三角恒等變換的解題方法

郭會(huì)才

摘 要： 三角變換是三角運(yùn)算的靈魂與核心，包括角的變換、函數(shù)名稱的變換、三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)的變換.其中角的變換是最基本的變換.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明的基本思路是：一角二名三次數(shù)四結(jié)構(gòu).首先，觀察角與角之間的差異，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心；其次，看函數(shù)名稱之間的差異，通常切化弦；最后，觀察三角函數(shù)式的整體結(jié)構(gòu)特征，整體變形采用公式.

關(guān)鍵詞： 角變換 名稱變換 結(jié)構(gòu)特征變換

一、角的變換

已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.常見(jiàn)的有：

例1：已知sin（ +α）= ，cos（ -β）= ，且0<α< <β< ，求cos（α+β）.

解：∵0<α< <β< ，∴ < +α<π，- < -β<0.

又sin（ +α）= ，cos（ -β）= ，

∴cos（ +α）=- ，sin（ -β）=- .

∴cos（α+β）=sin[ +α+β]=sin[（ +α）-（ -β）]=sin（ +α）cos（ -β）-cos（ +α）sin（ -β）= × -（- ）×（- ）=- .

小結(jié)：給值求值問(wèn)題，即由給出的某些函數(shù)關(guān)系式（或某些角的三角函數(shù)值），求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變式”或“變角”，使“目標(biāo)角”換成“已知角”.注意公式的正用、逆用、變形用，有時(shí)需運(yùn)用拆角、拼角等技巧.

例2：已知sin（2α+β）=3sinβ，求證：tan（α+β）=2tanα.

證明：sin（2α+β）=3sinβ？圯sin[（α+β）+α]=3sin[（α+β）-α]sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα？圯2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα？圯tan（α+β）=2tanα.

小結(jié)：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)就是通過(guò)恒等變換化繁為簡(jiǎn).其中切化弦、異名化同名、異角化同角等方法均為轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用；三角恒等式的證明就是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡(jiǎn)，左右歸一或變更論證，也屬轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.

二、名稱的變換

例3：已知tanα=2，求下列代數(shù)式的值.

（1）

解：原式= =

小結(jié)：關(guān)于sinα、cosα的齊次式，可以通過(guò)分子、分母同除以cosα或cos2α轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子后再求值.

（2） sin2α+ sinαcosα+ cos2α

解：原式=

= = =

小結(jié)：注意表達(dá)式中不含分母，可以視分母為1，靈活地進(jìn)行“1”的代換，由1=sin2α+cos2α代換后，再同除以cos2α，構(gòu)造出關(guān)于tanα的代數(shù)式.

三、結(jié)構(gòu)特征的變換

例4：求值：

解：原式= =tan（60°+15°）=tan75°

=tan（30°+45°）= = =2+ .

小結(jié)：注意常值代換.如tan =1，tan = ，tan = 等.

要特別注意tan（ +α）= ，tan（ -α）= .

小結(jié)：熟記公式的結(jié)構(gòu)，公式T（α+β），T（α-β）是變形較多的兩個(gè)公式，公式中有tanαtanβ，tanα+tanβ（或tanα-tanβ），tan（α+β）（或tan（α-β））三者知二可表示或求出第三個(gè).tanα±tanβ=tan（α±β）（1？芎tanαtanβ），

學(xué)習(xí)三角恒等變換，千萬(wàn)不能只顧死記硬背公式，而忽視對(duì)思想方法的理解，要學(xué)會(huì)借助前面幾個(gè)有限的公式推導(dǎo)后繼公式，立足于在公式推導(dǎo)過(guò)程中記憶公式和運(yùn)用公式.endprint

摘 要： 三角變換是三角運(yùn)算的靈魂與核心，包括角的變換、函數(shù)名稱的變換、三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)的變換.其中角的變換是最基本的變換.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明的基本思路是：一角二名三次數(shù)四結(jié)構(gòu).首先，觀察角與角之間的差異，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心；其次，看函數(shù)名稱之間的差異，通常切化弦；最后，觀察三角函數(shù)式的整體結(jié)構(gòu)特征，整體變形采用公式.

關(guān)鍵詞： 角變換 名稱變換 結(jié)構(gòu)特征變換

一、角的變換

已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.常見(jiàn)的有：

例1：已知sin（ +α）= ，cos（ -β）= ，且0<α< <β< ，求cos（α+β）.

解：∵0<α< <β< ，∴ < +α<π，- < -β<0.

又sin（ +α）= ，cos（ -β）= ，

∴cos（ +α）=- ，sin（ -β）=- .

∴cos（α+β）=sin[ +α+β]=sin[（ +α）-（ -β）]=sin（ +α）cos（ -β）-cos（ +α）sin（ -β）= × -（- ）×（- ）=- .

小結(jié)：給值求值問(wèn)題，即由給出的某些函數(shù)關(guān)系式（或某些角的三角函數(shù)值），求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變式”或“變角”，使“目標(biāo)角”換成“已知角”.注意公式的正用、逆用、變形用，有時(shí)需運(yùn)用拆角、拼角等技巧.

例2：已知sin（2α+β）=3sinβ，求證：tan（α+β）=2tanα.

證明：sin（2α+β）=3sinβ？圯sin[（α+β）+α]=3sin[（α+β）-α]sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα？圯2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα？圯tan（α+β）=2tanα.

小結(jié)：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)就是通過(guò)恒等變換化繁為簡(jiǎn).其中切化弦、異名化同名、異角化同角等方法均為轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用；三角恒等式的證明就是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡(jiǎn)，左右歸一或變更論證，也屬轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.

二、名稱的變換

例3：已知tanα=2，求下列代數(shù)式的值.

（1）

解：原式= =

小結(jié)：關(guān)于sinα、cosα的齊次式，可以通過(guò)分子、分母同除以cosα或cos2α轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子后再求值.

（2） sin2α+ sinαcosα+ cos2α

解：原式=

= = =

小結(jié)：注意表達(dá)式中不含分母，可以視分母為1，靈活地進(jìn)行“1”的代換，由1=sin2α+cos2α代換后，再同除以cos2α，構(gòu)造出關(guān)于tanα的代數(shù)式.

三、結(jié)構(gòu)特征的變換

例4：求值：

解：原式= =tan（60°+15°）=tan75°

=tan（30°+45°）= = =2+ .

小結(jié)：注意常值代換.如tan =1，tan = ，tan = 等.

要特別注意tan（ +α）= ，tan（ -α）= .

小結(jié)：熟記公式的結(jié)構(gòu)，公式T（α+β），T（α-β）是變形較多的兩個(gè)公式，公式中有tanαtanβ，tanα+tanβ（或tanα-tanβ），tan（α+β）（或tan（α-β））三者知二可表示或求出第三個(gè).tanα±tanβ=tan（α±β）（1？芎tanαtanβ），

學(xué)習(xí)三角恒等變換，千萬(wàn)不能只顧死記硬背公式，而忽視對(duì)思想方法的理解，要學(xué)會(huì)借助前面幾個(gè)有限的公式推導(dǎo)后繼公式，立足于在公式推導(dǎo)過(guò)程中記憶公式和運(yùn)用公式.endprint

摘 要： 三角變換是三角運(yùn)算的靈魂與核心，包括角的變換、函數(shù)名稱的變換、三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)的變換.其中角的變換是最基本的變換.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明的基本思路是：一角二名三次數(shù)四結(jié)構(gòu).首先，觀察角與角之間的差異，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心；其次，看函數(shù)名稱之間的差異，通常切化弦；最后，觀察三角函數(shù)式的整體結(jié)構(gòu)特征，整體變形采用公式.

關(guān)鍵詞： 角變換 名稱變換 結(jié)構(gòu)特征變換

一、角的變換

已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.常見(jiàn)的有：

例1：已知sin（ +α）= ，cos（ -β）= ，且0<α< <β< ，求cos（α+β）.

解：∵0<α< <β< ，∴ < +α<π，- < -β<0.

又sin（ +α）= ，cos（ -β）= ，

∴cos（ +α）=- ，sin（ -β）=- .

∴cos（α+β）=sin[ +α+β]=sin[（ +α）-（ -β）]=sin（ +α）cos（ -β）-cos（ +α）sin（ -β）= × -（- ）×（- ）=- .

小結(jié)：給值求值問(wèn)題，即由給出的某些函數(shù)關(guān)系式（或某些角的三角函數(shù)值），求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變式”或“變角”，使“目標(biāo)角”換成“已知角”.注意公式的正用、逆用、變形用，有時(shí)需運(yùn)用拆角、拼角等技巧.

例2：已知sin（2α+β）=3sinβ，求證：tan（α+β）=2tanα.

證明：sin（2α+β）=3sinβ？圯sin[（α+β）+α]=3sin[（α+β）-α]sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα？圯2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα？圯tan（α+β）=2tanα.

小結(jié)：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)就是通過(guò)恒等變換化繁為簡(jiǎn).其中切化弦、異名化同名、異角化同角等方法均為轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用；三角恒等式的證明就是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡(jiǎn)，左右歸一或變更論證，也屬轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.

二、名稱的變換

例3：已知tanα=2，求下列代數(shù)式的值.

（1）

解：原式= =

小結(jié)：關(guān)于sinα、cosα的齊次式，可以通過(guò)分子、分母同除以cosα或cos2α轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子后再求值.

（2） sin2α+ sinαcosα+ cos2α

解：原式=

= = =

小結(jié)：注意表達(dá)式中不含分母，可以視分母為1，靈活地進(jìn)行“1”的代換，由1=sin2α+cos2α代換后，再同除以cos2α，構(gòu)造出關(guān)于tanα的代數(shù)式.

三、結(jié)構(gòu)特征的變換

例4：求值：

解：原式= =tan（60°+15°）=tan75°

=tan（30°+45°）= = =2+ .

小結(jié)：注意常值代換.如tan =1，tan = ，tan = 等.

要特別注意tan（ +α）= ，tan（ -α）= .

小結(jié)：熟記公式的結(jié)構(gòu)，公式T（α+β），T（α-β）是變形較多的兩個(gè)公式，公式中有tanαtanβ，tanα+tanβ（或tanα-tanβ），tan（α+β）（或tan（α-β））三者知二可表示或求出第三個(gè).tanα±tanβ=tan（α±β）（1？芎tanαtanβ），

學(xué)習(xí)三角恒等變換，千萬(wàn)不能只顧死記硬背公式，而忽視對(duì)思想方法的理解，要學(xué)會(huì)借助前面幾個(gè)有限的公式推導(dǎo)后繼公式，立足于在公式推導(dǎo)過(guò)程中記憶公式和運(yùn)用公式.endprint