一個(gè)修正的數(shù)值積分及在凸輪設(shè)計(jì)中的應(yīng)用①

王小煉， 金玲玲， 趙 鋒， 王勇勇， 章雷宇

(臺(tái)州學(xué)院數(shù)學(xué)系，浙江臨海317000)

在凸輪構(gòu)中，由加速度進(jìn)行積分求得位移是設(shè)計(jì)凸輪運(yùn)動(dòng)特性的一個(gè)重要方法之一[1，2]．當(dāng)前實(shí)際生產(chǎn)中是使用正弦函數(shù)或變形正弦的加速度，通用加速度曲線[3]．它由于計(jì)算簡(jiǎn)單，因此被廣泛使用．但這種加速在邊界上是不光滑的，因此在高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生明顯的振動(dòng)．為了解決這個(gè)問(wèn)題，許多學(xué)者采用樣條函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)角加速度[4～7]，但由于其函數(shù)表達(dá)式比較復(fù)雜，很難給出其角位移函數(shù)的初等表達(dá)式，因而常常采用數(shù)值積分的方法來(lái)計(jì)算角位移．但這種計(jì)算需要兩次數(shù)值積分，因此它會(huì)產(chǎn)生較大的累計(jì)誤差．為了解決這個(gè)問(wèn)題，在此引入一種修正的梯形公式來(lái)優(yōu)化樣條函數(shù)的數(shù)值積分．

1 主要結(jié)果

1．1 常用數(shù)值積分公式

1．1．1 復(fù)合梯形法

設(shè)函數(shù) f(x)在[a，b]上連續(xù)，對(duì)[a，b]n等分，則復(fù)合梯形公式為:

其中 yi=f(xi)，i=1，2，…，n，xi為等分點(diǎn)．

1．1．2 辛普森法

辛普森法(Simpson＇s rule)是一種數(shù)值積分方法，是以二次曲線逼近的方式取代矩形或梯形積分公式，以求得定積分的數(shù)值近似解．

將積分區(qū)間[a，b]作2n等分，設(shè)h=(b－a)/(2n)．

1．1．3 四階 Adams法

假設(shè)已經(jīng)求得tn，tn－1，…，tn－k等k+1 個(gè)節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值 fn，fn－1，…，fn－k，根據(jù)插值原理可以構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù)f(t，y)，經(jīng)過(guò)計(jì)算處理可以得到

4階阿達(dá)姆斯顯式公式

1．2 改進(jìn)梯形法

文獻(xiàn)[8]給出了下列Euler公式

定理1 設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上具有(n－1)階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，自然數(shù)m≤n/2，記

如果 n=2r－ 1，r≥1，那么

當(dāng)r=2時(shí)，那么對(duì)積分取近似值得

當(dāng)r=3時(shí)，那么對(duì)積分取近似值得

將(7)式兩邊關(guān)于b積分，得到

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)可以得到，

再將(7)式兩邊關(guān)于a積分，化簡(jiǎn)得到

其中，F(xiàn)(t)是f(t)初值為零的原函數(shù)．

將(10)與(11)相加除以2得到了式(12)

定理2 (1)設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則f(x)的兩次數(shù)值積分可用下式近似

(2)設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上具有(n－1)階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，自然數(shù)m≤n/2，則

其中h=b－a．

在式(13)只要選取適當(dāng)?shù)膍，就可得到了一種可以將精度提高到六階甚至更高階的方法．

注:在凸輪曲線的設(shè)計(jì)中，改進(jìn)梯形法式(12)只需一次就可以得到位移曲線，比(7)需兩次進(jìn)行數(shù)值積分，其計(jì)算量少了一次．

2 數(shù)值例子

結(jié)合以下實(shí)例:

利用上述函數(shù)對(duì)各種數(shù)值積分法進(jìn)行對(duì)比檢驗(yàn)．其中辛普森法、四階Adams法的精度只有四階．對(duì)此在式(13)只要選取適當(dāng)?shù)膍，就可得到了一種可以將精度提高到六階甚至更高階的方法．

表1 復(fù)合梯形法的數(shù)值解θ的逐點(diǎn)誤差最大值與階數(shù)

由表1可以得到，梯形法的誤差的階數(shù)為二階．

表2 辛普森法的數(shù)值解θ的逐點(diǎn)誤差最大值與階數(shù)

由表2可以得到，辛普森法的誤差的階數(shù)為四階．

表3 Adams 法的數(shù)值解θ的逐點(diǎn)誤差最大值與階數(shù)

由表3可以得到，Adams法的誤差的階數(shù)為四階．

表4 改進(jìn)梯形法式(13)選取(m=2)θ的誤差最大值與階數(shù)

由表4可以得到，改進(jìn)梯形法(m=2)的誤差的階數(shù)為四階．

表5 改進(jìn)梯形法式(13)選取(m=3)θ的誤差最大值與階數(shù)

由表5可以得到，改進(jìn)梯形法(m=3)的誤差的階數(shù)為六階．

表6 6種方法的數(shù)值解的θ的逐點(diǎn)誤差最大值比較

改進(jìn)梯形式(12)4．0037e－008 2．5021e－009 1．5638e－010

對(duì)以上表格進(jìn)行分析，在分割間隙相同時(shí)，改進(jìn)梯形法的誤差優(yōu)于辛普森法的誤差再優(yōu)于Adams法的誤差，最差的是復(fù)合梯形法．由此可知，改進(jìn)梯形法的誤差最?。?/p>

表7 兩種改進(jìn)梯形法式(7)與式(12)的對(duì)比

在凸輪曲線的設(shè)計(jì)中，改進(jìn)梯形法式(12)只需一次就可以得到位移曲線，比(7)需兩次進(jìn)行數(shù)值積分，其計(jì)算量少了一次．且其精度也比(7)較優(yōu)約提高10%左右．

謝辭:本文的寫作得到了臺(tái)州學(xué)院數(shù)學(xué)系趙岳清副教授的精心指導(dǎo)，在此表示感謝．

[1] Chen F Y．Kinematic Synthesis of Camprofiles for Prescribed Acceleration by a Finite Integration Method[J]．Engineering for Industry，1973(2):519 －524．

[2] 齊維浩，李雨宏．按復(fù)雜邊界條件設(shè)計(jì)凸輪曲線[J]．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，1985，(3):60－66．

[3] 劉昌祺．凸輪機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)[M]．北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2005，10．

[4] 韋日鈺，滕弘飛，隋允康．五次樣條配氣凸輪型線動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]．內(nèi)燃機(jī)學(xué)報(bào)，1993(4):360－367．

[5] 韋日鈺．具有給定加速度特性的五次樣條凸輪曲線設(shè)計(jì)[J]．廣西大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，(9):249－254．

[6] 徐健，常學(xué)芳，薄玉成．三次樣條在轉(zhuǎn)管武器凸輪曲線中的應(yīng)用[J]．機(jī)械工程師，2007(7):83－84．

[7] 張洪．探討一種凸輪理論曲線的通用方程式[J]．機(jī)械傳動(dòng)，2007(4):99－101．

[8] Lj．Dedic，M．Matic，J．Pecaric．On Euler Trapezoid Formulae[J]．Appl．Math．And Compu．123(2001):37 －62．