對誤差表比較似乎更傾向于模型1比模型2更優(yōu)，但是由后期兩個模型對11～15期數(shù)據(jù)的預測精度。

5 結語

綜上所述，回歸模型運用于大壩變形預測是可行的，并且選用自變量多的方式進行建模的預測結果優(yōu)于少自變量建模預測的結果。筆者對多個大壩變形實例進行試驗，大多數(shù)可以得到比較理想的預測效果。

參考文獻：

[1]吳中如.水工建筑物安全監(jiān)控理論及其應用.北京：高等教育出版社，2001.

[2]王孝仁，王松桂編譯.實用多元統(tǒng)計分析[M].上?？茖W技術出版社，1990，195-264.

[3]徐培亮.大壩變形預測方法的擴展.測繪學報，1987，16（4）：280-290.

[4]RogerAH，CharlesRJ.楊奇譯.矩陣分析[M].北京：機械工業(yè)出版社，2005.

[5]何曉群，劉文卿.應用回歸分析.中國人民出版社.

[6]張正祿，汪宏晨.滑坡變形分析與預報的新方法[J].武漢大學學報-信息科學版，2009，34（12）：1387～1389.endprint

【摘 要】 本文主要介紹一元線性回歸分析的基本原理和方法，并結合實例分析。在建模過程中采用不同數(shù)量的檢測數(shù)據(jù)進行建模，得出用該模型預測變形的合理性，引入變量多的模型的預測的效果較好。

【關鍵詞】 回歸分析 沉降預測 模型

0 引言

隨著國內(nèi)外病險壩的逐漸增多，要求實時或及時了解大壩的安全狀況，掌握變形規(guī)律。而預測大壩沉降的方法有多種，本文主要介紹了檢測統(tǒng)計模型中的一元線性回析歸分析方法，并且將其運用在大壩變形預測分析中。

1 一元線性回歸分析的基本原理和方法

我們可以用一條直線來表示x和y的關系，并借助最小二乘法，可得到一元線性回歸的回歸方程[5]：

=a+bx （1.1）

a，b又叫做回歸方程的回歸系數(shù)。

下面根據(jù)最小二乘法原則來確定a，b的取值。

對于每一個，由方程（1.1）可以確定一個回歸值=a+b。這個回歸值與實際觀測值之差-=-a-b，刻劃了與回歸直線=a+bx的偏離程度。對于所有的，若與的偏離程度越小，則直線和所有的試驗點擬合得：

（1.2）

由最小二乘法可知要使達到極小值，只要對上式分別對a，b求偏導，并令它們等于零，于是可以推導出a，b的值：

（1.3）

（1.4）

上式中和分別表示、的算術平均值，則式（1.3-1.4）可變?yōu)槿缦潞唵蔚男问剑?/p>

（1.5）

2 預報原理

如果回歸方程通過了統(tǒng)計檢驗，而且其擬合得比較好，那么就可以利用所求得的回歸方程對有關測量數(shù)據(jù)進行預報和控制。下面先討論預報問題。

對任一給定的，由回歸方程可得回歸值：

， （2.1）

是處的觀測值：

（2.2）

所謂預報，就是在一定的顯著水平下，尋找一個正數(shù)，使得實際觀測值以的概率落在區(qū)間（）內(nèi)，即：

， （2.3）

其中

（2.4）

上式表明，利用回歸方程預報實際觀測值的偏差不僅與顯著水平有關，與N有關，而且與觀測點有關。

在沒有重復試驗的情況下，剩余平方和可以提供的無偏估計。

（2.5）

（2.6）

給出了的無偏估計。

在重復試驗的情況下，誤差平方和可以提供的無偏估計。

3 回歸模型的建立過程

一元線性回歸模型雖然簡單，但它的統(tǒng)計思想非常重要，所以我們有必要對一元線性回歸模型及應用方面作一些討論。

第一步，提出因變量與自變量。

第二步，搜集數(shù)據(jù)。

第三步，根據(jù)數(shù)據(jù)畫散點圖。

第四步，設定理論模型。

第五步，計算。

第六步，回歸診斷，分析計算結果。

第七步，模型的應用。當所建模型通過所有檢驗之后，就可結合實際問題進行應用。

4 應用實例分析

某拱壩，為雙曲薄拱壩，最大壩高68.7m，壩頂最小厚度2.5m，壩底厚度5m，壩頂長150m，河谷寬約90m，半徑28.2～59.65m，該壩與1952年開始觀測，1955年底前水庫一直未蓄水，僅有氣溫作用。其中位移為拱冠位移，氣溫是由距壩3km的某縣的氣象站所得。一共選取15期數(shù)據(jù)來進行分析。

1）用數(shù)據(jù)2～10期進行建模分析，圖1為1～10期數(shù)據(jù)散點圖，從位移的散點圖可以看出，位移與溫度呈線性關系，所以可以建立一元線性回歸模型進行分析，位移量為因變量，氣溫為自變量。

由以上理論分析計算得以下結果見表1。

從計算得結果表1可以看出，=-0.522，=1.8833，有效樣本容量n=9。y的標準差=2.70123。

從表2中可知，相關系數(shù)r=-0.993，單側檢驗顯著性sig≈0.000，說明y與x有顯著的線性相關，這與散點圖的直觀分析是一致的。

從表3中看到，決定系數(shù)r2=0.986，從相對水平上看，回歸方程能夠減少因變量y的98.6%的方差波動。回歸標準差=0.34651，從絕對水平上看，y的標準差從回歸前的2.70123減少到回歸后的0.34651。

從表4中看到，F(xiàn)=479.153，顯著性sig≈0.000，說明y對x的線性回歸高度顯著，這與相關系數(shù)的檢驗結果是一致的。

從表5中得到回歸方程為，回歸系數(shù)檢驗的t值=-21.890，顯著性sig≈0.000，與F檢驗和相關系數(shù)r的檢驗結果一直。另外常數(shù)項的置信度95%的區(qū)間估計為（1.437，1.984），系數(shù)的置信度95%的區(qū)間估計為（-0.367，-0.295）。

2）利用數(shù)據(jù)1-10進行回歸建模分析，同樣可得與模型1模的方式相同，計算得出結果相關系數(shù)r=-0.995，說明y與x有顯著的線性相關，與散點圖的直觀分析是一致的。在統(tǒng)計檢驗方面，決定系數(shù)r2=0.990，從相對水平上看，回歸方程能夠減少因變量y的99.0%的方差波動?；貧w標準差=0.33265，從絕對水平上看，y的標準差從回歸前的3.11219減少到回歸后的0.33265。在方差分析方面，F(xiàn)=779.791，顯著性sig≈0.000，說明y對x的線性回歸高度顯著，這與相關系數(shù)的檢驗結果也是一致的。表8為模型系數(shù)計算表。

從表8中得到回歸方程為，回歸系數(shù)檢驗的t值=-27.925，顯著性sig≈0.000，與F檢驗和相關系數(shù)r的檢驗結果一直。另外常數(shù)項的置信度95%的區(qū)間估計為（1.476，1.976），系數(shù)的置信度95%的區(qū)間估計為（-0.364，-0.308）。用此模型對11～15期數(shù)據(jù)預測結果如下。

結果分析：在增加一個自變量的情況下所作出的預測更加穩(wěn)定，精度也更高，從圖3中可以看出。另外，從兩模型的殘差比較圖4上看，模型2的殘差大部分要比模型1更小，從對兩個模型的回歸診斷上可以發(fā)現(xiàn)模型2的R為0.995大于模型1的0.993，模型2決定系數(shù)0.990也大于模型10.986，且模型2y的回歸后的標準差0.33265要小于模型1的0.34651，由此可見：模型2在增加了一個觀測數(shù)據(jù)的情況下所建立的回歸模型要比模型1更顯著，更優(yōu)，這點從殘差比較圖中可以明顯看出。比較兩個模型的擬合圖如圖2，好像并不能看出哪個模型更優(yōu)，甚至由兩個模型中實測值與模型對2～9期數(shù)據(jù)的擬合相對誤差表比較似乎更傾向于模型1比模型2更優(yōu)，但是由后期兩個模型對11～15期數(shù)據(jù)的預測精度。

5 結語

綜上所述，回歸模型運用于大壩變形預測是可行的，并且選用自變量多的方式進行建模的預測結果優(yōu)于少自變量建模預測的結果。筆者對多個大壩變形實例進行試驗，大多數(shù)可以得到比較理想的預測效果。

參考文獻：

[1]吳中如.水工建筑物安全監(jiān)控理論及其應用.北京：高等教育出版社，2001.

[2]王孝仁，王松桂編譯.實用多元統(tǒng)計分析[M].上海科學技術出版社，1990，195-264.

[3]徐培亮.大壩變形預測方法的擴展.測繪學報，1987，16（4）：280-290.

[4]RogerAH，CharlesRJ.楊奇譯.矩陣分析[M].北京：機械工業(yè)出版社，2005.

[5]何曉群，劉文卿.應用回歸分析.中國人民出版社.

[6]張正祿，汪宏晨.滑坡變形分析與預報的新方法[J].武漢大學學報-信息科學版，2009，34（12）：1387～1389.endprint

【摘 要】 本文主要介紹一元線性回歸分析的基本原理和方法，并結合實例分析。在建模過程中采用不同數(shù)量的檢測數(shù)據(jù)進行建模，得出用該模型預測變形的合理性，引入變量多的模型的預測的效果較好。

【關鍵詞】 回歸分析 沉降預測 模型

0 引言

隨著國內(nèi)外病險壩的逐漸增多，要求實時或及時了解大壩的安全狀況，掌握變形規(guī)律。而預測大壩沉降的方法有多種，本文主要介紹了檢測統(tǒng)計模型中的一元線性回析歸分析方法，并且將其運用在大壩變形預測分析中。

1 一元線性回歸分析的基本原理和方法

我們可以用一條直線來表示x和y的關系，并借助最小二乘法，可得到一元線性回歸的回歸方程[5]：

=a+bx （1.1）

a，b又叫做回歸方程的回歸系數(shù)。

下面根據(jù)最小二乘法原則來確定a，b的取值。

對于每一個，由方程（1.1）可以確定一個回歸值=a+b。這個回歸值與實際觀測值之差-=-a-b，刻劃了與回歸直線=a+bx的偏離程度。對于所有的，若與的偏離程度越小，則直線和所有的試驗點擬合得：

（1.2）

由最小二乘法可知要使達到極小值，只要對上式分別對a，b求偏導，并令它們等于零，于是可以推導出a，b的值：

（1.3）

（1.4）

上式中和分別表示、的算術平均值，則式（1.3-1.4）可變?yōu)槿缦潞唵蔚男问剑?/p>

（1.5）

2 預報原理

如果回歸方程通過了統(tǒng)計檢驗，而且其擬合得比較好，那么就可以利用所求得的回歸方程對有關測量數(shù)據(jù)進行預報和控制。下面先討論預報問題。

對任一給定的，由回歸方程可得回歸值：

， （2.1）

是處的觀測值：

（2.2）

所謂預報，就是在一定的顯著水平下，尋找一個正數(shù)，使得實際觀測值以的概率落在區(qū)間（）內(nèi)，即：

， （2.3）

其中

（2.4）

上式表明，利用回歸方程預報實際觀測值的偏差不僅與顯著水平有關，與N有關，而且與觀測點有關。

在沒有重復試驗的情況下，剩余平方和可以提供的無偏估計。

（2.5）

（2.6）

給出了的無偏估計。

在重復試驗的情況下，誤差平方和可以提供的無偏估計。

3 回歸模型的建立過程

一元線性回歸模型雖然簡單，但它的統(tǒng)計思想非常重要，所以我們有必要對一元線性回歸模型及應用方面作一些討論。

第一步，提出因變量與自變量。

第二步，搜集數(shù)據(jù)。

第三步，根據(jù)數(shù)據(jù)畫散點圖。

第四步，設定理論模型。

第五步，計算。

第六步，回歸診斷，分析計算結果。

第七步，模型的應用。當所建模型通過所有檢驗之后，就可結合實際問題進行應用。

4 應用實例分析

某拱壩，為雙曲薄拱壩，最大壩高68.7m，壩頂最小厚度2.5m，壩底厚度5m，壩頂長150m，河谷寬約90m，半徑28.2～59.65m，該壩與1952年開始觀測，1955年底前水庫一直未蓄水，僅有氣溫作用。其中位移為拱冠位移，氣溫是由距壩3km的某縣的氣象站所得。一共選取15期數(shù)據(jù)來進行分析。

1）用數(shù)據(jù)2～10期進行建模分析，圖1為1～10期數(shù)據(jù)散點圖，從位移的散點圖可以看出，位移與溫度呈線性關系，所以可以建立一元線性回歸模型進行分析，位移量為因變量，氣溫為自變量。

由以上理論分析計算得以下結果見表1。

從計算得結果表1可以看出，=-0.522，=1.8833，有效樣本容量n=9。y的標準差=2.70123。

從表2中可知，相關系數(shù)r=-0.993，單側檢驗顯著性sig≈0.000，說明y與x有顯著的線性相關，這與散點圖的直觀分析是一致的。

從表3中看到，決定系數(shù)r2=0.986，從相對水平上看，回歸方程能夠減少因變量y的98.6%的方差波動?；貧w標準差=0.34651，從絕對水平上看，y的標準差從回歸前的2.70123減少到回歸后的0.34651。

從表4中看到，F(xiàn)=479.153，顯著性sig≈0.000，說明y對x的線性回歸高度顯著，這與相關系數(shù)的檢驗結果是一致的。

從表5中得到回歸方程為，回歸系數(shù)檢驗的t值=-21.890，顯著性sig≈0.000，與F檢驗和相關系數(shù)r的檢驗結果一直。另外常數(shù)項的置信度95%的區(qū)間估計為（1.437，1.984），系數(shù)的置信度95%的區(qū)間估計為（-0.367，-0.295）。

2）利用數(shù)據(jù)1-10進行回歸建模分析，同樣可得與模型1模的方式相同，計算得出結果相關系數(shù)r=-0.995，說明y與x有顯著的線性相關，與散點圖的直觀分析是一致的。在統(tǒng)計檢驗方面，決定系數(shù)r2=0.990，從相對水平上看，回歸方程能夠減少因變量y的99.0%的方差波動?；貧w標準差=0.33265，從絕對水平上看，y的標準差從回歸前的3.11219減少到回歸后的0.33265。在方差分析方面，F(xiàn)=779.791，顯著性sig≈0.000，說明y對x的線性回歸高度顯著，這與相關系數(shù)的檢驗結果也是一致的。表8為模型系數(shù)計算表。

從表8中得到回歸方程為，回歸系數(shù)檢驗的t值=-27.925，顯著性sig≈0.000，與F檢驗和相關系數(shù)r的檢驗結果一直。另外常數(shù)項的置信度95%的區(qū)間估計為（1.476，1.976），系數(shù)的置信度95%的區(qū)間估計為（-0.364，-0.308）。用此模型對11～15期數(shù)據(jù)預測結果如下。

結果分析：在增加一個自變量的情況下所作出的預測更加穩(wěn)定，精度也更高，從圖3中可以看出。另外，從兩模型的殘差比較圖4上看，模型2的殘差大部分要比模型1更小，從對兩個模型的回歸診斷上可以發(fā)現(xiàn)模型2的R為0.995大于模型1的0.993，模型2決定系數(shù)0.990也大于模型10.986，且模型2y的回歸后的標準差0.33265要小于模型1的0.34651，由此可見：模型2在增加了一個觀測數(shù)據(jù)的情況下所建立的回歸模型要比模型1更顯著，更優(yōu)，這點從殘差比較圖中可以明顯看出。比較兩個模型的擬合圖如圖2，好像并不能看出哪個模型更優(yōu)，甚至由兩個模型中實測值與模型對2～9期數(shù)據(jù)的擬合相對誤差表比較似乎更傾向于模型1比模型2更優(yōu)，但是由后期兩個模型對11～15期數(shù)據(jù)的預測精度。

5 結語

綜上所述，回歸模型運用于大壩變形預測是可行的，并且選用自變量多的方式進行建模的預測結果優(yōu)于少自變量建模預測的結果。筆者對多個大壩變形實例進行試驗，大多數(shù)可以得到比較理想的預測效果。

參考文獻：

[1]吳中如.水工建筑物安全監(jiān)控理論及其應用.北京：高等教育出版社，2001.

[2]王孝仁，王松桂編譯.實用多元統(tǒng)計分析[M].上?？茖W技術出版社，1990，195-264.

[3]徐培亮.大壩變形預測方法的擴展.測繪學報，1987，16（4）：280-290.

[4]RogerAH，CharlesRJ.楊奇譯.矩陣分析[M].北京：機械工業(yè)出版社，2005.

[5]何曉群，劉文卿.應用回歸分析.中國人民出版社.

[6]張正祿，汪宏晨.滑坡變形分析與預報的新方法[J].武漢大學學報-信息科學版，2009，34（12）：1387～1389.endprint