預(yù)防Ⅱ型PIO的作動(dòng)器設(shè)計(jì)

拜 斌

(海軍裝備部，陜西 西安 710089)

引言

在工程實(shí)際中，大多飛行控制系統(tǒng)在伺服控制(尤其是舵回路控制)中存在速率限制 ，當(dāng)伺服控制需求的舵面操控指令超過伺服作動(dòng)器的液壓或機(jī)械許可范圍時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)作動(dòng)器速率或位置飽和，有可能會(huì)引起PIO,其本質(zhì)為非線性影響使人—機(jī)閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性削弱。航空界中一般將因作動(dòng)器速率限制導(dǎo)致的駕駛員誘發(fā)振蕩定義為Ⅱ型PIO[1]，典型事例曾出現(xiàn)在C-17飛機(jī)和YF-22飛機(jī)上[2]。因此，評(píng)估閉環(huán)系統(tǒng)是否具有Ⅱ型PIO趨勢(shì)，設(shè)計(jì)操縱性能更好的飛機(jī)具有重要的意義。

針對(duì)Ⅱ型PIO預(yù)測(cè)問題，國(guó)內(nèi)外展開了大量的研究工作。國(guó)外主要從兩個(gè)方面：①?gòu)目刂坡珊妥鲃?dòng)器本身來(lái)考慮，采用提高舵機(jī)系統(tǒng)的舵機(jī)速率，但需要改變舵機(jī)尺寸和重量，因此未能廣泛應(yīng)用[3]； ②運(yùn)用補(bǔ)償技術(shù)。一是減少駕駛桿命令增益或減少反饋控制增益,但這會(huì)惡化飛行品質(zhì);二是速率限制被激活時(shí)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行相位補(bǔ)償，設(shè)計(jì)相位補(bǔ)償系統(tǒng)有邏輯條件法和連續(xù)信號(hào)法。而國(guó)內(nèi)目前主要采用相位補(bǔ)償技術(shù)進(jìn)行抑制，研究較多的是基于邏輯條件法設(shè)計(jì)的DS補(bǔ)償器[4]。

文章針對(duì)飛控系統(tǒng)中作動(dòng)器速率限制引起的振蕩問題，采用魯棒穩(wěn)定性的方法來(lái)判斷飛機(jī)的PIO趨勢(shì)，通過重新選取合適的作動(dòng)器參數(shù)，避免了不穩(wěn)定性。

1 問題描述

人工駕駛飛機(jī)進(jìn)行俯仰角控制的原理如圖1所示，駕駛員控制目的是使飛機(jī)實(shí)際俯仰角θ等于期望值θd—跟蹤俯仰角指令，圖中Kp和N(s)分別表示駕駛員的控制增益、動(dòng)態(tài)特性；作動(dòng)器回路在正常工作范圍內(nèi)可以近似描述為帶寬為1/τ的一階線性環(huán)節(jié)，其中非線性環(huán)節(jié)表示其工作速率受限；δ(s)為作動(dòng)器輸出—舵面偏轉(zhuǎn)角。

圖1 俯仰控制人機(jī)系統(tǒng)原理方塊圖(具有速率限制的作動(dòng)器)

作動(dòng)器飽和特性如圖2所示，其最大輸入幅值umax，最大輸出幅值ymax。uT=ymax,表示線性部分斜率為1。因此，當(dāng)作動(dòng)器沒有飽和時(shí)，其增益最大Lmax=1，而當(dāng)飽和且輸入作用幅值最大時(shí)，增益最小Lmin=ymax/umax，于是L∈[Lmin,1]，上述俯仰控制人機(jī)系統(tǒng)原理如圖3所示。

圖2 作動(dòng)器回路典型的飽和環(huán)節(jié)

圖3 俯仰控制人機(jī)系統(tǒng)原理方塊圖(線性化作動(dòng)器)

在分析系統(tǒng)是否存在PIO趨勢(shì)時(shí)，除用L表示非線性因素外，還應(yīng)考慮駕駛員增益Kp，因?yàn)樵诟┭鼋强刂啤⒖罩惺苡鸵约跋禄灥热蝿?wù)階段，需要駕駛員實(shí)施較大操縱，作動(dòng)器工作于飽和狀態(tài)，可能引起PIO[2]。假設(shè)N(s)=1，則人—機(jī)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的分析變?yōu)镵p與L取值的討論。

為分析作動(dòng)器非線性影響，要考慮兩種情況：時(shí)不變參數(shù)L和時(shí)變參數(shù)L。首先假設(shè)L線性時(shí)不變，目的是在Kp-L平面內(nèi)確定一個(gè)區(qū)域，使得圖1構(gòu)型的閉環(huán)動(dòng)態(tài)矩陣為赫爾維茨陣，此方法“弱”，不能確保閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。第二種方法假設(shè)參數(shù)L∈[Lmin,1]為時(shí)變函數(shù)，稱作“魯棒”的方法，通過二次型穩(wěn)定性來(lái)判斷系統(tǒng)是否存在PIO趨勢(shì)，在某種程度上相對(duì)保守和嚴(yán)格，但能確保閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。

2 模型建立

2.1 時(shí)不變參數(shù)系統(tǒng)PIO預(yù)測(cè)的魯棒穩(wěn)定性分析

假設(shè)如圖3所示，人在回路的俯仰控制中，駕駛員控制增益在可接受范圍內(nèi)(K∈[0,KPmax])，且作動(dòng)器未飽和(L=1，參數(shù)時(shí)不變)，系統(tǒng)處于閉環(huán)穩(wěn)定狀態(tài)，ACL(Kp,L)為其閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，與Kp和L呈仿射型關(guān)系。在Kp-L平面中，Zarea、ZH分別表示駕駛操縱域和系統(tǒng)赫爾維茨穩(wěn)定域，為：

Zarea=[Lmin,1]×[0,KPmax]

(1)

ZH={(L,KP):ACL(L,KP)是赫爾維茨陣}

(2)

條件1：當(dāng)ZH?Zarea時(shí)，系統(tǒng)不存在PIO趨勢(shì)，且是“弱穩(wěn)定”的。

由于時(shí)不變參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法不能直接用于分析時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性[3]，因此條件1只能進(jìn)行保守估計(jì)，不能完全保證系統(tǒng)全局穩(wěn)定性。

當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，只檢查赫爾維茨穩(wěn)定域如圖4所示；曲線1滿足“弱穩(wěn)定”要求，曲線2中，ZH與Zarea的交點(diǎn)與閉環(huán)系統(tǒng)的一對(duì)純虛極點(diǎn)一致，系統(tǒng)頻率與系統(tǒng)描述函數(shù)獲得的極限環(huán)頻率一致[5]，系統(tǒng)不穩(wěn)定，具有明顯的PIO趨勢(shì)。

圖4 Ⅱ型PIO趨勢(shì)的條件示意圖

而穩(wěn)定域ZH的確定采用ROBAN算法(該算法可用于分析不確定的LTI系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題[6])在穩(wěn)定域∏中找到符合要求的穩(wěn)定域∏S，進(jìn)而確定ZH的范圍。算法如下：

不確定動(dòng)態(tài)系統(tǒng)用多項(xiàng)式方程組表示為：

La(∏)={p(·,a(π))|π∈∏}

(3)

其中：p(s,a)=sn+a1sn-1+an,s∈C。

定義2：所有的π∈∏組成的穩(wěn)定域S位于參數(shù)空間∏內(nèi)，譬如La(S)為赫爾維茨多項(xiàng)式。

穩(wěn)定域∏S的邊界位置的確定：

(1)將不確定的參數(shù)空間看作∏是穩(wěn)定矩形區(qū)域；

(2)將矩形域的三個(gè)空列表從L1到L3初始化，令i1=0；

(3)將∏放進(jìn)L1中，令il=1；

(4)測(cè)試L1的矩形域∏i1[6]；

(5)如果4滿足，則將∏i1放進(jìn)L1；

如果∏i1的半徑大于定義的閾值，則將∏i1沿邊界把2P矩形分成相同的部分代入L2；

(6)設(shè)i1=i1+1；

(7)如果出現(xiàn)∏i1，則回到第4步；如果L2為空，則跳到第8步；

否則清空L1，令i1=1；將L2代入列表L1之后，清空L2；回到第4步；

(8)在L3中的每個(gè)矩形域∏i的中心位置檢查多項(xiàng)式La(πci)的穩(wěn)定性，通過穩(wěn)定的La(πci)的∏i集可以確定穩(wěn)定域∏S。

2.2 時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)PIO預(yù)測(cè)的魯棒穩(wěn)定性分析

與時(shí)不變參數(shù)不同，當(dāng)L為時(shí)變參數(shù)時(shí)，需找到最優(yōu)的解來(lái)評(píng)價(jià)飛機(jī)是否具有PIO趨勢(shì)。非線性單元的輸入與輸出關(guān)系可以表示為：

L(t):=y(t)/u(t)

(4)

其L(t)∈[Lmin,1]中函數(shù)L(·)可以寫成：

{L(·):[0,∞)→R|L(t)∈[Lmin,1]}

(5)

對(duì)于上述L(·)，線性系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性等價(jià)于非線性系統(tǒng)的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性[7]。

(1)不確定時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析

不確定系統(tǒng)的狀態(tài)方程表示為：

(6)

其中{π(·):[0,∞)→∏}?RP表示一個(gè)p維的時(shí)變向量，假設(shè)A為仿射的；πi,i=1,…,2p表示∏的邊界，令V(x)=xTPx為二次型Lyapunov方程。

對(duì)于所有的參數(shù)π(·)，若滿足AT(π)P+PA(π)<0，?π∈∏；則是二次型V(x)是穩(wěn)定的[8]，不等式可寫成：

AT(πi)P+PA(πi)<0,i=1,…,2P

(7)

式(7)為線性矩陣不等式[9]，可用matlab LMI 工具箱進(jìn)行處理，由此解決系統(tǒng)(6)的二次型穩(wěn)定性問題。

(2)不發(fā)生Ⅱ型PIO的“強(qiáng)條件”

如圖3所示，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)表達(dá)式為：

(8)

假設(shè)KP∈[0,Kpmax]為時(shí)不變參數(shù)，L∈[Lmin,1]為時(shí)變參數(shù)，KP符合赫爾維茨穩(wěn)定性要求，L需符合二次型穩(wěn)定性要求。在KP-L平面定義穩(wěn)定域ZQS:={(L,KP)}。

條件2：當(dāng)ZQS?Zarea時(shí)，系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)PIO。上述條件是相對(duì)有效和保守的穩(wěn)定判據(jù)，稱為“強(qiáng)條件”。

考慮KP與L，L∈[Lmin,1],KP∈[Kmin,Kmax]兩個(gè)因素的影響，確定穩(wěn)定域ZQS的算法如下：

(2)若無(wú)P>0，則繪制[Lmin,1]×[0,KPmax]圖形，使Lmin=Lmin+△L;否則Kmin=Kmax，Kmax=Kmin+△K,程序結(jié)束。

若Lmin<1，則跳到第2步，否則中止程序。

圖5 二次型穩(wěn)定域中(不)產(chǎn)生Ⅱ型PIO具有魯棒穩(wěn)定性的“強(qiáng)條件”

如圖5所示，在ZQS穩(wěn)定域中曲線1邊界內(nèi)飛機(jī)不會(huì)出現(xiàn)PIO；而曲線2不滿足要求，飛機(jī)有明顯的PIO趨勢(shì)，因而需重新設(shè)計(jì)作動(dòng)器，來(lái)提高系統(tǒng)抗PIO能力。

3 作動(dòng)器設(shè)計(jì)及仿真

3.1 作動(dòng)器設(shè)計(jì)

系統(tǒng)二次型穩(wěn)定性條件比赫爾維茨穩(wěn)定性要求更為嚴(yán)格，因此穩(wěn)定域的邊界總在邊界的上方，如圖6所示。

圖6 ZH包含操縱域和ZQS邊界與操縱域相交示意圖

以上分析得到下列三種情況：

(1)ZQS?Zarea時(shí)(圖5曲線1)，作動(dòng)器品質(zhì)良好，系統(tǒng)不會(huì)PIO；

(2)ZQS?Zarea和ZH?Zarea時(shí)(圖6)，飛機(jī)魯棒性較弱，存在潛在的PIO趨勢(shì)；

(3)ZH?Zarea時(shí)(圖4曲線2)，飛機(jī)PIO趨勢(shì)明顯，應(yīng)重新設(shè)計(jì)作動(dòng)器。

圖7 重新確定操縱域范圍的示意圖

算法1如下：

(1)在ZQS和Zarea域中確定(L*,KPmax)的范圍(圖7)；

3.2 算例仿真

具有作動(dòng)器速率限制的某型飛控系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型如圖3所示，其中N(s)=1,τ=0.04s，；飛機(jī)短周期動(dòng)力學(xué)模型為：

(9)

當(dāng)L=1，Kp∈[0,7.1]，系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，要求的駕駛員增益邊界值[10]為2.51(8db)。當(dāng)Kp>7.1時(shí)，線性系統(tǒng)不穩(wěn)定，由安全性得到KPmax=7.1/2.51=2.82，取KPmax=3，計(jì)算得到umax=430，/s，因此Lmin=0.03。由上節(jié)算法可以繪制出下圖：

圖8 某型飛機(jī)赫爾維茨穩(wěn)定域和二次型穩(wěn)定域

4 結(jié)語(yǔ)

本文從線性系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性角度，研究了系統(tǒng)是否存在Ⅱ型PIO趨勢(shì)，從而選取更為合適的作動(dòng)器參數(shù)，改善系統(tǒng)性能。當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)PIO現(xiàn)象時(shí)，重新設(shè)計(jì)作動(dòng)器來(lái)保證系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，仿真驗(yàn)證了方法的合理性。但方法未考慮駕駛員的非線性因素，僅針對(duì)速率限制作動(dòng)器飽和環(huán)節(jié)。由多非線性因素和多變量耦合引起的PIO有待更深入地研究。

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