基于滑動窗寬的非參數(shù)變寬直方圖方法研究*

葉菲,羅軍，高興榮，周杰

(解放軍陸軍軍官學院, 安徽 合肥 230031)

0 引言

雷達輻射源信號識別是雷達對抗的一個重要組成部分。實現(xiàn)雷達輻射源信號識別需要對雷達輻射源信號參數(shù)(如載頻、脈沖重復周期、脈沖寬度、脈沖幅度等)進行特征提取與分析，通常采用統(tǒng)計直方圖法[1-2]。統(tǒng)計直方圖分組有等寬分組和不等寬分組。等寬分組直方圖存在如下問題：靠近參數(shù)取值處的區(qū)間聚集大量的樣本，而遠離參數(shù)取值的區(qū)間卻只包含少量甚至沒有樣本，使得直方圖上部輪廓線與參數(shù)實際概率密度函數(shù)曲線不能很好地吻合，增加分組個數(shù)可以解決這個問題，但是以增加大量零樣本區(qū)間為代價。不等寬分組可以解決這個問題，它可以根據(jù)參數(shù)的取值情況，選擇不同的分組寬度[3]。

本文提出一種變寬直方圖法，它通過對等寬直方圖的區(qū)間進行合并或劃分操作，使直方圖上部輪廓線與參數(shù)概率密度函數(shù)曲線相吻合，從而確定出直方圖的分組數(shù)。若參數(shù)的概率密度函數(shù)未知，則可以采用非參數(shù)概率密度估計方法預先進行估計[4-5]。

1 非參數(shù)變寬直方圖算法

設T是某一實參數(shù)觀測數(shù)據(jù)的集合，區(qū)間A是該參數(shù)的取值范圍，將區(qū)間A劃分為n個不相交的子集Ai，使其滿足A=A1∪A2∪…∪An。對于一維數(shù)據(jù)集，直方圖的橫軸表示每一個子集的取值范圍，縱軸表示數(shù)據(jù)位于該子集內(nèi)上的頻數(shù)。若各子區(qū)間寬度相等，就稱為等寬直方圖[6]；各子區(qū)間寬度不相等，就稱為變寬直方圖。各子區(qū)間如何劃分，也就是分組如何確定的問題是直方圖算法中的關(guān)鍵問題[7]。

劉甸瑞教授[8-9]提出一種分組數(shù)確定方法。分組好壞總的評價準則是：分組要能使直方圖最清晰地反映出數(shù)據(jù)可能服從的統(tǒng)計分布規(guī)律來。具體有以下3條準則：①分組后頻數(shù)為0的組數(shù)不宜太多；②直方圖上部的輪廓線應較為連續(xù)；③分數(shù)組不宜過多或過少。

基于上述準則，本文提出一種變寬直方圖算法。為了滿足準則①，可以將等寬直方圖中頻數(shù)較小的相鄰區(qū)間進行合并；為了滿足準則②，可以將等寬直方圖中頻數(shù)較大的區(qū)間進行劃分，從而形成動態(tài)可變寬的直方圖。圖1中a)和b)分別為等寬直方圖和變寬直方圖，其中圖1b)就是基于圖1a)直方圖調(diào)整變換而來。如圖1所示。

將變寬直方圖進行歸一化處理，令歸一化處理后直方圖的上部輪廓線函數(shù)為f(x)，如圖2所示。

參數(shù)服從的概率密度函數(shù)為p(x)，定義f(x)和p(x)的貼近度為

(1)

貼近度越小，說明直方圖的上部輪廓線與參數(shù)概率密度函數(shù)越接近，此時的分組就越好；貼近度越大，說明直方圖的上部輪廓線與參數(shù)概率密度函數(shù)相差較遠，此時的分組就不是最優(yōu)分組。

圖1 2種直方圖算法Fig.1 Two histogram algorithms

圖2 直方圖上部輪廓線示意圖Fig.2 Figure of histogram upper contour

非參數(shù)變寬直方圖算法采取自適應方法確定區(qū)間大?。菏紫扔幂^大的區(qū)間長度構(gòu)造等寬直方圖，然后根據(jù)相鄰區(qū)間內(nèi)頻數(shù)的差值大小來確定該區(qū)間是否需要劃分及劃分的程度，這種方法不僅可以降低計算量，而且可以得到更符合實際分布的直方圖。設參數(shù)觀測數(shù)據(jù)為xi(i=1,2,…,n)，n代表該批觀測數(shù)據(jù)的總個數(shù)，非參數(shù)變寬直方圖算法具體步驟如下：

(3) 將[Xmin,Xmax]劃分為M個大小相等且無交疊的區(qū)間Ai=[ai,ai+1)，滿足Xmin=a1<…

(4) 計算在步驟(3)中設置的每一個區(qū)間中落入的樣本個數(shù)fi(i=1,2,…,M)。

(5) 設定區(qū)間頻數(shù)最大值fmax和最小值fmin。

(6) 若fi≤fmax，該區(qū)間不處理；反之對區(qū)間進行「fi/fmax?等份劃分，「·?表示上式取整運算。記錄新的區(qū)間序列Ai(i=1,2,…,N)和對應的區(qū)間頻數(shù)fi(i=1,2,…,N)。

(7) 若fi>fmin，該區(qū)間不處理；反之，將該區(qū)間與頻數(shù)較小的相鄰區(qū)間進行合并，記錄新的區(qū)間序列Ai(i=1,2,…,L)和對應的區(qū)間頻數(shù)fi(i=1,2,…,L)。

2 改進的非參數(shù)概率密度估計方法

設K(u)為定義在(-∞,∞)上的一個Borel可測函數(shù)，h>0為常數(shù)。

(2)

稱為總體密度p(x)的一個核估計，h稱為窗寬，K(u)稱為核函數(shù)。核函數(shù)有方窗函數(shù)、正態(tài)窗函數(shù)和指數(shù)窗函數(shù)等，在大樣本集情況下，核函數(shù)的選取對總體密度的估計并不是至關(guān)重要的，窗寬的選取才是核函數(shù)密度估計能否成功的關(guān)鍵[10]。最優(yōu)窗寬的選擇可以分為2類：固定窗寬算法和變窗寬算法。

固定窗寬算法假設真實密度p(x)服從N(u,σ2)分布，并使密度估計與真實密度之間的誤差最小，可以得到優(yōu)化的窗寬為[11-12]

(3)

變窗寬算法也是從密度估計與真實密度之間的誤差開始。但真實密度函數(shù)p(x)是未知的，否則就無需進行密度估計。一種處理方法與固定窗寬算法一樣，假設一個真實密度。然而對于一個未知分布，通過核密度估計獲得的密度函數(shù)，多數(shù)情況下，應該比一個假設的分布更加接近實際。因此，可以結(jié)合固定窗寬算法與變窗寬算法得到改進的非參數(shù)概率密度估計方法，具體步驟如下：

(1) 根據(jù)式(3)，計算固定最優(yōu)窗寬hopt。

(4)

通過極小化MSE(h0)，得到最優(yōu)窗寬：

(5)

從式(5)可以看出，h*(x)值與待求密度估計點x有關(guān)，其值隨著估計點的不同而不同，利用式(2)求解x分布密度時，窗寬的取值隨著x的變化而變化，變窗寬能夠更好地反映估計區(qū)間不同點的光滑程度，降低擬合曲線在峰頂區(qū)域的偏差以及尾部區(qū)域的方差，提高擬合曲線的靈活性。

3 仿真實驗

圖3 正態(tài)分布曲線擬合結(jié)果Fig.3 Fitting result of normal distribution curve

圖4 指數(shù)分布曲線擬合結(jié)果Fig.4 Fitting result of exponential distribution curve

實驗2 為驗證基于滑動窗寬非參數(shù)估計的變寬直方圖算法的有效性，仿真一組固定類型的雷達輻射源信號基本參數(shù)脈沖重復周期(pulse repetition interval，PRI)，取值為50 ms；仿真一組三參差類型的重復周期，取值分別為50，100，150 ms；。每種類型仿真500個樣本，并設定1%的測量誤差。在進行參數(shù)分析之前，利用滑動窗寬非參數(shù)估計方法估計出參數(shù)服從的概率密度函數(shù)，并設定貼近度門限σ=0.9。實驗結(jié)果如圖5和圖6所示，基于直方圖可以提取出參數(shù)值。再將仿真樣本集測量誤差改為5%，同樣進行參數(shù)分析與特征提取，最終提取結(jié)果如表1所示。從表1可以看出，從直方圖中獲得到的數(shù)據(jù)取值情況與預設值是一致的，并且受誤差的影響較小。因此基于滑動窗寬非參數(shù)估計的變寬直方圖算法是有效的。

圖5 固定PRI的概率密度曲線與變寬直方圖Fig.5 PDF curve and variable-width histogram of fixed PRI

圖6 三參差PRI的概率密度曲線與變寬直方圖Fig.6 PDF curve and variable-width histogram of three-stagger PRI

表1 不同誤差條件下參數(shù)提取結(jié)果

Table 1 Parameter extraction result in different errors

特征參數(shù)PRI1%誤差5%誤差固定類型預設值/ms5050提取值/ms50.34250.361參差類型預設值/ms50 100 15050 100 150提取值/ms51.484 100.691 150.32251.957 101.103 150.935

4 結(jié)束語

本文提出的變寬直方圖算法通過對等寬直方圖的區(qū)間進行合并或劃分操作，使直方圖上部輪廓線與參數(shù)概率密度函數(shù)曲線相吻合，以此作為分組數(shù)是否最優(yōu)的判別依據(jù)。在參數(shù)概率密度未知的情況下，提出基于滑動窗寬的非參數(shù)概率算法預先估計出概率密度函數(shù)。滑動窗寬非參數(shù)概率估計將固定窗寬算法和變窗寬算法進行結(jié)合，實現(xiàn)窗寬根據(jù)樣本的分布情況，在不同的估計點自動調(diào)整窗寬的取值。最后通過實驗表明，本文提出的變寬直方圖算法可以定量獲得最優(yōu)的分組數(shù)，在此過程中不需要人參與判斷搜索過程是否結(jié)束，從而實現(xiàn)算法的自動化。

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