高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩和湍流計(jì)算問題

周恒

(天津大學(xué) 力學(xué)系，天津 300072)

0 引言

對(duì)飛行器的設(shè)計(jì)來說，在初步選定外形后，準(zhǔn)確算出其氣動(dòng)力，包括升力、阻力、力矩，以及壁面熱流等，是進(jìn)一步設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。早年這主要靠半經(jīng)驗(yàn)的辦法解決，要做大量的研究性實(shí)驗(yàn)和模型實(shí)驗(yàn)。但模型實(shí)驗(yàn)有很大的局限性，受制于在地面無法完全實(shí)現(xiàn)真實(shí)飛行時(shí)遇到的條件，無法做全尺寸實(shí)驗(yàn)，也無法同時(shí)滿足所有的模型律。近年來，CFD(computational fluid dynamics)在研制各種飛行器中起到了越來越大的作用，已在很大程度上取代實(shí)驗(yàn)的作用。但在計(jì)算飛行器所受的摩阻及熱載荷時(shí)，其結(jié)果的正確性有賴于對(duì)邊界層轉(zhuǎn)捩的預(yù)測(cè)能力和湍流計(jì)算能力。而如果飛行器因攻角較大而產(chǎn)生分離，則轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)不準(zhǔn)還將影響到升力的預(yù)測(cè)。

邊界層轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)及湍流計(jì)算這2個(gè)問題都是已歷經(jīng)100年之久還未徹底解決的問題。在2006年的Annual Review of Fluid Mechanics 的文章“Critical Hypersonic Aerothermodynamic Phenomena”[1]中引用NASA的Bushnell在1997年的話說：“歷史上人類在預(yù)測(cè)所有高超聲速(甚至超聲速)飛行器的轉(zhuǎn)捩時(shí)幾乎從來沒有成功過”。并指出，制約CFD在高超聲速飛行器設(shè)計(jì)中應(yīng)用的有四大因素，其中就有“模式化轉(zhuǎn)捩及湍流的能力”。

1 轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)問題

1.1 轉(zhuǎn)捩的基本概念及關(guān)鍵問題

以平板邊界層為例。一般在前緣后有一段為層流，但其中有小的擾動(dòng)。如果小擾動(dòng)是增長的，則到下游某處，會(huì)經(jīng)傳捩過程而變?yōu)橥牧?，如圖1所示。

圖1 邊界層轉(zhuǎn)捩過程示意圖Fig.1 Sketch of the process of boundary layer transition

圖2所示為轉(zhuǎn)捩前后壁面摩擦系數(shù)和傳熱系數(shù)的變化。可見湍流段比層流段都要大數(shù)倍。如果轉(zhuǎn)捩位置預(yù)測(cè)不準(zhǔn)，顯然會(huì)帶來誤差。實(shí)際上，轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)不準(zhǔn)，對(duì)總摩阻的影響也可能不會(huì)太大，因?yàn)榻K究只占總值的一小部分。但對(duì)熱防護(hù)設(shè)計(jì)來說則影響很大。因?yàn)?，如?shí)際已是湍流的地方仍按層流設(shè)計(jì)，則很可能會(huì)被燒壞，而實(shí)際仍是層流的地方按湍流設(shè)計(jì)，則會(huì)增加不必要的防熱層的質(zhì)量。此外，對(duì)有攻角的彈體，如果轉(zhuǎn)捩線預(yù)測(cè)不準(zhǔn)，則不僅會(huì)影響總阻力的計(jì)算，還會(huì)影響氣動(dòng)力矩的計(jì)算。

圖2 轉(zhuǎn)捩前后壁面摩擦系數(shù)Cf及傳熱系數(shù)qw的變化Fig.2 Change of friction Cf and heat transfer coefficients qw across the transition

轉(zhuǎn)捩有2種。一種是如上所述由小擾動(dòng)增長導(dǎo)致的轉(zhuǎn)捩；一種是由大的擾動(dòng)引起的轉(zhuǎn)捩。前者要經(jīng)歷較長的小擾動(dòng)演化過程，稱自然轉(zhuǎn)捩，而后者則在有了擾動(dòng)后很快發(fā)生轉(zhuǎn)捩，稱by-pass轉(zhuǎn)捩。高空飛行時(shí)的邊界層一般是自然轉(zhuǎn)捩。

自然轉(zhuǎn)捩研究需解決的關(guān)鍵問題：

(1) 邊界層中的小擾動(dòng)是如何產(chǎn)生的——感受性問題

這個(gè)問題約從20世紀(jì)80年代開始，研究還不夠充分。

對(duì)不可壓流動(dòng)，邊界層外的擾動(dòng)傳播速度就是自由流速度，而邊界層中的以不穩(wěn)定波形式出現(xiàn)的小擾動(dòng)，其傳播速度小于自由流速度，二者不匹配。因而邊界層外緣引起的邊界層內(nèi)的擾動(dòng)不能直接轉(zhuǎn)化為邊界層內(nèi)的不穩(wěn)定波，而要通過與邊界層內(nèi)平均流在局部(尺度較不穩(wěn)定波的波長小很多)發(fā)生較大變化處的相互作用才能在邊界層內(nèi)激發(fā)不穩(wěn)定波。一般注意的是前緣處，邊界層壁面的幾何性質(zhì)發(fā)生突變處，如2段不光滑(可以是一階導(dǎo)數(shù)不光滑)相接處，或有粗糙度處。

對(duì)可壓縮流，特別是高超聲速流，邊界層外的擾動(dòng)除了有以自由流速度傳播的外，還可以以快聲波或慢聲波的形式出現(xiàn)，其傳播速度有可能和邊界層內(nèi)不穩(wěn)定波傳播速度相同或相近，可以直接或間接激發(fā)邊界層內(nèi)不穩(wěn)定波。

(2) 小擾動(dòng)在邊界層中如何演化——擾動(dòng)演化的線性及非線性理論

這個(gè)問題的研究比較充分，已有近100年歷史。

已知邊界層中的不穩(wěn)定波，可以用線性或非線性穩(wěn)定性理論，包括拋物化穩(wěn)定性方程，研究其演化，特別是其放大過程。這時(shí)要求解穩(wěn)定性方程。對(duì)不可壓流，這類方程的邊界條件是不難確定的，一般在壁面是不可滑移條件，邊界層外為零邊界條件。但對(duì)高超聲速邊界層，在壁面處多了一個(gè)溫度條件，在邊界層外會(huì)由于存在激波而較難處理(主要是馬赫數(shù)非常高的高超聲速邊界層)。特別是不穩(wěn)定波的演化對(duì)壁面溫度條件較敏感，而壁面溫度條件又往往很難確定，一般既不是定溫，也不是絕熱。

(3) 擾動(dòng)演化至什么程度將觸發(fā)轉(zhuǎn)捩——轉(zhuǎn)捩判據(jù)

邊界層內(nèi)擾動(dòng)演化至何時(shí)會(huì)觸發(fā)轉(zhuǎn)捩，是轉(zhuǎn)捩判據(jù)問題。由于轉(zhuǎn)捩不僅依賴于擾動(dòng)大小，而且還與擾動(dòng)頻率、形狀等有關(guān)，增加了提出轉(zhuǎn)捩判據(jù)的難度。國外目前還主要依靠經(jīng)驗(yàn)或半經(jīng)驗(yàn)方法。

高超聲速邊界層內(nèi)溫度可以很高，導(dǎo)致需考慮真實(shí)氣體效應(yīng)。好在需要較長時(shí)間在大氣層中飛行的飛行器，其速度一般不會(huì)太高。如果Ma<7，則真實(shí)氣體效應(yīng)主要表現(xiàn)為氣體的內(nèi)能必須考慮振動(dòng)能，比熱將依賴于溫度，但還不需要考慮分子的離解及化學(xué)反應(yīng)。相對(duì)來說處理還不太難。

1.2 轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法

目前已有的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法有2類：

(1) 基于線性穩(wěn)定性理論的預(yù)測(cè)方法

基于線性穩(wěn)定性理論的預(yù)測(cè)方法具有一定的合理性，如圖1所示，在轉(zhuǎn)捩發(fā)生前，要經(jīng)歷一段小擾動(dòng)增長的過程。這一過程，占了從開始有小擾動(dòng)到實(shí)際發(fā)生轉(zhuǎn)捩的整個(gè)過程的大部分。但按原來的做法，要靠經(jīng)驗(yàn)確定作為轉(zhuǎn)捩判據(jù)的一個(gè)參數(shù)。因此，這是一種半經(jīng)驗(yàn)法，國外稱為eN法，N就是那個(gè)參數(shù)。而N的值，要針對(duì)某一類特定的流動(dòng)，由經(jīng)驗(yàn)得到。對(duì)eN方法的內(nèi)容和應(yīng)用可參考文獻(xiàn)[2-3]。

在認(rèn)為這一方法可靠的條件下，國外有人針對(duì)一類問題，將由其所得結(jié)果和邊界層的某些參數(shù)，如邊界層外沿的馬赫數(shù)及邊界層厚度等做關(guān)聯(lián)，使得更便于納入CFD的計(jì)算中，更便于工程技術(shù)人員的應(yīng)用。

近年來，對(duì)基于線性穩(wěn)定性理論的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法做了較大改進(jìn)，大大減少了對(duì)經(jīng)驗(yàn)的依靠。

(2) 將轉(zhuǎn)捩前的擾動(dòng)演化植入湍流模式計(jì)算中，使得轉(zhuǎn)捩和湍流合并計(jì)算。但擾動(dòng)植入湍流計(jì)算這一點(diǎn)不太能令人信服，而且它有若干參數(shù)要靠經(jīng)驗(yàn)確定，且對(duì)不同流動(dòng)沒有通用性。

美國和歐洲的航空航天界基本都采用eN方法。

1.3 eN方法及其改進(jìn)簡介

以超聲速錐體邊界層轉(zhuǎn)捩為例(如圖3所示)。

圖3 小攻角錐體邊界層轉(zhuǎn)捩問題坐標(biāo)圖Fig.3 Coordinates used for the transition prediction of the boundary layer of a cone with small angle of attack

預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩要研究從每一個(gè)子午面出發(fā)的各種小擾動(dòng)可能導(dǎo)致轉(zhuǎn)捩的地方。

對(duì)每一個(gè)子午面，找出所謂的ZARF曲線(如圖4所示)。其上的每一個(gè)點(diǎn)，都代表一個(gè)頻率為F，在當(dāng)?shù)?對(duì)應(yīng)橫坐的標(biāo)x值)放大率為0但卻是局部最大(指頻率相同但波數(shù)不同條件下)的擾動(dòng)。

圖4 某子午面中的ZARF曲線Fig.4 ZARF curves in a certain meridian plane

對(duì)ZARF曲線上每一點(diǎn)代表的擾動(dòng)波，計(jì)算它沿其傳播方向的放大倍數(shù)eN，N顯然為x的函數(shù)。當(dāng)N達(dá)到某一由經(jīng)驗(yàn)確定的預(yù)設(shè)的值，則對(duì)應(yīng)的x值就是一個(gè)可能的轉(zhuǎn)捩位置。對(duì)所有ZARF上的點(diǎn)，可以找到一個(gè)可能轉(zhuǎn)捩位置的點(diǎn)集合。其中對(duì)應(yīng)于最小的x的點(diǎn)就決定了由該子午面出發(fā)的擾動(dòng)導(dǎo)致的轉(zhuǎn)捩點(diǎn)。由所有的子午面確定的轉(zhuǎn)捩點(diǎn)就組成轉(zhuǎn)捩線。

但是，在將這一方法用于超聲速小攻角圓錐的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)時(shí)，得到的轉(zhuǎn)捩線如圖3所示。其形狀甚至在定性上也和一般實(shí)驗(yàn)所得結(jié)果不符。

圖5 某一Ma=6，攻角為1°的錐體邊界層， 用傳統(tǒng)eN法所得轉(zhuǎn)捩線Fig.5 Transition line obtained by conventional eN method for the boundary layer of a cone with angle of attack 1° and Ma=6

一個(gè)合理的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法，應(yīng)該考慮前述與轉(zhuǎn)捩有關(guān)的3個(gè)關(guān)鍵因素，而原來的方法只是考慮了其中的一個(gè)因素，即小擾動(dòng)的增長過程。

針對(duì)原來方法的不足，文獻(xiàn)[4]提出了2方面的改進(jìn)意見。

(1) 考慮小擾動(dòng)的實(shí)際產(chǎn)生機(jī)理

不從ZARF開始，而假設(shè)在離錐頭不遠(yuǎn)的某一x處，所有子午面中的各種頻率擾動(dòng)的幅值均相同。對(duì)每一子午面，求所有從該x點(diǎn)出發(fā)的擾動(dòng)波的幅值沿x的變化。當(dāng)其幅值達(dá)到邊界層外緣速度的0.015倍處，就認(rèn)為該擾動(dòng)會(huì)觸發(fā)轉(zhuǎn)捩。

在某一給定的初始擾動(dòng)幅值下，得到了圖6a)中的轉(zhuǎn)捩線(Ma=6，攻角為1°錐體邊界層)。而文獻(xiàn)[5]在同樣基本流條件下，采用在錐頭下游不遠(yuǎn)處用壁面吹吸方法引入復(fù)雜擾動(dòng)波系，得到了圖6b)中的轉(zhuǎn)捩線。二者十分相似。

文獻(xiàn)[6]還用改進(jìn)后的eN方法對(duì)其他能有實(shí)驗(yàn)結(jié)果的情況做了驗(yàn)算，結(jié)果也都滿意。圖7是其中的一個(gè)驗(yàn)證例子。

1992年，King做了一個(gè)超聲速小攻角圓錐的轉(zhuǎn)捩實(shí)驗(yàn)[7]。他所用的風(fēng)洞有一個(gè)裝置，在該裝置不用的時(shí)候，風(fēng)洞中的背景擾動(dòng)主要是洞壁的湍流邊界層發(fā)出的噪聲擾動(dòng)。而在該裝置使用時(shí)，實(shí)驗(yàn)段前洞壁邊界層的噪聲擾動(dòng)被抑制，此時(shí)的風(fēng)洞稱為靜風(fēng)洞，其主要背景擾動(dòng)就是一般流動(dòng)中的擾動(dòng)。圖8中帶有實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的2條線是對(duì)應(yīng)于這2種情況的2種轉(zhuǎn)捩線?？可系氖菍?duì)應(yīng)于靜風(fēng)洞的結(jié)果，靠下的是非靜風(fēng)洞的結(jié)果。對(duì)應(yīng)于靜風(fēng)洞的轉(zhuǎn)捩線更靠下游，這是因?yàn)檫@時(shí)的擾動(dòng)更小。用上述改進(jìn)后的eN方法，可以在適當(dāng)選擇擾動(dòng)初值的情況下得到和實(shí)驗(yàn)很接近的結(jié)果。但對(duì)非靜風(fēng)洞情況，無論是原來的eN方法，還是改進(jìn)了的eN方法，都不能得到甚至只是定性上相符的結(jié)果，見圖8a)中最下面三角形點(diǎn)和圖8b)中最下面的長方形點(diǎn)。文獻(xiàn)[8]認(rèn)為，這是因?yàn)閷?duì)以聲擾動(dòng)為主的情況，應(yīng)考慮邊界層對(duì)聲擾動(dòng)的感受性。這時(shí)擾動(dòng)將不是在錐頭部被感受，而是在慢聲波的波速和邊界層中同頻率的小擾動(dòng)波的波速相同的地方被感受。采用這一因素后，得到的結(jié)果如圖8c)中空心圓圈所示，和實(shí)驗(yàn)基本符合。要指出的是，完全符合是不可能的，因?yàn)轱L(fēng)洞中聲擾動(dòng)在不同位置的幅值是不同的，而實(shí)驗(yàn)中并未給出這么全面的數(shù)據(jù)。計(jì)算中不得不做一定的假設(shè)。

圖6 不同方法得到的轉(zhuǎn)捩曲線Fig.6 Transition curves obtained with different methods

圖7 另一情況與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較Fig.7 Comparison with experimental observation for another case

圖8 實(shí)驗(yàn)與預(yù)測(cè)結(jié)果比較
Fig.8 Comparisons between experiments and theoretical predictions

(2) 給出基本不依賴經(jīng)驗(yàn)的轉(zhuǎn)捩判據(jù)

eN方法雖基于線性穩(wěn)定性理論，但對(duì)從小擾動(dòng)開始的自然轉(zhuǎn)捩，在擾動(dòng)小于0.01時(shí)，線性理論可以很好地描述擾動(dòng)增長過程。而不少轉(zhuǎn)捩的DNS結(jié)果顯示，轉(zhuǎn)捩開始時(shí)，一般擾動(dòng)的大小也就在0.01～0.02之間。因此，建議以擾動(dòng)幅值達(dá)到邊界層外沿流速的0.015為轉(zhuǎn)捩開始的判據(jù)。而不再像原來的eN方法中要針對(duì)不同流動(dòng)靠實(shí)驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)去確定作為轉(zhuǎn)捩判據(jù)的N值。文獻(xiàn)[9]對(duì)這一判據(jù)是否可靠做了進(jìn)一步的驗(yàn)證，結(jié)果是肯定的。

2 湍流計(jì)算問題

2.1 目前湍流模式用于超聲速/高超聲速湍流邊界層時(shí)的問題

對(duì)高超聲速湍流邊界層的湍流計(jì)算，目前還要靠湍流模式。最常用的有：①代數(shù)模式，如Baldwin-Lomax (B-L)模式，Cebeci-Smith模式；②一方程模式，如Spalart-Allmaras(S-A)模式；③ 兩方程模式，如k-ε模式，k-ω模式及其改進(jìn)型，Menter SST模式等。這些的共同特點(diǎn)是，模式最終都提供一個(gè)渦粘系數(shù)。代數(shù)模式最容易用，其次是一方程模式，再次是兩方程模式。 C. J. Roy & F. G. Blotther[10]在2006年， P. A. Gnoffo等[11]以及J. L. Brown[12]在2013年分別將各種模式計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，如果邊界層沒有由于和激波相互作用而發(fā)生分離，則對(duì)壁面壓力和壁面剪應(yīng)力，各種模式都能給出還算合理的結(jié)果，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比的誤差在10%以內(nèi)。但對(duì)壁面熱流，則各種模式和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的差別都較大，在某些局部地方，甚至可達(dá)200%。出乎意料的是，代數(shù)模式在熱流計(jì)算上，比一方程和兩方程模式的結(jié)果更好。但如果邊界層由于激波干擾而出現(xiàn)分離，則代數(shù)模式就會(huì)失效。

但是，只以實(shí)驗(yàn)結(jié)果為根據(jù)，很難分析上述各種模式不足的原因。近年來由于計(jì)算機(jī)及計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，已可以對(duì)湍流邊界層做湍流的直接數(shù)值模擬(DNS)。而DNS的結(jié)果可以提供詳盡的數(shù)據(jù)。而且，對(duì)高超聲速邊界層做實(shí)驗(yàn)，壁面的熱邊界條件很難確切給出。一般它既不是絕熱，也不是定溫。即使其他實(shí)驗(yàn)條件都相同，壁面的材料傳熱系數(shù)及壁面內(nèi)部溫度的不同，也可導(dǎo)致不同的壁面熱流條件。而DNS則可確切規(guī)定壁面溫度或熱流條件。因此，用DNS結(jié)果和用模式計(jì)算結(jié)果做對(duì)比，則可避免由于壁面熱邊界條件不完全對(duì)應(yīng)帶來的不確定性。

目前對(duì)湍流做直接數(shù)值模擬，還只能做雷諾數(shù)比較小的。但是，有2種因素使得這一限制影響減小。一是對(duì)飛行在高空，例如30 km以上的情況，單位長度雷諾數(shù)實(shí)際不大。因?yàn)槔字Z數(shù)Reunit=v/ν=vρ/μ，其中v是速度，μ是粘性系數(shù)，ρ是密度。對(duì)高超聲速而言，v雖然很大，比亞聲速可以大一個(gè)量級(jí)，但在30 km以上的高空，密度約是地面空氣密度的1/67，因此單位雷諾數(shù)比在地表附近做亞聲速飛行的要小得多。二是戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈的尺寸一般不太大，因此實(shí)際雷諾數(shù)也不會(huì)很大。

上面列舉的兩方程模式，其最終所給出的渦粘系數(shù)，都是基于渦粘系數(shù)μT正比于k2/ε的假設(shè)，即μT=Ck2/ε，其中k是湍動(dòng)能，ε是湍動(dòng)能的耗散速度，C為常數(shù)。文獻(xiàn)[13]對(duì)Ma為6，壁面溫度tW為來流溫度5.5倍的平板邊界層分別用DNS和幾種模式計(jì)算k和ε，結(jié)果發(fā)現(xiàn)k的分布還相差不多，只是量的差別，而ε的分布則定性上都差別很大，見圖9a),9b)。而用不正確的ε組合出正確的渦粘系數(shù)，從道理上是說不通的。文獻(xiàn)[5]也針對(duì)Ma為6的平板湍流邊界層，把由DNS得到的k與ε代入k-ε模式的公式所算出的渦粘系數(shù)(圖9c)中的實(shí)線)，與直接由DNS結(jié)果推出的渦粘系數(shù)(圖9c)中的空心圓連線)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)無論是定量還是定性都相差很多。可見原來的基本假定有問題。近年來，有不少研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)平板邊界層、槽道流及圓管流動(dòng)這類有剪切的壁湍流，沿壁面方向可分為若干層，每一層的湍流動(dòng)力學(xué)特征不同。因此μT=Ck2/ε這一假設(shè)并不正確。

圖9 湍動(dòng)能k、湍動(dòng)能耗散率ε及渦粘系數(shù)μT的比較Fig.9 Comparisons for the turbulent kinetic energy k, dissipation rate ε of the turbulent kinetic energy and the eddy viscosity μT

2.2 對(duì)B-L模式所做的改進(jìn)

由于航天用飛行器外形相對(duì)航空飛行器簡單，很多部位由直線、平面、錐體或接近于他們的幾何形狀組成。在沒有分離的地方，邊界層湍流接近于平衡或充分發(fā)展湍流，B-L模式可用，而B-L模式是最便于應(yīng)用的湍流模式。因此，B-L模式迄今在航天系統(tǒng)還常被采用。據(jù)此，文獻(xiàn)[13]決定先針對(duì)B-L模式，看是否有改進(jìn)的可能。他們?cè)趯?duì)高超聲速平板湍流邊界層做DNS的結(jié)果分析的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的B-L模式有3個(gè)方面要做改進(jìn)。

(2) 湍流Prandtl數(shù)不應(yīng)是常數(shù)。層流狀態(tài)下的粘性和傳熱，其起因都是分子間的碰撞引起的，機(jī)理相同，因此其系數(shù)之比為常數(shù)的假定合理。但渦粘性和渦傳熱是流體微團(tuán)間的動(dòng)量和熱量傳遞。雖然最直接的原因都是由接觸處的分子碰撞導(dǎo)致，但在微團(tuán)內(nèi)動(dòng)量傳遞比熱量傳遞效率高。例如設(shè)想一個(gè)一維的情況如圖10 所示。有2個(gè)微團(tuán)，各有速度v1，v2及溫度T1，T2，且v1>v2。當(dāng)微團(tuán)1追上微團(tuán)

2，動(dòng)量及熱量傳遞開始。如果不考慮流體的壓縮性，則動(dòng)量傳遞瞬間完成，兩微團(tuán)的速度立即變得相等。但熱量傳遞不可能瞬間完成，而仍要通過熱擴(kuò)散完成。三維情況二者的差別要小一些。湍流強(qiáng)度越大的地方，二者差別越大。根據(jù)這一考慮，他們以邊界層中湍動(dòng)能的分布(各種參數(shù)下不完全相同，但差別不大)為依據(jù)，給出了一個(gè)修正的表達(dá)式。

圖10 2流體微團(tuán)相碰情況Fig.10 Sketch for the collision of two fluid lumps

(3)

對(duì)冷卻壁，要對(duì)B-L模式中的混合長公式在壁面附近做一定的修正。經(jīng)過這3個(gè)修正之后，B-L模式不僅能給出更精確的壁面摩擦系數(shù)和壁面?zhèn)鳠嵯禂?shù)，而且也能給出更精確的整個(gè)平均流和平均溫度的剖面。圖11是一個(gè)例子。

圖11中，Ma=6，壁面溫度Tw=0.61Taw，Taw為絕熱壁溫度。DNS為直接數(shù)值模擬結(jié)果，BL為傳統(tǒng)BL模式結(jié)果，modify1為僅第一種改進(jìn)后的結(jié)果，modify2為僅有1，2兩種改進(jìn)的結(jié)果，modify3為3種改進(jìn)都采用后的結(jié)果。

3 結(jié)束語

需要指出的是，迄今所有湍流模式，都不能同時(shí)給出精確的壁面摩擦系數(shù)、壁面?zhèn)鳠嵯禂?shù)和整個(gè)平均流和平均溫度的剖面。而對(duì)有分離的問題，如果分離不是由入射激波或壓縮拐角等引起的，而是由于如攻角較大等因素引起的，則分離位置與分離前的邊界層厚度等有關(guān)。如果分離前的平均流剖面不準(zhǔn)確，則計(jì)算出的分離位置一般也不準(zhǔn)確。

如前所述，對(duì)有分離的情況，代數(shù)模式不能用。是否可能對(duì)其再做改進(jìn)，以使之能用，還是必需用帶方程的模式，還需要研究。而如必需用帶方程的模式，則它們也需要有實(shí)質(zhì)性的改進(jìn)。

注：圖中橫坐標(biāo)分別為：a)無量綱流向平均速度；b)無量綱溫度；c)無量綱流向坐標(biāo)；d) 無量綱流向坐標(biāo)圖11 平板湍流邊界層的速度、溫度、壁面摩擦系數(shù)及壁面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的分布Fig.11 Distribution of the mean flow velocity, temperature and heat transfer coefficient at the wall

參考文獻(xiàn)：

[1] Bertin John J, Cummings Russell M. Critical Hypersonic Aerothermodynamicc Phenomena[J]. Annul Review of Fluid Mechanics, 2006, 38：129-157.

[2] CEBECI T, STEWARTSON K. On Stability and Transition in Three-Dimensional Flows[J]. AIAA, 1980, 18(4): 398-405.

[3] CEBECI T, SHAO J P. CHEN H H, et al. The Preferred Approach for Calculating Transition by Stability Theory[C]∥ Proceeding of International Conference on Boundary and Interior Layers, ONERA, Toulouse France,2004.

[4] SU Cai-hong, ZHOU Heng. Transition Prediction of a Hypersonic Boundary Layer Over a Cone at Small Angle of Attck—with the Improvement ofeNMethod[J]. Science in China Series, 2009,52(1):115-123.

[5] LI X L, FU D X, MA Y W. Direct Numerical Simulation of a Spatially Evolving Supersonic Turbulent Boundary Layer at Ma=6[J]. Chinese Physics Letters, 2006,23(6):1519-1522.

[6] SU Cai-hong, ZHOU Heng.Transition Prediction for Supersonic and Hypersonic Boundary Layers on a Cone with Angle of Attack[J]. Science China Physics, Mechanics & Astronomy, 2009, 52 (8):1223-1232.

[7] KING R A. Three-Dimensional Boundary-Layer Transition on a Cone at Mach 3.5[J]. Experiments in Fluids, 1992(13):305-314.

[8] SU Cai-hong, ZHOU Heng. Transition Prediction of the Supersonic Boundary Layer on a Cone Under the Consideration of Receptivity to Slow Acoustic Waves[J]. Science China, Physics, Mechanics & Astronomy, 2011, 54(10):1875-1882.

[9] SU Cai-hong. The Reliability of the Improved eNMethod for the Transition Prediction of Boundary layer on a flat Plate[J]. Science China Physics, Mechanics & Astronomy, 2012, 55 (5)：837-843.

[10] ROY C J,BLOTTNER F G. Review and Assessment of Turbulence Models for Hypersonic Flows[J]. Progress in Aerospce Sciences, 2006,42:469-530.

[11] GNOFFO P A, BERRY S A, Van Norman J W. Uncertainty Assessment of Hypersonic Shock Wave-Boudary-Layer Interaction at Compression Corner[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2013, 50(1):69-95.

[12] BROWN J L. Hypersonic Shock Wave Impingement on Turbulent Boundary Layer: Computational Analysis and Uncertainty[J].Journal of Spacecraft and Rockets, 2013, 50(1):96-123.

[13] DONG Ming, ZHOU Heng.The Improvement of Turbulence Modeling For the Aerothermal Computation of Hypersonic Turbulent Boundary Layers[J]. Science China Physics, Mechanics & Astronomy, 2010, 53(2)：369-379.