“外接球問題”解法小議

周曉瑞

摘 要：多面體的外接球是一個(gè)使得該多面體的所有頂點(diǎn)都在其上的球面，每個(gè)多面體至多有一個(gè)外接球，也就是說，如果某個(gè)多面體有外接球，那么它的外接球是唯一的.由于這個(gè)唯一性使得外接球問題成為歷年高考的熱點(diǎn)，也成了學(xué)生眼中的難點(diǎn)，為了讓學(xué)生能快速、準(zhǔn)確地解決這類問題，歸納總結(jié)幾種常用的解答方法：性質(zhì)法；構(gòu)造法：根據(jù)多面體的特征常構(gòu)造長方體、正方體、直棱柱等；逐個(gè)擊

破法.

關(guān)鍵詞：外接球；性質(zhì)法；構(gòu)造法；長方體；正方體；直棱柱；逐個(gè)擊破法

.

分析：正四面體的各條棱均相等，且相對的棱異面垂直，而正方體的所有面對角線均相等，且相對的兩個(gè)面內(nèi)的異面對角線還互相垂直，故我們可以采用構(gòu)造正方體的方法求解.

3.構(gòu)造直棱柱

∴三棱錐D-ABC的外接球就是直三棱柱ABC-FDE的外接球.

設(shè)△ABC、△DEF的外接圓圓心分別為O1、O2，連接O1O2，則直三棱柱ABC-FDE的外接球球心就是線段O1O2的中點(diǎn)O，連接OC、O1C

規(guī)律小結(jié)：

在下列情形之下，常用構(gòu)造法解決外接球問題：

（1）三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直時(shí)，常構(gòu)造長方體，特別地，當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且相等時(shí)，可直接構(gòu)造正方體.

（2）三棱錐的對棱相等時(shí)，常構(gòu)造長方體，特別地，當(dāng)三棱錐的各條棱相等，即為正四面體時(shí)，可直接構(gòu)造正方體.

（3）三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形時(shí)，可構(gòu)造長方體.

（4）三棱錐只有一條側(cè)棱與底面垂直時(shí)，可構(gòu)造直棱柱.

方法三：逐個(gè)擊破法

根據(jù)幾何體的外接球的定義知，外接球的球心到幾何體的各頂點(diǎn)的距離均相等，即只要確定了球心所處的準(zhǔn)確位置，半徑也就迎刃而解了.所以在有些題目中，我們可以采取“先找到滿足到部分點(diǎn)距離相等的點(diǎn)集A，再找到滿足到剩余點(diǎn)距離相等的點(diǎn)集B，而后取A和B的交集”的辦法，就可以找到球心，即各個(gè)擊破，逐步滿足.

規(guī)律小結(jié)：

當(dāng)幾何體的各個(gè)表面中有部分或全部是可以確定外接圓圓心或半徑的平面幾何圖形（如正三角形、直角三角形等）時(shí)，均可采用“逐個(gè)擊破法”求解.

（作者單位 山西省保德中學(xué)）

編輯 謝尾合endprint

摘 要：多面體的外接球是一個(gè)使得該多面體的所有頂點(diǎn)都在其上的球面，每個(gè)多面體至多有一個(gè)外接球，也就是說，如果某個(gè)多面體有外接球，那么它的外接球是唯一的.由于這個(gè)唯一性使得外接球問題成為歷年高考的熱點(diǎn)，也成了學(xué)生眼中的難點(diǎn)，為了讓學(xué)生能快速、準(zhǔn)確地解決這類問題，歸納總結(jié)幾種常用的解答方法：性質(zhì)法；構(gòu)造法：根據(jù)多面體的特征常構(gòu)造長方體、正方體、直棱柱等；逐個(gè)擊

破法.

關(guān)鍵詞：外接球；性質(zhì)法；構(gòu)造法；長方體；正方體；直棱柱；逐個(gè)擊破法

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分析：正四面體的各條棱均相等，且相對的棱異面垂直，而正方體的所有面對角線均相等，且相對的兩個(gè)面內(nèi)的異面對角線還互相垂直，故我們可以采用構(gòu)造正方體的方法求解.

3.構(gòu)造直棱柱

∴三棱錐D-ABC的外接球就是直三棱柱ABC-FDE的外接球.

設(shè)△ABC、△DEF的外接圓圓心分別為O1、O2，連接O1O2，則直三棱柱ABC-FDE的外接球球心就是線段O1O2的中點(diǎn)O，連接OC、O1C

規(guī)律小結(jié)：

在下列情形之下，常用構(gòu)造法解決外接球問題：

（1）三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直時(shí)，常構(gòu)造長方體，特別地，當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且相等時(shí)，可直接構(gòu)造正方體.

（2）三棱錐的對棱相等時(shí)，常構(gòu)造長方體，特別地，當(dāng)三棱錐的各條棱相等，即為正四面體時(shí)，可直接構(gòu)造正方體.

（3）三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形時(shí)，可構(gòu)造長方體.

（4）三棱錐只有一條側(cè)棱與底面垂直時(shí)，可構(gòu)造直棱柱.

方法三：逐個(gè)擊破法

根據(jù)幾何體的外接球的定義知，外接球的球心到幾何體的各頂點(diǎn)的距離均相等，即只要確定了球心所處的準(zhǔn)確位置，半徑也就迎刃而解了.所以在有些題目中，我們可以采取“先找到滿足到部分點(diǎn)距離相等的點(diǎn)集A，再找到滿足到剩余點(diǎn)距離相等的點(diǎn)集B，而后取A和B的交集”的辦法，就可以找到球心，即各個(gè)擊破，逐步滿足.

規(guī)律小結(jié)：

當(dāng)幾何體的各個(gè)表面中有部分或全部是可以確定外接圓圓心或半徑的平面幾何圖形（如正三角形、直角三角形等）時(shí)，均可采用“逐個(gè)擊破法”求解.

（作者單位 山西省保德中學(xué)）

編輯 謝尾合endprint

摘 要：多面體的外接球是一個(gè)使得該多面體的所有頂點(diǎn)都在其上的球面，每個(gè)多面體至多有一個(gè)外接球，也就是說，如果某個(gè)多面體有外接球，那么它的外接球是唯一的.由于這個(gè)唯一性使得外接球問題成為歷年高考的熱點(diǎn)，也成了學(xué)生眼中的難點(diǎn)，為了讓學(xué)生能快速、準(zhǔn)確地解決這類問題，歸納總結(jié)幾種常用的解答方法：性質(zhì)法；構(gòu)造法：根據(jù)多面體的特征常構(gòu)造長方體、正方體、直棱柱等；逐個(gè)擊

破法.

關(guān)鍵詞：外接球；性質(zhì)法；構(gòu)造法；長方體；正方體；直棱柱；逐個(gè)擊破法

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分析：正四面體的各條棱均相等，且相對的棱異面垂直，而正方體的所有面對角線均相等，且相對的兩個(gè)面內(nèi)的異面對角線還互相垂直，故我們可以采用構(gòu)造正方體的方法求解.

3.構(gòu)造直棱柱

∴三棱錐D-ABC的外接球就是直三棱柱ABC-FDE的外接球.

設(shè)△ABC、△DEF的外接圓圓心分別為O1、O2，連接O1O2，則直三棱柱ABC-FDE的外接球球心就是線段O1O2的中點(diǎn)O，連接OC、O1C

規(guī)律小結(jié)：

在下列情形之下，常用構(gòu)造法解決外接球問題：

（1）三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直時(shí)，常構(gòu)造長方體，特別地，當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且相等時(shí)，可直接構(gòu)造正方體.

（2）三棱錐的對棱相等時(shí)，常構(gòu)造長方體，特別地，當(dāng)三棱錐的各條棱相等，即為正四面體時(shí)，可直接構(gòu)造正方體.

（3）三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形時(shí)，可構(gòu)造長方體.

（4）三棱錐只有一條側(cè)棱與底面垂直時(shí)，可構(gòu)造直棱柱.

方法三：逐個(gè)擊破法

根據(jù)幾何體的外接球的定義知，外接球的球心到幾何體的各頂點(diǎn)的距離均相等，即只要確定了球心所處的準(zhǔn)確位置，半徑也就迎刃而解了.所以在有些題目中，我們可以采取“先找到滿足到部分點(diǎn)距離相等的點(diǎn)集A，再找到滿足到剩余點(diǎn)距離相等的點(diǎn)集B，而后取A和B的交集”的辦法，就可以找到球心，即各個(gè)擊破，逐步滿足.

規(guī)律小結(jié)：

當(dāng)幾何體的各個(gè)表面中有部分或全部是可以確定外接圓圓心或半徑的平面幾何圖形（如正三角形、直角三角形等）時(shí)，均可采用“逐個(gè)擊破法”求解.

（作者單位 山西省保德中學(xué)）

編輯 謝尾合endprint